丟番圖方程x2+(2n)2=y9(1≤n≤7)的整數(shù)解

陳一維， 柴向陽

(華北水利水電大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，鄭州 450045)

0 引 言

設(shè)B∈N，研究指數(shù)型 Lebesgue-Nagell 不定方程:

x2+B=yk

(1)

的整數(shù)解是數(shù)論中的一類重要課題，已經(jīng)有了不少研究成果[1-10]。在B=(2n)2，k=9時(shí),式(1) 的整數(shù)解問題研究中，李偉[11]證明了n=1時(shí)，不定方程x2+4=y9無整數(shù)解；楊全[12]證明了n=2時(shí)，不定方程x2+16=y9無整數(shù)解；許宏鑫等[13]在求解不定方程x2+4k=y9的整數(shù)解時(shí)，證明了n=4時(shí)，不定方程x2+64=y9無整數(shù)解，n=8時(shí)x2+256=y9僅有整數(shù)解 (x,y)=(±16,4)。但對(duì)于n=3和n≥5的情況還并未有過討論。本文在此基礎(chǔ)上，就n=3,5,6,7的情況進(jìn)行了討論，并給出了不定方程x2+(2n)2=y9在n=3，5，6,7 時(shí)無整數(shù)解的證明和結(jié)論。

1 基本概念及相關(guān)性質(zhì)

引理1 設(shè)M是唯一分解整環(huán)，正整數(shù)k≥2，α,β∈M,(α,β)=1，若αβ=γk,γ∈M，則有α=ε1μk,β=ε2νk,μ,ν∈M，其中ε1,ε2是M中的單位元素，并且ε1ε2=εk，ε為單位元素。

引理2n=1時(shí)，x2+4=y9無整數(shù)解。

引理3n=2時(shí)，x2+16=y9無整數(shù)解。

引理4n=4時(shí)，x2+64=y9無整數(shù)解。

2 定理及其證明

定理1n=3時(shí),不定方程

x2+36=y9(x,y∈Z)

(2)

無整數(shù)解。

證明分x≡1(mod 2)和x≡0(mod 2)兩種情況進(jìn)行討論。

(1)x≡1(mod 2)，在Z[i]中，式(2)可以寫為(x+6i)(x-6i)=y9,x,y∈Z。

設(shè)δ=(x+6i)(x-6i)，由δ|(2x,12i)=2得δ只能取1，1+i，2。因x≡1(mod 2)，有(x+6i)=1(mod 2)，所以δ≠2；若δ=1+i，則N(1+i)|N(x+6i)，即2|(x2+36)，與x≡1(mod 2)矛盾，所以δ=1。

由引理1，有

x+6i=(a+bi)9,x,a,b∈Z

因此得

x=a9-36a7b2+126a5b4-84a3b6+9ab8
6=b(9a8-84a6b2+126a4b4-36a2b6+b8)

(3)

則b=±1，±2，±3，±6。

b=1時(shí)，由式(3)可得

5=3(3a8-28a6b2+42a4b4-12a2b6)

(4)

要使式(4)成立，需要滿足3|5，顯然不可能，所以b≠1。

b=-1時(shí)，由式(3)可得

-7=3(3a8-28a6b2+42a4b4-12a2b6)

(5)

要使式(5)成立，需要滿足3|-7，顯然不可能，所以b≠-1。

b=2時(shí)，由式(3)可得

-253=3(3a8-28a6b2+42a4b4-12a2b6)

(6)

要使式(6)成立，需要滿足3|-253，顯然不可能，所以b≠2。

b=-2時(shí)，由式(3)可得

-259=3(3a8-28a6b2+42a4b4-12a2b6)

(7)

要使式(7)成立，需要滿足3|-259，因?yàn)閍∈Z，所以b≠-2。

b=3時(shí)，由式(3)可得

-6 559=3(3a8-28a6b2+42a4b4-12a2b6)

(8)

要使式(8)成立，需要滿足3|-6 559，因?yàn)閍∈Z，所以b≠3。

b=-3時(shí),由式(3)可得

-6 563=3(3a8-28a6b2+42a4b4-12a2b6)

(9)

要使式(9)成立，需要滿足3|-6 563，因?yàn)閍∈Z，所以b≠-3。

b=6時(shí),由式(3)可得

-1 679 617=3(3a8-28a6b2+42a4b4-12a2b6)

