網(wǎng)絡(luò)計劃的數(shù)學(xué)模型與人工智能

張 陽，張芮寧，曾福庚

(1.中國科學(xué)院中科建設(shè)山東東潤清潔能源有限公司 山東 東營 257000；2.山東濰坊醫(yī)學(xué)院臨床醫(yī)學(xué)院 山東 濰坊 261000；3.貴州民族大學(xué)數(shù)據(jù)科學(xué)與信息工程學(xué)院 貴州 貴陽 550000)

運籌學(xué)網(wǎng)絡(luò)計劃技術(shù)的發(fā)展已有半個多世紀(jì)，廣泛應(yīng)用于許多領(lǐng)域，已成為定量分析不同項目管理過程中現(xiàn)代管理方法的重要工具。網(wǎng)絡(luò)計劃圖分甘特圖(或稱橫道圖)和網(wǎng)絡(luò)圖，橫道圖雖然簡單、直觀和易懂，但是不能全面地反映出整個工程活動過程中各工序之間的聯(lián)系和相互依賴與制約的關(guān)系。網(wǎng)絡(luò)圖雖然克服了橫道圖的缺點，但網(wǎng)絡(luò)圖沒有時標(biāo)，不直觀，看不出各工序的開、竣工時間，而且繪制復(fù)雜。除這兩種計劃圖外，目前國內(nèi)外正在研究其他方法。在國外最常見的是項目矩陣結(jié)構(gòu)圖(本質(zhì)還是橫道圖和網(wǎng)絡(luò)圖)。但在對傳統(tǒng)方法(橫道圖和網(wǎng)絡(luò)圖)的研究上，很多改進都集中在算法方面，在項目實施的實踐中沒有發(fā)揮應(yīng)有的作用。國內(nèi)大部分項目管理研究都是在實證分析上，其中常用的項目管理技術(shù)有甘特圖、掛圖、工作日歷等傳統(tǒng)方法，但相關(guān)計劃圖的創(chuàng)新相對較少。如作者陳文龍階梯式進度圖將計劃橫道圖旋轉(zhuǎn)90度，有些作者或?qū)⑹┕挝患{入網(wǎng)絡(luò)計劃等等。在實踐中，有許多研究為每年的項目管理科學(xué)交流提供了大量的信息或經(jīng)驗，但計劃圖方法開發(fā)問題尚未解決。

隨著社交網(wǎng)絡(luò)、物聯(lián)網(wǎng)、云計算[1-6]、大數(shù)據(jù)、工業(yè)互聯(lián)網(wǎng)等前沿技術(shù)的出現(xiàn)，傳統(tǒng)大規(guī)模網(wǎng)絡(luò)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)復(fù)雜，難以觀察[7-11]，我們不能從直觀的經(jīng)典方法中得出很好的結(jié)論，因此，我們提出用數(shù)學(xué)公式[12-20]中的分段圖，按網(wǎng)絡(luò)計劃拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)編號和網(wǎng)絡(luò)數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)圖作為檢驗和分析網(wǎng)絡(luò)計劃的一種新方法，既能反映工序之間的銜接與制約，又能反映工序之間的時間關(guān)系，既能快速了解短期網(wǎng)絡(luò)計劃，又能覆蓋整個施工期的目標(biāo)網(wǎng)絡(luò)，能優(yōu)化網(wǎng)絡(luò)計劃，改進網(wǎng)絡(luò)布局和分段管理，為人工智能[21]機器學(xué)習(xí)提供模型思路和算法保障。它是數(shù)據(jù)采集決策的核心和最重要的環(huán)節(jié)，優(yōu)化模型方法在實際問題中也能發(fā)揮重要作用。用簡化的邏輯數(shù)學(xué)公式研究分析了網(wǎng)絡(luò)計劃的數(shù)學(xué)模型。

