基于核心素養(yǎng)的高三數(shù)學(xué)試卷講評策略
——以一道解析幾何定點問題為例

廣東省廣州市花都區(qū)秀全中學(xué)(510800) 董大新

如何上好高三數(shù)學(xué)試卷講評課,是值得探討的問題. 筆者認(rèn)為,高三數(shù)學(xué)試卷講評課是提升學(xué)生的關(guān)鍵能力和應(yīng)試策略的教學(xué)活動,要把握課型特征,選擇適切的講評策略,追求優(yōu)質(zhì)高效的講評效果.

1 高三數(shù)學(xué)試卷講評課的課型特征

(1)高三數(shù)學(xué)試卷講評課的教學(xué)目標(biāo)

高三數(shù)學(xué)試卷講評課是以“查漏補缺、優(yōu)化策略、提升素養(yǎng)”為主要任務(wù)的課型,其主要教學(xué)目標(biāo)是彌補知識缺陷,積累解題經(jīng)驗,優(yōu)化思維素質(zhì),提高應(yīng)試能力.

(2)高三數(shù)學(xué)試卷講評課的教學(xué)要求

高三數(shù)學(xué)試卷講評課的教學(xué)要求是: 把握考情,查漏補缺,突出重點,深度思維,反思優(yōu)化,培養(yǎng)意志品質(zhì),提升關(guān)鍵能力,優(yōu)化應(yīng)試策略.

(3)高三數(shù)學(xué)試卷講評課的操作程序

高三數(shù)學(xué)試卷講評課的常見操作模式有兩種[1]:

正誤辨析式: 展現(xiàn)錯誤—辨析糾錯—形成解法—變式練習(xí)—激勵評價.

引申拓展式: 展現(xiàn)解法—失誤分析—問題變式—激勵評價—變式訓(xùn)練.

2 高三數(shù)學(xué)試卷講評課的教學(xué)策略

核心素養(yǎng)導(dǎo)向的高三數(shù)學(xué)講評,要把“怎么想到的”思維過程展示給學(xué)生,要在“最近發(fā)展區(qū)”設(shè)計變式練習(xí)[2];要精準(zhǔn)分析錯因,注重問題本質(zhì),優(yōu)化解題方法[3]. 筆者認(rèn)為,高三數(shù)學(xué)試卷講評課的教學(xué)策略有: 注重學(xué)生參與,注重錯因分析,突出講評重點,注重變式探究.

(1)注重學(xué)生參與

高三數(shù)學(xué)試卷講評課要注重學(xué)生主動參與: 一是引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注自身進(jìn)步,自主糾錯,自我評價,提升學(xué)好數(shù)學(xué)的自信心;二是引導(dǎo)學(xué)生自我反思,舉一反三;三是引導(dǎo)學(xué)生優(yōu)化解法,深度思維,積累解題經(jīng)驗.

(2)注重錯因分析

高三數(shù)學(xué)試卷講評課要對失誤原因進(jìn)行恰當(dāng)歸因. 學(xué)生在考試中常出現(xiàn)過失性丟分和知識性失分,如審題不清,計算有錯,表達(dá)不規(guī)范,基礎(chǔ)知識掌握不牢[4]. 因此,在高三數(shù)學(xué)試卷講評課中要通過示錯教學(xué),找到錯誤癥結(jié),優(yōu)化糾錯策略. 通過對學(xué)生在測試中存在的問題,及時查漏補缺,完善知識結(jié)構(gòu).

(3)突出講評重點

高三數(shù)學(xué)試卷講評課要突出講評重點. 一是講評通性通法,強(qiáng)化審題訓(xùn)練,展示思維過程,尋求試題解法的改進(jìn)與優(yōu)化, 引領(lǐng)學(xué)生學(xué)會解題; 二是講評出錯原因, 分清錯誤類型,引導(dǎo)學(xué)生彌補解題缺陷,夯實基礎(chǔ)知識,完善數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu);三是講評試題本質(zhì),通過問題變式,強(qiáng)化問題探究意識,發(fā)展學(xué)生的應(yīng)變能力和創(chuàng)新意識;四是講評應(yīng)試策略,規(guī)范解題過程,強(qiáng)化得分意識,讓學(xué)生“少丟分、多得分”.

(4)注重變式探究

高三數(shù)學(xué)試卷講評課要注重變式探究. 變式探究可從兩個方面展開: 一是一題多解,拓寬解題思路,展現(xiàn)火熱的數(shù)學(xué)思考,尋求解法的改進(jìn)與優(yōu)化;二是一題多變,通過問題變式建構(gòu)知識之間的內(nèi)在聯(lián)系,在“變”的現(xiàn)象中發(fā)現(xiàn)“不變”的本質(zhì),在“不變”的本質(zhì)中探索“變”的規(guī)律,強(qiáng)化問題探究意識,優(yōu)化思維品質(zhì),培養(yǎng)應(yīng)變能力和創(chuàng)新能力.

3 高三數(shù)學(xué)試卷講評課的教學(xué)案例

下面以一道解析幾何定點問題為例,分享我們的實踐.

題目: (2020年廣州市綜合測試(一)文科數(shù)學(xué)第20 題)已知⊙M 過點A(0), 且與⊙N : (x++y2= 16內(nèi)切,設(shè)⊙M 的圓心M 的軌跡為曲線C.