(10)

要使式(10)成立，需要滿足3|-1 679 615，因?yàn)閍∈Z，所以b≠6。

b=-6時(shí),由式(3)可得

-1 679 617=3(3a8-28a6b2+42a4b4-12a2b6)

(11)

要使式(11)成立，需要滿足3|-1 679 617，因?yàn)閍∈Z，所以b≠-6。

所以當(dāng)x=1(mod 2)，n=3時(shí),不定方程x2+36=y9(x,y∈Z)無整數(shù)解。

(2)x≡0(mod 2)時(shí)?？芍獂為偶數(shù)，則y=0(mod 2)。設(shè)x=2x1，y=2y1，代入式(2)得

設(shè)x1=2x2+1，得

故n=3時(shí)，不定方程x2+(2n)2=y9無整數(shù)解。

定理2n=5時(shí)，不定方程

x2+100=y9(x,y∈Z)

(12)

無整數(shù)解。

證明分x≡1(mod 2)和x≡0(mod 2)兩種情況進(jìn)行討論。

(1) 當(dāng)x≡1(mod 2)時(shí)，在Z[i]中，式(12)可以寫為(x+10i)(x-10i)=y9,x,y∈Z。

設(shè)δ=(x+10i)(x-10i)，由δ|(2x,20i)=2得δ只能取1，1+i，2。因x≡1(mod 2)，有(x+10i)=1(mod 2)，所以δ≠2；若δ=1+i，則N(1+i)|N(x+6i)，即2|(x2+100)，與x≡1(mod 2)矛盾，所以δ=1。

由此和引理1，有

x+10i=(a+bi)9,x,a,b∈Z

因此得

x=a9-36a7b2+126a5b4-84a3b6+9ab8
10=b(9a8-84a6b2+126a4b4-36a2b6+b8)

(13)

則b=±1，±2，±5，±10。

b=1時(shí)，由式(13)可得

9=a2(9a6-84a4b2+126a2b4-36b6)

(14)

要使式(14)成立，則a2=1或a2=9。

a2=1，b=1代入式(14)可得

a2(9a6-84a4b2+126a2b4-36b6)=15≠9

a2=9，b=1代入式(14)可得

a2(9a6-84a4b2+126a2b4-36b6)=7695≠9

所以b≠1。

b=-1時(shí)，由式(13)可得

-11=3(3a8-28a6b2+42a4b4-12a2b6)

(15)

要使式(15)成立，需要滿足3|-11，顯然不可能，所以b≠-1。

b=2時(shí)，由式(13)得

-251=3(3a8-28a6b2+42a4b4-12a2b6)

(16)

要使式(16)成立，需要滿足3|-251，因?yàn)閍∈Z，所以b≠2。

b=-2時(shí)，由式(13)可得

-261=a2(9a6-84a4b2+126a2b4-36b6)

(17)

要使式(17)成立，則a2=1或a2=9。

將a2=1，b=-2代入式(17)可得

a2(9a6-84a4b2+126a2b4-36b6)=
-615≠-261

將a2=1，b=-2代入式(17)可得

a2(9a6-84a4b2+126a2b4-36b6)=
-43 335≠-261

所以b≠-2。

b=5時(shí)，由式(13)可得

-390 623=3(3a8-28a6b2+42a4b4-12a2b6)

(18)

要使式(18)成立，需要滿足3|-390 623，因?yàn)閍∈Z，所以b≠5。

b=-5時(shí)，由式(13)可得

-390 627=a2(9a6-84a4b2+126a2b4-36b6)

(19)

-3×3×43 403=a2(9a6-84a4b2+126a2b4-36b6)

要使式(19)成立，則a2=1或a2=9。

a2=1，b=-5代入式(19)可得

a2(9a6b-84a4b2+126a2b4-36b6)=
-485 841≠-390 627

a2=9，b=-5代入式(19)可得

a2(9a6b-84a4b2+126a2b4-36b6)=
-155 601≠-390 627

所以b≠-5。

b=10時(shí),由式(13)可得

1-108=a2(9a6-84a4b2+126a2b4-36b6)

也即

-99 999 999=a2(9a6-84a4b2+126a2b4-36b6)

(20)

-3×3×11 111 111=a2(9a6-84a4b2+126a2b4-36b6)