1 網(wǎng)絡(luò)計劃數(shù)學(xué)模型的構(gòu)建與求解

1.1 網(wǎng)絡(luò)計劃分段圖的數(shù)學(xué)模型建立

在網(wǎng)絡(luò)計劃中，橫道圖是最常用的施工計劃圖。圖1表示某項目網(wǎng)絡(luò)計劃的橫道圖。

圖1中的網(wǎng)絡(luò)計劃被分段為一個數(shù)學(xué)模型圖，如圖2所示。

從圖2中我們得到了網(wǎng)絡(luò)分段數(shù)學(xué)模型矩陣的數(shù)學(xué)表達式

(1)

由式(1)得到網(wǎng)絡(luò)計劃第一時段數(shù)學(xué)模型的數(shù)學(xué)公式

(2)

圖1 某項目網(wǎng)絡(luò)計劃橫道圖

圖2 網(wǎng)絡(luò)計劃分段數(shù)學(xué)模型

由式(2)推導(dǎo)出第2時段網(wǎng)絡(luò)計劃數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)公式

(3)

由此可推出 第n時段網(wǎng)絡(luò)計劃數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)公式

(4)

式中:(i, …,i)為第n時段所有集數(shù)。

由式(4)推導(dǎo)全架構(gòu)分段網(wǎng)絡(luò)計劃數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)公式為

(5)

1.2 將網(wǎng)絡(luò)計劃分段數(shù)學(xué)模型轉(zhuǎn)化為網(wǎng)絡(luò)計劃數(shù)學(xué)模型

將式(5)網(wǎng)絡(luò)計劃全架構(gòu)分段數(shù)學(xué)模型相加得到網(wǎng)絡(luò)計劃的數(shù)學(xué)模型

即

(t1)(i,i|i,i)(t2)…(i,…,i|i,…,i)(tn)(D)

(6)

式中:D=d1+d2+…dn

小結(jié)：網(wǎng)絡(luò)計劃的數(shù)學(xué)模型不僅包括網(wǎng)絡(luò)橫道圖和網(wǎng)格圖，還細分了網(wǎng)絡(luò)計劃圖，并用數(shù)學(xué)公式表示，簡單明了，圖3為去除分段后的網(wǎng)絡(luò)計劃數(shù)學(xué)模型，將式(6)展開得到圖3。

圖3 網(wǎng)絡(luò)計劃數(shù)學(xué)模型

1.3 用網(wǎng)絡(luò)計劃分段數(shù)學(xué)模型計算網(wǎng)絡(luò)計劃圖數(shù)據(jù)

由于網(wǎng)絡(luò)分段的數(shù)學(xué)模型包含了網(wǎng)絡(luò)計劃的橫道圖和網(wǎng)絡(luò)圖，因此可以計算出橫道圖或網(wǎng)絡(luò)圖的所有數(shù)據(jù)，如圖4所示。

圖4 網(wǎng)絡(luò)計劃數(shù)學(xué)模型的計算

橫道圖和網(wǎng)格圖數(shù)據(jù)如下

(1)計算完成時間=開始時間+持續(xù)時間

由上式得到第一時段工序完成時間公式為

(7)

由式(7)推理得到第n時段工序完成時間公式為

d1+d2+…dn-1+tk1+tk2

(8)

(2)計算總工期：終點節(jié)點的最早完成時間最大值就是該網(wǎng)絡(luò)計劃的計算工期。

由上式得到工程完成工期公式為：

(9)

小結(jié)：網(wǎng)絡(luò)計劃橫道圖和網(wǎng)絡(luò)圖可以用網(wǎng)絡(luò)計劃分段數(shù)學(xué)模型的數(shù)據(jù)進行轉(zhuǎn)換，由于篇幅太長，這里不一一說明。

1.4 網(wǎng)絡(luò)計劃數(shù)學(xué)模型的分解與合并

(1)網(wǎng)絡(luò)計劃的數(shù)學(xué)模型由于施工時間的提前或延誤而不得不增加或減少作業(yè)時間，圖5是網(wǎng)絡(luò)計劃中作業(yè)時間減少的拓?fù)鋱D(即提前作業(yè)時間)。

