關(guān)于不定方程x2+4n=y11的整數(shù)解*

蔡 小 群

(華南師范大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，廣州 510631)

0 引 言

設(shè)B∈N, 研究Lebesgue-Nagell不定方程:

x2+B=yk

(1)

的整數(shù)解是數(shù)論中不可或缺的一部分。

最初，Lebesgue[1]證明了當(dāng)B=1時(shí)，式(1)僅有整數(shù)解(x,y)=(0,1)；潘承洞等[2]證明了當(dāng)B=1，k=3時(shí),式(1)僅有解(x,y)=(0,1)；當(dāng)B=4，k=3 時(shí),式(1)僅有解(x,y)=(±2,2)，(±11,5)。近年來, 不少學(xué)者研究了B=4n，n≥1 時(shí)，式(1)的整數(shù)解[3-28]。文獻(xiàn)[19]提出以下猜想:

文獻(xiàn)[9]與[19] 分別證明了k=5,9時(shí)猜想1成立。本文將驗(yàn)證k=11時(shí)，猜想1也成立。為此，首先證明不定方程x2+4n=y11在x為奇數(shù)，n≥1時(shí)無整數(shù)解, 再證明不定方程x2+4n=y11在n∈{1,8,9,10} 時(shí)均無整數(shù)解, 進(jìn)而證明k=11時(shí)猜想1成立，即證明不定方程x2+4n=y11有整數(shù)解的充要條件是n≡0(mod 11)或n≡5(mod 11)，且當(dāng)n≡0(mod 11)時(shí)，其整數(shù)解為(x,y)=(0,4m)；當(dāng)n≡5(mod 11)時(shí)，其整數(shù)解為 (x,y)=(±211m+5,22m+1)，這里的m為非負(fù)整數(shù)。

1 相關(guān)概念、性質(zhì)及記號(hào)

定義2[2]設(shè)M=(M,⊕,?)是一個(gè)整環(huán)，α,β∈M， 若存在單位元素ε，使β=ε?α，則稱β是α的相伴數(shù), 記作β～α。

性質(zhì)1[2]設(shè)α,β∈Z[i]，若α|β，則N(α)|N(β)。

以下， 為方便起見，把α?β記為αβ。

α=ε1μk，β=ε2νk

這里ε1,ε2是M中的單位元素, 且ε1ε2=εk，ε為單位元素。

引理2[19]在Z[i]中, 若δ|2, 則在相伴意義下,δ∈{1,1+i,2}。

引理3[1]不定方程x2+40=y11僅有整數(shù)解(x,y)=(0,1)。

引理4[20]不定方程x2+42=y11無整數(shù)解。

引理5[21]不定方程x2+43=y11與x2+44=y11均無整數(shù)解, 且不定方程x2+45=y11僅有整數(shù)解(x,y)=(±32,2)。

引理6[21]不定方程x2+46=y11與x2+47=y11均無整數(shù)解。

2 主要結(jié)論及證明

本節(jié)首先證明當(dāng)x為奇數(shù)，n≥1 時(shí), 不定方程x2+4n=y11無整數(shù)解，再證明不定方程x2+4n=y11(n∈{1,8,9,10})無整數(shù)解，最后給出不定方程x2+4n=y11有整數(shù)解的充要條件。

引理7 不定方程x2+4n=y11當(dāng)n≥1，x為奇數(shù)時(shí)無整數(shù)解。

證明不定方程x2+4n=y11在Z[i]中可表示成(x+2ni)(x-2ni)=y11。

設(shè)δ=(x+2ni,x-2ni), 由x是奇數(shù)知(2x,2n+1i)=2，從而δ|2。由引理2知，δ可取1,1+i,2。以下將分3種情形進(jìn)行證明。

情形1 若δ=2， 由x為奇數(shù)知x+2ni為奇數(shù)，與δ|(x+2ni)矛盾, 故δ≠2。

情形2 若δ=1+i, 由性質(zhì)1知N(1+i)|N(x+2ni), 即2|(x2+4n), 這與x為奇數(shù)矛盾, 故δ≠1+i。

情形3 若δ=1，由引理1及Z[i]中的任一單位元素均可表為其中一個(gè)單位元素的11次方可設(shè)x+2ni=(a+bi)11, 這里a,b∈Z。從而有

x=a11-55a9b2+330a7b4-462a5b6+165a3b8-11ab10

(2)

2n=b(11a10-165a8b2+462a6b4-330a4b6+55a2b8-b10)

(3)

因?yàn)閍,b∈Z, 由式(3)可得b=±2t(0≤t≤n)。下面將分t=0，1≤t≤n-1(n≥2)，t=n這3種情形進(jìn)行討論。

情形1t=0。

此時(shí)將b=±1代入式(2)，得

x=a11-55a9+330a7-462a5+165a3-11a≡

a11-55a9+165a3-11a(mod 2)

易見x為偶數(shù)，這與x為奇數(shù)矛盾。

情形2 1≤t≤n-1，這里n≥2。

將b=±2t(1≤t≤n-1)代入式(3)，得

±2n-t=11a10-165a8b2+462a6b4-330a4b6+55a2b8-b10

顯見a是偶數(shù)，從而由式(2)知x為偶數(shù)，這與x為奇數(shù) 矛盾。

情形3t=n。

子情形3.1b=2n。

將b=2n代入式(3)，得

11a2(a8-15a6b2+42a4b4-30a2b6+5b8)=
210n+1

(4)

