西蒙數(shù)學視角下的初中幾何模型復習課設計*
——以“手拉手模型復習”為例

廣東省廣州市江南外國語學校(510240) 黎樂鋒

1 發(fā)現(xiàn)問題

中考復習課堂中, 老師總希望學生能細嚼每個知識點,每節(jié)復習課都讓學生進行知識再現(xiàn)、進行課堂訓練鞏固等過程. 在這類課堂中,以老師為主導,學生完成老師設置的一系列教學活動,學生被動復習,亦步亦趨去完成老師心中的“教學任務”.這種統(tǒng)一步調(diào)的教學方式,一般會忽視學生個體差異,學困生難以跟上,尖子生始終“吃不飽”.為了有效提高課堂效果,越來越多教師開展專題化復習.

專題化復習課堂要求較高,以知識點角度看,要求學生系統(tǒng)地掌握一系列的知識,明確各個公式和定理在每種題型中的地位和作用,強化知識的交叉互補,構(gòu)建完整知識體系;以學生能力看,要重視數(shù)學思維能力的培養(yǎng),注重數(shù)學核心素養(yǎng)的提高和數(shù)學解題策略的分析,提升“四能”. 在實際操作中,效果卻不容易體現(xiàn). 一些專題課堂中,教師在課堂里一講到底,剝奪了學生的自主探索時間,難點重點都是被講出來的,不是學生自己發(fā)現(xiàn)的,教學效果不言而喻.

有如下教學片段:

專題復習的引入,常以一道中等題,甚至一道較難題為起點. 這道題既與主要解題思路相關,又有一定挑戰(zhàn)性的題目;既可簡化抽象出基本模型,又可深化拓展出難題. 但在學生角度來看,后進生要在短短幾分鐘內(nèi)跟上教師思路不容易,尖子生快速看穿思路后等待拓展,他們都需要教師作出合理且精確的引導. 然而,簡化抽象和深化拓展都需要花費不少時間, 如時間把控不好, 整節(jié)課就很容易變成老師的“一言堂”,課堂效果大打折扣.

2 思考對策

自新標準提出后,課堂教學主張“以學定教”,教學活動要以“學生的學”為中心. 教學過程中,應該給予學生充足的學習自主,盡可能讓學生自己明確目標,自主選擇內(nèi)容,先提問題,自發(fā)探尋方法,自行發(fā)現(xiàn)知識,學生控制過程,探究疑難,學生評價得失. 更有效的數(shù)學復習課堂,學生能夠敘述、能提問、能操作、能發(fā)現(xiàn)的,教師均不越俎代庖. 初中的幾何專題復習也應如是,同時需要更有效的教學方法.

2.1 借助西蒙數(shù)學理論,轉(zhuǎn)“教學設計”為“學習設計”

一次教學研討活動中,筆者接觸到新的教學策略——“西蒙數(shù)學”.“西蒙數(shù)學”源自美國科學家赫伯·西蒙(H ·A · Simon) , 其理念是: 尊重認知起點, 搭建小步臺階; 從易到難編排題組; 知識求聯(lián), 技能求變; 突出小結(jié), 訓練從嚴[1][2][3][4][5].“西蒙數(shù)學”的課堂中,教師不直接傳授數(shù)學知識給學生,而是給學生提出環(huán)環(huán)相扣的不同問題,形成問題鏈,并將其編寫成“認知工作單”,讓學生通過解決具體的數(shù)學問題,體驗知識的形成過程,通過自我探索和建構(gòu),歸納或發(fā)現(xiàn)數(shù)學概念、定理或方法. 但在此過程中,不否定教師的示范作用. 教師適當示范解題過程是必要的. 除“做中學”,還要讓學生懂得“例中學”,兩者是“西蒙數(shù)學”的核心.