圖5 網(wǎng)絡(luò)計劃工序時間減少拓?fù)?/p>

由圖5得到網(wǎng)絡(luò)計劃第一時段數(shù)學(xué)模型工序時間減少數(shù)學(xué)公式：

(10)

同理，網(wǎng)絡(luò)計劃第一時段數(shù)學(xué)模型工序時間增加數(shù)學(xué)公式推導(dǎo)如下

(11)

由式(10)、(11)推導(dǎo)第一時段數(shù)學(xué)模型分解和合并公式

(12)

式中：tk為第一時段減少或增加網(wǎng)絡(luò)計劃工序時長。

同理推導(dǎo)第n時段減少或增加網(wǎng)絡(luò)計劃工序時長公式

(13)

(2)分段網(wǎng)絡(luò)計劃數(shù)學(xué)模型時段的增減數(shù)學(xué)公式

由圖4我們可推導(dǎo)第三時段的增減公式

(14)

式中：y(d3)為網(wǎng)絡(luò)計劃變化后新網(wǎng)絡(luò)計劃的第三時段；x(d3)為原網(wǎng)絡(luò)計劃第三時段；x(dk)為增減時段時長。

上式(14)推理得第n時段的增減公式

(15)

(3)網(wǎng)絡(luò)計劃數(shù)學(xué)模型點和線的分解合并

由于網(wǎng)絡(luò)計劃需減少網(wǎng)絡(luò)點或線，分支網(wǎng)絡(luò)會發(fā)生變化。圖6是網(wǎng)絡(luò)計劃分支網(wǎng)絡(luò)發(fā)生減少的拓?fù)鋱D。

圖6 分支網(wǎng)絡(luò)減少拓?fù)溥壿媹D

由圖6推導(dǎo)分支網(wǎng)絡(luò)減少一個點或線數(shù)學(xué)模型如下

(16)

動態(tài)顯色法檢測4種清熱解毒類中藥注射液中細菌內(nèi)毒素含量 …………………………………………… 張軍霞等（13）：1806

同理，分支網(wǎng)絡(luò)增加一個點或線數(shù)學(xué)模型推導(dǎo)如下

(17)

1.5 網(wǎng)絡(luò)計劃的分解合并公式

由式(10)至(17)推導(dǎo)任意時段網(wǎng)絡(luò)計劃的數(shù)學(xué)模型分解和合并公式

(18)

式中：k為各時段可增減的網(wǎng)絡(luò)計劃數(shù)學(xué)模型集數(shù)，為任意自然正數(shù)。當(dāng)網(wǎng)絡(luò)點、線增加、減少或變大變小時，網(wǎng)絡(luò)就會變大或收縮。

1.6 網(wǎng)絡(luò)計劃數(shù)學(xué)模型動態(tài)數(shù)學(xué)公式

由于實際工程過程中干擾因素太多，特別是幾個子系統(tǒng)之間的相互作用也非常大，在網(wǎng)絡(luò)計劃運行期間，網(wǎng)絡(luò)計劃中的點或線發(fā)生變化。因此有必要表示數(shù)學(xué)網(wǎng)絡(luò)模型的動態(tài)比率V，它是網(wǎng)絡(luò)計劃的實時運轉(zhuǎn)情況，圖6可以指定單個時段的動態(tài)比率公式。

(19)

由此推理，任意時段計劃網(wǎng)絡(luò)的動態(tài)關(guān)系公式如下

(20)

動態(tài)比率越高，網(wǎng)絡(luò)計劃的運行效率越高，反之亦然，動態(tài)比率公式在網(wǎng)絡(luò)計劃中的應(yīng)用成為網(wǎng)絡(luò)計劃的實時動態(tài)圖。

