核心素養(yǎng)立意下的高中數(shù)學(xué)變式教學(xué)案例探析

廣東廣雅中學(xué)(510160) 何 智

1 核心素養(yǎng)視角下變式教學(xué)的使命與價值

在高中新課標的修訂中,最大變化是提出每一個學(xué)科應(yīng)具備核心素養(yǎng),學(xué)生在接受相應(yīng)學(xué)段的教育過程中,逐步形成適應(yīng)個人終身發(fā)展和社會發(fā)展需要的核心素養(yǎng)與關(guān)鍵能力.《普通高中數(shù)學(xué)課程標準》對數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的定義進行了界定,它包括六大要素——數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、直觀想象、數(shù)學(xué)運算、數(shù)據(jù)分析. 學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)實質(zhì)是其數(shù)學(xué)思維的個性特征,并由其數(shù)學(xué)思維的靈活性、廣闊性、深刻性和批判性等所直接影響. 在新高考背景下,傳統(tǒng)的授課模式已難以適應(yīng)時代的發(fā)展,如何提高課堂效能,培養(yǎng)思維能力,提升核心素養(yǎng),成為了高中數(shù)學(xué)教師需要不斷思考與實踐的課題.

顧泠沅、黃榮金等教授在“變式教學(xué): 促進有效的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的中國方式”中指出,變式教學(xué)是對數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容進行不同角度、不同層次、不同情形、不同背景的變式,以暴露問題的本質(zhì)特征,揭示不同知識點之間內(nèi)在聯(lián)系的一種教學(xué)設(shè)計方法. 題目的形式可以千變?nèi)f化,但本質(zhì)不變: 或考察內(nèi)容的基本概念不變,或考察內(nèi)容的思想方法不變,或考察內(nèi)容的技巧思路不變. 顧明遠教授說過:“變式教學(xué)是在教學(xué)中用不同形式的直觀材料或事物說明事物的本質(zhì),或變換同類事物的非本質(zhì)特征以突出事物的本質(zhì)特征. ”可見,通過變式教學(xué),能使學(xué)生對數(shù)學(xué)概念、技能、思想方法等有多角度的理解,提升數(shù)學(xué)思維品質(zhì),進而發(fā)現(xiàn)問題的本質(zhì),從而有效提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).

教師在課堂教學(xué)時應(yīng)該充分運用多種形式的變式教學(xué)策略,有意識地引導(dǎo)學(xué)生從“變”的現(xiàn)象中發(fā)現(xiàn)“不變”的本質(zhì),從“不變”中探求規(guī)律,逐步培養(yǎng)學(xué)生的反思意識與求異思維,增強其應(yīng)變能力,激發(fā)其學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的積極性和主動性,培養(yǎng)其探索精神和創(chuàng)新意識,從而真正把對核心素養(yǎng)的有效訓(xùn)練和能力培養(yǎng)落到實處. 下面根據(jù)筆者多年的教學(xué)實踐,對基于核心素養(yǎng)的高中數(shù)學(xué)變式教學(xué)進行了典型案例探析,以期給廣大教師提供一些借鑒和參考.

2 核心素養(yǎng)立意下的變式教學(xué)案例探析

2.1 數(shù)學(xué)概念變式

數(shù)學(xué)概念是構(gòu)建數(shù)學(xué)理論大廈的基石,是數(shù)學(xué)學(xué)科的精髓與靈魂,是提高數(shù)學(xué)解題能力的重要前提. 所謂概念變式,就是教師針對概念的內(nèi)涵與外延精心設(shè)計問題讓學(xué)生辨析概念,或是尋找概念的等價形式或是明確變式含義,并探討等價形式及其變式的應(yīng)用,達到透徹理解概念,靈活應(yīng)用概念的目的.

例1關(guān)于拋物線定義的應(yīng)用,設(shè)計下述變式:

[變式1] 已知拋物線y2=2px,點P(4,m)在拋物線上,若P 到焦點的距離等于6,求P 和m 的值.

[變式2] 若動點P 到定直線x+6=0 的距離比它到點A(3,0)的距離多3,求點P 的軌跡.

[變式3] 已知頂點在原點的拋物線, 其焦點在x 軸上,又拋物線上一點M(3,m)到焦點的距離為5,求此拋物線的方程及m 的值.