(1)求曲線C 的方程;

(2)設(shè)直線l 不經(jīng)過點B(0,1)且與曲線C 相交于P,Q兩點. 若直線PB 與直線QB 的斜率之積為判斷直線l 是否過定點,若過定點,求出此定點坐標(biāo);若不過定點,請說明理由.

講評實錄:

教學(xué)環(huán)節(jié)1: 展現(xiàn)錯誤,尋找錯因.

教師: 本題主要考查直線、圓、橢圓的基礎(chǔ)知識,考查數(shù)形結(jié)合與分類討論思想,考查運算求解能力,得分率較低. 先看第(1)問解法(用多媒體平臺展示錯誤解法):

教師: 很好! 從答題情況看,第(1)問的主要失誤是記憶不牢,不能從圓與圓內(nèi)切找出正確的軌跡條件,不能按橢圓定義判斷所求軌跡的類型. 再看第(2)問的如下解法:

依題意,直線BP,BQ 的斜率均存在且不為0,

學(xué)生: 點P 的縱坐標(biāo)出錯.

教師: 確實,點P 的縱坐標(biāo)求錯了. 在第(2)問求解中,還有哪些失誤?

學(xué)生1: 先求P,Q 兩點的坐標(biāo),再求直線PQ 的方程,但求錯了P,Q 兩點的坐標(biāo).

學(xué)生2: 求對了P,Q 兩點的坐標(biāo),但直線PQ 的斜率算錯了.

學(xué)生3: 先設(shè)直線l 的方程,再作出判斷,結(jié)論正確,但沒有分類討論.

教師: 從答題情況來看,第(2)問的主要失誤有二: 一是“會而不對”,知道解題方法,但計算不過關(guān),導(dǎo)致結(jié)論出錯;二是“對而不全”,結(jié)論正確,但缺少對直線l 的斜率是否存在進(jìn)行分類討論, 解題過程不完整. 下面探討第(2)問的解法.

教學(xué)環(huán)節(jié)2: 深度理解,形成解法.

教師: 第(2)問的已知條件是什么? 解題目標(biāo)是什么? 如何達(dá)成解題目標(biāo)?

學(xué)生4: 已知條件有直線l 與曲線C 相交于P,Q 兩點,且不經(jīng)過點B(0,1).

學(xué)生6: 解題目標(biāo)是判斷動直線是否過定點.

學(xué)生7: 要達(dá)成解題目標(biāo),需建立已知條件和解題目標(biāo)的聯(lián)系.

教師: 如何判斷動直線是否過定點?

學(xué)生8: 先求動直線的方程,再作判斷.

教師: 如何求動直線的方程?

學(xué)生9: 根據(jù)已知條件先求P,Q 兩點坐標(biāo),再求直線l的方程.

學(xué)生10: 先設(shè)直線l 的方程,再由直線PB 與直線QB的斜率之積為確定直線l 的方程.

通過上述啟發(fā)引導(dǎo),學(xué)生獨立解題,教師投影第(2)問的兩種解法:

綜上所述,直線l 過定點(0,0).

教學(xué)環(huán)節(jié)3: 問題變式,把握本質(zhì).

教師: 改變題目條件,可得變式1.

(1)求橢圓C 的方程;

(2)設(shè)直線l 不經(jīng)過點B(2,0)且與橢圓C 相交于P,Q兩點. 若直線PB 與直線QB 的斜率之積為判斷直線l 是否過定點,若過定點,求出此定點坐標(biāo);若不過定點,請說明理由.

學(xué)生獨立求解,教師展示學(xué)生11 的解法:

綜上所述,直線l 過定點(0,0).

教師追問: 由上述題目與變式1,有何發(fā)現(xiàn)?

(1)求曲線C 的方程;

(2)設(shè)直線l 不經(jīng)過點B(2,0)且與曲線C 相交于P,Q兩點. 若直線PB 與直線QB 的斜率之積為判斷直線l 是否過定點,若過定點,求出此定點坐標(biāo);若不過定點,請說明理由.

學(xué)生解題,教師展示學(xué)生14 的解法:

教師: 將變式1、變式2 一般化,有何結(jié)論?

學(xué)生15: 設(shè)直線l 不經(jīng)過點B(2,0) 且與橢圓C :

教學(xué)環(huán)節(jié)4: 激勵評價,變式訓(xùn)練.

教師: 回顧上述考題與變式的求解過程,有何感悟?

學(xué)生16: 定義法和直譯法是求曲線方程的基本方法.

學(xué)生17: 直線過定點問題的基本解題思路是求出該直線的方程.

學(xué)生18: 定點問題要注重運算求解和分類討論.

教師: 善于歸納總結(jié),善于知識遷移! 雙曲線的直徑也有類似性質(zhì),請同學(xué)們課后編一道雙曲線背景下的直線過定點問題并予以解決.

接下來,教師布置如下3 道變式題讓學(xué)生求解.

(1)求曲線C 的方程;

(1)求曲線E 的方程;

(2)直線y = kx+m 與曲線E 相交于P,Q 兩點,若曲線E 上存在點R,使得四邊形OPRQ 為平行四邊形(其中O 為坐標(biāo)原點),求m 的取值范圍.

核心素養(yǎng)導(dǎo)向的高三數(shù)學(xué)試卷講評課要依據(jù)課型特征和學(xué)生實際,選擇恰當(dāng)?shù)慕虒W(xué)策略,提升關(guān)鍵能力,優(yōu)化應(yīng)試策略,為情境而教,為素養(yǎng)而教.