要使式(20)成立，則a2=1或a2=9，將a2=1，b=10 代入式(20)可得

a2(9a6-84a4b2+126a2b4-36b6)=
-34 748 391≠-99 999 999

a2=9，b=10代入式(20)可得

a2(9a6-84a4b2+126a2b4-36b6)=
-228 004 551≠-99 999 999

所以b≠10。

b=-10時(shí)，由式(13)可得

-100 000 001=

3(3a8-28a6b2+42a4b4-12a2b6)

(21)

要使式(21)成立，需要滿足3|-100 000 001，因?yàn)閍∈Z，所以b≠-10。

所以當(dāng)x=1(mod 2)，n=5時(shí),不定方程x2+100=y9無整數(shù)解。

(2)x≡0(mod 2)時(shí),可知x為偶數(shù)，則y=0(mod 2)。設(shè)x=2x1，y=2y1，代入式(12)可得

設(shè)x1=2x2+1，得

故n=5時(shí)不定方程x2+(2n)2=y9無整數(shù)解。

定理3

n=6時(shí),不定方程

x2+144=y9(x,y∈Z)

(22)

無整數(shù)解。

證明分x≡1(mod 2)和x≡0(mod 2)兩種情況進(jìn)行討論。

(1) 當(dāng)x≡1(mod 2)時(shí)，在Z[i] 中，式(2)可以寫為(x+12i)(x-12i)=y9,x,y∈Z。

設(shè)δ=(x+12i)(x-12i)，由δ|(2x,24i)=2得δ只能取1，1+i，2。因x≡1(mod 2),有(x+12i)=1(mod 2)，所以δ≠2；若δ=1+i，則N(1+i)|N(x+12i)，即2|(x2+144)，與x≡1(mod 2)矛盾，所以δ=1。

由此和引理1，有

x+12i=(a+bi)9,x,a,b∈Z

因此有

x=a9-36a7b2+126a5b4-84a3b6+9ab8
12=b(9a8-84a6b2+126a4b4-36a2b6+b8)

(23)

則b=±1，±2，±3，±4，±6，±12。

b=1時(shí)，由式(23)可得

11=3(3a8-28a6b2+42a4b4-12a2b6)

(24)

要使式(24)成立，需要滿足3|11，顯然不可能，所以b≠1。

b=-1時(shí)，由式(23)可得

-13=3(3a8-28a6b2+42a4b4-12a2b6)

(25)

要使式(25)成立，需要滿足3|-13，顯然不可能，所以b≠-1。

b=2時(shí)，由式(23)可得

-250=3(3a8-28a6b2+42a4b4-12a2b6)

(26)

要使式(26)成立，需要滿足3|-250，因?yàn)閍∈Z，所以b≠2。

b=-2時(shí)，由式(23)得

-262=3(3a8-28a6b2+42a4b4-12a2b6)

(27)

要使式(27)成立，需要滿足，因?yàn)閍∈Z，所以b≠-2。

b=3時(shí)，由式(23)得

-6 557=3(3a8-28a6b2+42a4b4-12a2b6)

(28)

要使式(28)成立，需要滿足3|-6 557，因?yàn)閍∈Z，所以b≠3。

b=-3時(shí)，由式(23)得

-6 565=3(3a8-28a6b2+42a4b4-12a2b6)

(29)

要使式(29)成立，需要滿足3|-6 565，因?yàn)閍∈Z，所以b≠-3。

b=4時(shí)，由式(23)可得

3-48=a2(9a6-84a4b2+126a2b4-36b6)

也即

-65 533=a2(9a6-84a4b2+126a2b4-36b6)

(30)

-3×3×3×3×8 093=a2(9a6-84a4b2+126a2b4-36b6)

要使式(30)成立，則a2=1或a2=9，或a2=81。

a2=1，b=4代入式(30)可得

a2(9a6-84a4b2+126a2b4-36b6)=-116 535≠-65 533

a2=9，b=4代入式(30)可得

a2(9a6-84a4b2+126a2b4-36b6)=

-364 905≠-65 533

a2=81，b=4代入式(30)可得

a2(9a6-84a4b2+126a2b4-36b6)=
-127 148 535≠-65 533

所以b≠4。

b=-4時(shí)，由式(23)可得

-65 539=3(3a8-28a6b2+42a4b4-12a2b6)