1.7 網(wǎng)絡(luò)計劃數(shù)據(jù)數(shù)學(xué)邏輯地址

用網(wǎng)絡(luò)計劃的數(shù)學(xué)模型來表達數(shù)學(xué)邏輯地址，比較清晰簡潔。

如圖2所示，點x(2,1)數(shù)學(xué)邏輯地址表示式為

(21)

(22)

將線(運行時間)(1,1|2,1)(25)數(shù)學(xué)邏輯地址表示式如下

(23)

由此得到線路計劃(運行時間)的數(shù)學(xué)地址公式

(24)

網(wǎng)絡(luò)計劃的數(shù)學(xué)邏輯地址可以快速找到網(wǎng)絡(luò)計劃中便于查找和處理問題的特定點或線，具有表示簡單、擴展無限的特點。

1.8 網(wǎng)絡(luò)計劃數(shù)學(xué)模型的乘法公式

從網(wǎng)絡(luò)計劃數(shù)學(xué)模型的加減法導(dǎo)出網(wǎng)絡(luò)計劃數(shù)學(xué)模型的乘法公式

(25)

網(wǎng)絡(luò)計劃數(shù)學(xué)模型的加、減、乘就是相應(yīng)原數(shù)學(xué)模型的加、減、乘。

1.9 網(wǎng)絡(luò)計劃數(shù)學(xué)模型的特征向量和特征值

如果有一個矩陣A，向量v經(jīng)過線性變換后應(yīng)該保持同一方向，只擴展或壓縮一定的倍數(shù)，即：Av=λv。所以這個向量v就是特征向量，λ就是特征值。特征向量和特征值的幾何本質(zhì)實際上是空間向量的縮放。

(26)

2 網(wǎng)絡(luò)計劃的人工智能

2.1 深度學(xué)習(xí)的網(wǎng)絡(luò)計劃數(shù)學(xué)模型

讓計算機從數(shù)據(jù)中自動“學(xué)習(xí)”規(guī)律，并利用規(guī)律預(yù)測未知數(shù)據(jù)，這是計算機模擬或?qū)崿F(xiàn)人類的學(xué)習(xí)行為，以獲取新的知識或技能，重組現(xiàn)有的知識結(jié)構(gòu)，從而不斷提高自身能力。它是從數(shù)據(jù)中提取規(guī)則或模式，將數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)化為信息進行學(xué)習(xí)：對數(shù)據(jù)進行預(yù)處理，形成特征，然后根據(jù)特征建立一定的模型，然后對采集到的數(shù)據(jù)分配權(quán)重、偏差等參數(shù)，達到學(xué)習(xí)的目的。

整個神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的計算可以用矩陣形式給出。在神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的單層公式中，每層神經(jīng)元的數(shù)目不同，輸入輸出維數(shù)不同，公式中矩陣和向量的行數(shù)和列數(shù)不同，但形式是一致的。假設(shè)我們考慮的這一層是第i層。它接受m個輸入，因此該層的計算如下

(27)

通過替換數(shù)學(xué)網(wǎng)絡(luò)計劃模型(27)的特征向量和特征值公式(26)，得到深度學(xué)習(xí)網(wǎng)絡(luò)計劃的數(shù)學(xué)模型

(28)

人工智能網(wǎng)絡(luò)計劃只是一種允許計算機通過合并新數(shù)據(jù)進行學(xué)習(xí)的算法。它是根據(jù)邏輯規(guī)則模擬人類思維、信息分布、并行處理和推理的過程，這種思維是將存儲在分布式存儲器中的信息進行綜合，產(chǎn)生的想法或解決問題的辦法。