初中幾何模型的學習中,每個基礎模型都能衍生出一系列的題組,這與西蒙數(shù)學通過題組呈現(xiàn)問題的方式非常匹配.模型化專題訓練能有效梳理中學生幾何知識,加深印象,而西蒙數(shù)學教學法則為該訓練課堂提供有效的方法. 因此,在幾何復習課堂中,可將兩者相互結(jié)合,以模型教學為主線,以西蒙數(shù)學認知工作單為載體,展開活動. 每個基礎數(shù)學模型均可安排一到兩個課時, 每個課時以題組方式呈現(xiàn)模型的“前世今生與將來”. 圖形從簡單到困難,設置關聯(lián)的小問題,給學生創(chuàng)造“腳手架”,聯(lián)系所需復習的知識,讓學生在自己解決問題中構(gòu)建模型、復習知識,實現(xiàn)“做中學”. 在完成每個題組后,教師引導學生完成題組小結(jié),鞏固認知. 課中或課后貫徹變式訓練、通解訓練,實現(xiàn)訓練從嚴,提升復習效果.

2.2 采取產(chǎn)生式,改變知識呈現(xiàn)方式

認知心理學的觀點認為,元認知的一個很重要的功能是監(jiān)控記憶策略選擇與使用的方式,是一個極其主動的加工過程.[6]教師的引導是外力,學生在教學過程中積極主動實現(xiàn)知識遷移才是重點. 在復習課堂中,要使每個學生都有提高,則每個學生都必須下筆做題和參加思考. 而在傳統(tǒng)課堂中,引起學生參與這些課堂活動的, 則是教師的引入與情景創(chuàng)設.為使學生更主動思考,可采取產(chǎn)生式,來呈現(xiàn)知識內(nèi)容.

數(shù)學的問題解決以及邏輯推理是基于產(chǎn)生式的. 數(shù)學問題均是以“如果…那么…”的形式出現(xiàn). 用認知產(chǎn)生式的方法開展教學,能有效降低學習門檻,讓大部分后進生也積極參與課堂活動. 捷克教育家夸美紐斯認為,教一個活動最好的方法是演示. 而荷蘭數(shù)學家弗賴登塔爾認為,學一個活動最好的方法是做. 在如何把“演示”和“做”進行有機結(jié)合的問題上,西蒙數(shù)學教學法給出了有效的解決方式.其理論基礎中的自適應產(chǎn)生式[7],是一種“條件轉(zhuǎn)化成活動”的規(guī)則,只要條件一出現(xiàn),活動就自動產(chǎn)生. 在解決一個復雜問題或作業(yè)時,需要許多產(chǎn)生式,它們構(gòu)成了產(chǎn)生式系統(tǒng). 而自適應產(chǎn)生式系統(tǒng)是一種能夠使學生獲得產(chǎn)生式的學習系統(tǒng),這種學習方式,回歸了人類學習的本原過程. 在幾何模型復習課中,運用產(chǎn)生式能把學生學習主動性提高. 通過把題目分拆成多個互相連貫的產(chǎn)生式,可讓學生由淺入深地通過做題完成知識遷移,促其有效理解幾何基本模型的來由、變式與綜合運用.

3 案例分析

為把理論與實踐結(jié)合,筆者以西蒙數(shù)學的模式展開專題教學. 基于西蒙數(shù)學的教學環(huán)節(jié)包括: 目標分析——知識建構(gòu)——知識遷移——能力拓展——總結(jié)反思[2][3][4]. 實現(xiàn)轉(zhuǎn)變的關鍵是如何設計問題鏈,在“例中學”與“做中學”中促學生層層深入學習. 以下,以“手拉手模型”為例,借助西蒙數(shù)學理論,探討幾何復習課的設計.

3.1 實踐案例

3.2 設計說明

首先,學習目標是了解模型的形成、特點與應用. 從兩個共頂點的角,到兩個共頂點的三角形,再增加連線,最后在復雜問題中抽象出手拉手模型. 這是本節(jié)課的主線.