[變式4] 已知點P 是拋物線x2=4y 上的動點,B(6,4),則點P 到點B 的距離與點P 到x 軸的距離之和的最小值是____.

[變式5] 已知點A(x1,y1),B(x2,y2),若直線AB 經(jīng)過拋物線y2=2x 的焦點,且x1+x2=3,求點A,B 的坐標.

通過例1 的變式,可有效澄清學(xué)生對拋物線定義這一數(shù)學(xué)概念的模糊認識,繞過錯綜復(fù)雜的概念誤區(qū),從而發(fā)現(xiàn)并理解概念本質(zhì),能有效提升學(xué)生在數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)建模方面的核心素養(yǎng).

2.2 數(shù)學(xué)命題變式

在數(shù)學(xué)教學(xué)中,很多公式定理的推導(dǎo)和證明過程都具有典型性,常常代表某類比較典型的解題方法和解題思想. 所謂命題變式,就是在接觸一個新的定理或公式時,將其還原并剖析其本質(zhì)屬性. 許多定理公式都有變式,這些變式為我們培養(yǎng)學(xué)生的核心素養(yǎng)提供了廣闊天地,有利于學(xué)生更深刻地理解數(shù)學(xué)定理公式的本質(zhì), 有利于培養(yǎng)學(xué)生的辯證思維,形成良好的核心素養(yǎng).

例2在復(fù)習(xí)橢圓性質(zhì)時,設(shè)計下述變式:

例2 由“原題”引申出來的四道變式題有較好的代表性和開放性,可在課堂上采用分小組合作交流討論,讓教學(xué)過程有效培養(yǎng)學(xué)生思維能力,能有效提升學(xué)生在邏輯推理、直觀想象方面的核心素養(yǎng).

例3在復(fù)習(xí)兩角和與差的余弦公式時,設(shè)計下述變式:

2.3 數(shù)學(xué)語言變式

數(shù)學(xué)思維方法的掌握和運用, 離不開數(shù)學(xué)思維的載體-——數(shù)學(xué)語言. 數(shù)學(xué)語言可分成文字語言、圖形語言、符號語言. 數(shù)學(xué)語言的掌握情況是一個人數(shù)學(xué)能力和數(shù)學(xué)素養(yǎng)的主要反映,也是影響其數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的重要方面. 數(shù)學(xué)語言變式就是對此三種數(shù)學(xué)語言之間進行轉(zhuǎn)換,從而培養(yǎng)學(xué)生的“語言”轉(zhuǎn)換能力和分析問題、解決問題的能力. 實踐證明,學(xué)生數(shù)學(xué)語言的運用能力已成為數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)發(fā)展的關(guān)鍵要素.

例4[原題] 方程2sin2x ?cos x ?a = 0 有實數(shù)根,求參數(shù)a 的取值范圍. 常規(guī)思路是令x = cos θ,x ∈[?1,1],原方程可化為2x2+x+a ?2=0.

[變式1] 方程2x2+x+a ?2 = 0 在[?1,1]至少有一個實根,求參數(shù)a 的取值范圍. (原題轉(zhuǎn)換為代數(shù)方程語言)

[變式2] 求函數(shù)a(x)=?2x2?x+2,x ∈[?1,1]的值域. (原題轉(zhuǎn)換為函數(shù)語言)

[變式3] 若直線y =a 與拋物線y =?2x2?x+2(?1 ≤x ≤1)相交,求參數(shù)a 的取值范圍. (原題轉(zhuǎn)換為圖形語言)

例4 從不同角度對問題進行重新表述和刻劃,幾種數(shù)學(xué)語言的互譯,往往可以成功地啟迪思維、探尋到解題的思路和方法,能有效提升學(xué)生在數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運算方面的核心素養(yǎng).

例5[原題] 10 個相同的小球,全部放入3 個不同的盒子中,每個盒子至少一個,一共有幾種放法.

[變式1] 高一年級共有10 個三好學(xué)生名額,現(xiàn)在要把名額全部分配到三個班中,每班至少一個,一共有幾種分法.

[變式2] 方程x+y+z =10 的正整數(shù)解有多少組.