對(duì)式(4)兩邊同時(shí)取模11, 式(4)左邊≡0(mod 11), 而右邊≡2(mod 11)， 顯然矛盾。

子情形3.2b=-2n。

子情形3.2.1n=1。

此時(shí)將b=-2 代入式(3)，得

11a2(a8-15a6b2+42a4b4-30a2b6+5b8)=3×11×31

由a∈Z易得a2=1。

將a2=1,b=-2 代入式(3)整理得-27=93， 矛盾。

子情形3.2.2n≥2。

將b=-2n代入式(3)得

11a10-165a8b2+462a6b4-330a4b6+55a2b8=
210n-1

(5)

由式(2)及x為奇數(shù)可知a為奇數(shù), 從而a2≡1(mod 8)。對(duì)式(5)兩邊同時(shí)模8,由n≥2可知式(5)左邊≡11a10≡3(mod 8)，而右邊≡7(mod 8)，矛盾。

綜上所述，不定方程x2+4n=y11當(dāng)x為奇數(shù)時(shí)無整數(shù)解。

引理8 不定方程x2+4=y11無整數(shù)解。

證明分x的奇偶性進(jìn)行分類討論。

情形1x為奇數(shù)。

由引理7可知不定方程x2+4=y11無整數(shù)解。

情形2x為偶數(shù)。

綜上可知，不定方程x2+4=y11無整數(shù)解。

引理9 不定方程x2+4n=y11(n=8,9,10)無整數(shù)解。

證明分x為奇數(shù)和偶數(shù)兩種情況分別證明。

情形1x為奇數(shù)。

由引理7可知此時(shí),不定方程x2+4n=y11(n=8,9,10)無整數(shù)解。

情形2x為偶數(shù)。

綜上可知, 不定方程x2+4n=y11(n=8,9,10)無整數(shù)解。

定理1 不定方程x2+4n=y11有整數(shù)解的充要條件是n≡0(mod 11)或n≡5(mod 11)，且當(dāng)n≡0(mod 11)時(shí),其整數(shù)解為(x,y)=(0,4m)；當(dāng)n≡5(mod 11)時(shí),其整數(shù)解為 (x,y)=(±211m+5,22m+1)，這里的m為非負(fù)整數(shù)。

證明充分性顯然, 僅證必要性, 即證當(dāng)不定方程x2+4n=y11有整數(shù)解時(shí)的充要條件是n≡0(mod 11)或n≡5(mod 11)，且當(dāng)n≡0(mod 11)時(shí),其整數(shù)解為(x,y)=(0,4m)；當(dāng)n≡5(mod 11)時(shí),其整數(shù)解為 (x,y)=(±211m+5,22m+1)，這里的m為非負(fù)整數(shù)。

以下按x的奇偶性進(jìn)行分類證明。

情形1x為奇數(shù)。

此時(shí)由引理 3 及引理7知, 不定方程x2+4n=y11無整數(shù)解。

情形2x為偶數(shù)。

不失一般性, 不妨設(shè)n=11m+l, 其中l(wèi)∈{0,1,…,10}, 這里m是非負(fù)整數(shù)。下面對(duì)m用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明。

當(dāng)m=0 時(shí), 由引理3—6，引理8及引理9知結(jié)論成立。

當(dāng)m=1時(shí),x2+4n=y11可表示成x2+411+l=y11。

由m=0的結(jié)論可知，不定方程u2+4l=v11有整數(shù)解時(shí)l=0或l=5，且當(dāng)l=0 時(shí)，其整數(shù)解為(u,v)=(0,1)；當(dāng)l=5時(shí)，其整數(shù)解為(u,v)=(±25,2)。因此不定方程x2+411+l=y11有整數(shù)解時(shí)，11+l≡0(mod 11)或11+l≡0(mod 11)，且當(dāng)l=0時(shí)，其整數(shù)解為(x,y)=(0,41)；當(dāng)l=5時(shí), 其整數(shù)解為(x,y)=(±211×1+5,22×1+1)。故m=1時(shí)結(jié)論成立。

假設(shè)m=t(t>1)時(shí)結(jié)論成立,即當(dāng)x2+411t+l=y11有整數(shù)解時(shí)，11t+l≡0(mod 11)或11t+l≡0(mod 11),且當(dāng)l=0時(shí)，其整數(shù)解為(x,y)=(0,4t)；當(dāng)l=5時(shí)，其整數(shù)解為(x,y)=(±211t+5,22t+1)。下證當(dāng)m=t+1時(shí), 即n=11(t+1)+l時(shí), 結(jié)論也成立。

此時(shí)不定方程x2+4n=y11可表示成x2+411(t+1)+l=y11，即x2+411+(11t+l)=y11。類似于m=1的證明過程可知,x2+411+(11t+l)=y11有整數(shù)解當(dāng)且僅當(dāng)u2+411t+l=v11有整數(shù)解, 且有解時(shí)，有x=211u,y=4v。由歸納假設(shè)可知，u2+411t+l=v11有整數(shù)解時(shí)，11t+l≡0(mod 11)或11t+l≡5(mod 11)，且當(dāng)l=0時(shí), 其整數(shù)解為(u,v)=(0,4t)；當(dāng)l=5時(shí),其整數(shù)解為(u,v)=(±211t+5,22t+1)。故當(dāng)x2+411(t+1)+l=y11有整數(shù)解時(shí)，11(t+1)+l≡0(mod 11)或11(t+1)+l≡5(mod 11),且當(dāng)l=0時(shí),其整數(shù)解為(x,y)=(0,4t+1)；當(dāng)l=5時(shí)其整數(shù)解(x,y)=(±211(t+1)+5,22(t+1)+1)。從而當(dāng)m=t+1時(shí),結(jié)論也成立。

綜上，由數(shù)學(xué)歸納法可知結(jié)論成立。證畢。

顯見，由定理1及已知結(jié)果，可知猜想1在k=5,9,11時(shí)已成立。在后續(xù)研究中，將證明k=7時(shí)猜想1也成立。