其次,進行模型的構(gòu)建過程. 把兩個相等的角放到同一個頂點,給出不同的已知條件,求相同的等角關系. 知識構(gòu)建起點較低,適合各層次學生,是后續(xù)題組的腳手架. 整個過程中,學生貫徹“做中學”.

第三,進行關鍵的題組解題. 從難易度考慮,設計兩個題組. 貫徹變式訓練,重視知識聯(lián)系,對每個題組給出相關的策略分析,重視小結(jié). 既保證“做中學”,也實現(xiàn)“例中學”.

第四,進行能力拓展. 這個部分選用了一道包含手拉手模型、中位線定理和圓中基本概念的綜合題. 其中還需要添加輔助線,才能抽象出手拉手模型和中位線模型.

最后的反思,旨在反思解題策略和關鍵,加強課堂效果.

4 教學啟示與反思

初三學生雖然具備一定的幾何知識和相應的解題方法.但在分析、解決問題時仍需要適當?shù)摹澳_手架”,對后進生而言尤為重要. 經(jīng)過實踐發(fā)現(xiàn),問題的切入應從兩個相等的角有共同頂點開始. 由于未涉及三角形,單純使用角度的加減運算,這種“低起點”做法對所有學生均適用. 通過變換已知角度,計算出等角關系,從而引出手拉手模型. 再提出兩個題組讓學生進行探索,實現(xiàn)小步臺階、層層深入. 經(jīng)過反思與求證,筆者有如下幾點感悟:

(1)自適應產(chǎn)生式系統(tǒng)的形成,要體現(xiàn)學生的主體性

題組訓練的主要內(nèi)容總是圍繞學生的需要來進行,按照學生的認知規(guī)律,由淺入深,逐步實現(xiàn)知識的遷移與鞏固. 設計題組時,必須低起點,因材施教. 課堂中多肯定與激勵,激發(fā)學生的內(nèi)驅(qū)力,提高學生的學習主動性. 自適應產(chǎn)生式系統(tǒng)既要重視學生的學習主體地位,也要幫助學生緊跟課堂腳步,積極參與課堂訓練,提高復習課效果,做到人人都有提高.

(2)數(shù)學產(chǎn)生式的主線,要保證幾何模型的同一性

學生或許每題都能解決,但是否每題都能從中提取數(shù)學模型,則需要老師的引導與自我反思總結(jié). 如果學生無法找出題組中的題目關系,則難以理解題組的小結(jié)內(nèi)容. 產(chǎn)生式系統(tǒng)的效果,必須建立在知識系統(tǒng)化的基礎上. 教師要強調(diào)題組中的數(shù)學模型在解題過程中的作用,要把同一幾何模型貫穿課堂,從基本模型出發(fā),到復雜的變式變形,適當引導學生把握每個產(chǎn)生式之間的聯(lián)系,形成系統(tǒng).

(3)數(shù)學模型的建構(gòu),要明確思考的指向性

幾何模型的復習,除了明確模型的“前世與今生”,更要為學生指出將來要怎么使用數(shù)學模型. 如出現(xiàn)怎樣的條件,就要使用哪個模型. 最直接的方法,就是給出問題拓展,利用一些真題進行訓練,做到訓練從嚴. 用同一個模型解決不同的問題,讓思考方向更明確.

在以幾何模型為主線的復習課中,以西蒙數(shù)學教學法重構(gòu)教學流程,編排適當?shù)摹澳_手架”,貫徹“做中學”和“例中學”,小步臺階、層層深入,可以有效提高復習效率.以“西蒙數(shù)學”的視角去設計認知工作單,改“重教”為“重學”,或能優(yōu)化傳統(tǒng)課堂的某種教學模式, 逐漸改變教師的角色特點,使學生在復習課堂中不再被動,而是自主進行知識的建構(gòu)與學習反思.長此以往,學生的數(shù)學素養(yǎng)、學習能力的提升,就會漸見成效.