例5 的原題和兩個變式題解決的方法都可同樣用“插板法”,雖然表述不同,但題目有根本的共同點: ①所要分的元素是完全相同的; ②元素必須全部分完; ③每個地方至少分到一個,這讓學(xué)生對題目的本質(zhì)有了深刻理解,能有效優(yōu)化學(xué)生在數(shù)學(xué)建模、數(shù)據(jù)分析方面的核心素養(yǎng).

2.4 數(shù)學(xué)解題變式

在問題解決的教學(xué)過程中,當學(xué)生獲得基本解法后,可通過改變問題的條件設(shè)置,改變問題所求結(jié)論、改變問題情境等多種方式,使學(xué)生對知識、方法的理解與掌握得到強化,以便學(xué)生形成對問題的多方面、多角度的思考,讓學(xué)生的思維跳出某一固定模式,避免形成思維定勢,從而提出新問題或獲得同一問題的多種解答或多種結(jié)果,讓學(xué)生在解決問題的過程中獲得知識和技能,有效提升核心素養(yǎng).

例6[原題] 已知{an} 滿足an+1= an+ n + 1, 且a1=2,求an.

[變式1] 已知{an}滿足an+1=an+n+1,且a1=2,求an.

[變式2] 已知數(shù)列{an}滿足an+1=an+3·22n?1,且a1=2,求an.

[變式6] 已知數(shù)列{an}滿足nan+1=(n+1)an+1,且a1=1,求an.

[變式7] 已知數(shù)列{an}滿足nan+1= (n+2)an+1,且a1=1,求an.

作為高考?？純?nèi)容的“遞推數(shù)列”, 是變式教學(xué)的極好素材,向特殊數(shù)列(等差、等比數(shù)列)轉(zhuǎn)化與利用特殊數(shù)列的性質(zhì)求通項是主要渠道. 例6 的變式為多題歸一, 即不管題目條件怎么改變,最終指向只有一個,就是用累加法求解an=a1+f(1)+f(2)+···+f(n ?1),學(xué)生真正做到舉一反三,有效提升了學(xué)生在邏輯推理、數(shù)學(xué)建模方面的核心素養(yǎng).

3 核心素養(yǎng)觀下數(shù)學(xué)變式教學(xué)的實施意義

實踐證明,要提升學(xué)生核心素養(yǎng),利用變式教學(xué)是一種很有效的方法, 變式教學(xué)可以在一定程度上降低學(xué)習(xí)難度,讓課堂變得生動高效. 教師通過變式教學(xué)創(chuàng)設(shè)問題情境,為學(xué)生提供創(chuàng)造的環(huán)境;在解題中教師通過變換題目的條件、結(jié)論、圖形,引導(dǎo)學(xué)生從不同的方面考慮問題的解答,發(fā)揮學(xué)生創(chuàng)造的潛能,激發(fā)創(chuàng)造的動機,培養(yǎng)創(chuàng)造的品格;教師通過一題多證變式即對同一數(shù)學(xué)問題,引導(dǎo)學(xué)生在所學(xué)的知識范圍內(nèi)盡可能地提出不同的解題構(gòu)想和方法,從而發(fā)展學(xué)生創(chuàng)造的潛能,鼓勵創(chuàng)造的行為;對例題、習(xí)題進行變通推廣,讓學(xué)生在不同角度、不同層次、不同情形、不同背景下重新認識,激發(fā)學(xué)生的思維, 有助于培養(yǎng)學(xué)生的探索精神和創(chuàng)新意識,同時利用“變式”能將知識由特殊到一般,由淺入深,由“舊”到“新”層層遞進;學(xué)生可多層次、廣視角、全方位地認識數(shù)學(xué)問題. 在“雙減”背景下,數(shù)學(xué)教師要站在時代前沿,用核心素養(yǎng)的理念實踐高中數(shù)學(xué)變式教學(xué),積極引導(dǎo)學(xué)生探索問題的變化、發(fā)現(xiàn)問題的本質(zhì)、揭示蘊含的數(shù)學(xué)思想,有效地激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣,從而使學(xué)生真正提高分析問題、解決問題的能力與方法,養(yǎng)成自主學(xué)習(xí)、自我構(gòu)建的積極學(xué)習(xí)方式和態(tài)度,切實讓學(xué)生從題海中走出來,有效提升數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).