2.2 人工智能在網(wǎng)絡(luò)計劃上的應(yīng)用

網(wǎng)絡(luò)計劃圖的優(yōu)化是人工智能研究的一個方向。如我們研究網(wǎng)絡(luò)計劃的關(guān)鍵路徑，即在一條路徑上，施工時間的工作時間之和相等，如果一條路徑上每一項工作的時間差為零，那么這條路徑就是關(guān)鍵路徑。然而，創(chuàng)建網(wǎng)絡(luò)圖涉及到很多因素，而且準(zhǔn)備過程往往很復(fù)雜，對人員的經(jīng)驗依賴性很大。編制結(jié)果的可靠性和執(zhí)行力較差，尤其是對編制重大項目計劃的年輕工程師來說，關(guān)鍵路徑與實際情況、環(huán)境因素、設(shè)備因素、交通因素、人員因素等都有較大差距。我們通過人工智能將這些因素輸入到計算機中，找到最佳的關(guān)鍵路徑。

以圖2為例。有3條路徑

第一條路徑:f1=x(1)→x(2)→x(3)→x(3,1)→x(3,2)→x(3,2,1)→x(2,3,2)→x(2,3,3)

第二條路徑:f1=x(1)→x(2)→x(3,1)→x(2,3)→x(2,3,1)→x(2,3,2)→x(2,3,3)

第三條路徑:f1=x(1)→x(2)→x(2,1)→x(2,2)→x(2,3)→x(2,3,1)→x(2,3,2)→x(2,3,3)

由以往工程典型數(shù)據(jù)庫或?qū)＜姨峁┘皵?shù)學(xué)方程算出的權(quán)重值為

=(0.36,0.32,0.32)

將這3條路徑代入網(wǎng)絡(luò)計劃深度學(xué)習(xí)公式(28)得到下式(由于本權(quán)重值采用精確值，故偏置向量不必微調(diào)網(wǎng)絡(luò)計劃權(quán)重，即b=0)得

經(jīng)過計算路徑f1對總目標(biāo)的權(quán)值為

0.95×0.36+0×0.32+0.5×0.32=0.5

依此類推得路徑f2、f3對總目標(biāo)的權(quán)值為0.31、0.78。由此我們看出f3>f1>f2，f3為關(guān)鍵路徑，f1為次要路徑，f2為輔助路徑。

3 結(jié)語

網(wǎng)絡(luò)計劃在項目管理中起著重要的作用，優(yōu)化進度是管理進度的關(guān)鍵?；诰W(wǎng)絡(luò)計劃的數(shù)學(xué)模型技術(shù)，可以實現(xiàn)進度與技術(shù)要素之間的動態(tài)關(guān)系，直觀地表達施工工期和施工過程，為建設(shè)方、監(jiān)理和業(yè)主提供了一個直觀了解工程情況的實用工具，網(wǎng)絡(luò)計劃圖讓很多工程從業(yè)者談圖色變，用抽象的數(shù)學(xué)公式來表達網(wǎng)絡(luò)計劃數(shù)學(xué)模型的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，簡化了復(fù)雜區(qū)域的布局和施工工期，邏輯上簡單明確。該公式可擴展為原始的網(wǎng)絡(luò)計劃數(shù)據(jù)拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)中，有助于分析計算不同的網(wǎng)絡(luò)計劃數(shù)據(jù)，具有直觀性強、效率高、計算量小等優(yōu)點，數(shù)據(jù)可以轉(zhuǎn)換成動態(tài)數(shù)據(jù)圖，使數(shù)據(jù)的實時操作一目了然，數(shù)據(jù)可以快速轉(zhuǎn)換和優(yōu)化，它符合數(shù)據(jù)拓?fù)淇刂坪头侄螖?shù)據(jù)管理的要求，因此，建立了一個比較系統(tǒng)集成的數(shù)據(jù)模擬系統(tǒng)。本研究將提高我國網(wǎng)絡(luò)計劃和計算技術(shù)的理論水平，為我國網(wǎng)絡(luò)計劃和計算技術(shù)的發(fā)展創(chuàng)造理論儲備和平臺，該數(shù)學(xué)模型還可以在計算機上進行人工智能研究，并不斷將新的數(shù)據(jù)輸入并總結(jié)來進行深度學(xué)習(xí)。