(31)

要使式(31)成立，需要滿足3|65 539，因?yàn)閍∈Z，所以b≠-4。

b=6時(shí)，由式(23)可得

2-68=3(3a8-28a6b2+42a4b4-12a2b6)

也即

-1 679 614=3(3a8-28a6b2+42a4b4-12a2b6)

(32)

要使式(32)成立，需要滿足3|-1 679 614，因?yàn)閍∈Z，所以b≠6。

b=-6時(shí)，由式(23)可得

-2-68=3(3a8-28a6b2+42a4b4-12a2b6)

也即

-1 679 618=3(3a8-28a6b2+42a4b4-12a2b6)

(33)

要使式(33)成立，需要滿足3|-1 679 618，因?yàn)閍∈Z，所以b≠-6。

b=12時(shí)，由式(23)可得

1-128=3(3a8-28a6b2+42a4b4-12a2b6)

也即

-429 981 695=3(3a8-28a6b2+42a4b4-12a2b6)

(34)

要使式(34)成立，需要滿足3|-42 981 695，因?yàn)閍∈Z，所以b≠12。

b=-12時(shí)，由式(23)可得

-1-128=3(3a8-28a6b2+42a4b4-12a2b6)

也即

-429 981 697=3(3a8-28a6b2+42a4b4-12a2b6)

(35)

要使式(35)成立，需要滿足3|-429 981 697，因?yàn)閍∈Z，所以b≠-12。

所以當(dāng)x=1(mod 2)，n=5時(shí)，不定方程x2+144=y9無整數(shù)解。

(2)x≡0(mod 2)時(shí),可知x為偶數(shù)，則y=0(mod 2)。設(shè)x=2x1，y=2y1，代入式(22)可得

故n=6時(shí),不定方程x2+(2n)2=y9無整數(shù)解。

定理4

n=7時(shí),不定方程

x2+196=y9(x,y∈Z)

(36)

無整數(shù)解。

證明分x≡1(mod 2)和x≡0(mod 2)兩種情況進(jìn)行討論。

(1) 當(dāng)x≡1(mod 2)時(shí)，在Z[i]中，(2)式可以寫為(x+7i)(x-7i)=y9,x,y∈Z。

設(shè)δ=(x+7i)(x-7i)，由δ|(2x,14i)=2得δ只能取1，1+i，2。因x≡1(mod 2),有(x+7i)=1(mod 2)，所以δ≠2；若δ=1+i，則N(1+i)|N(x+7i)，即2|(x2+196)，與x≡1(mod2)矛盾，所以δ=1。

由此和引理1，有

x+7i=(a+bi)9,x,a,b∈Z

因此有

x=a9-36a7b2+126a5b4-84a3b6+9ab8
14=b(9a8-84a6b2+126a4b4-36a2b6+b8)

(37)

則b=±1，±2，±7，±14。

b=1時(shí)，由式(37)得

13=3(3a8-28a6b2+42a4b4-12a2b6)

(38)

要使式(38)成立，需要滿足3|13，顯然不可能，所以b≠1。

b=-1時(shí)，由式(37)得

-15=a2(9a6-84a4b2+126a2b4-36b6)

(39)

要使式(39)成立，則a2=1。

a2=1,b=-1代入式(39)得

a2(9a6-84a4b2+126a2b4-36b6)=15≠-15

所以b≠-1。

b=2時(shí)，由式(37)得

-249=a2(9a6-84a4b2+126a2b4-36b6)

(40)

也即

-3×83=a2(9a6-84a4b2+126a2b4-36b6)

要使式(40)成立，則a2=1。

a2=1，b=2代入式(40)可得

a2(9a6-84a4b2+126a2b4-36b6)=
-615≠-249

所以b≠2。

b=-2時(shí)，由式(37)可得

-7-28=3(3a8-28a6b2+42a4b4-12a2b6)

也即

-263=3(3a8-28a6b2+42a4b4-12a2b6)

(41)

要使式(41)成立，需要滿足3|-263，因?yàn)閎∈Z，所以b≠-2。

b=7時(shí)，由式(37)可得

2-78=3(3a8-28a6b2+42a4b4-12a2b6)

也即

-5 764 799=
3(3a8-28a6b2+42a4b4-12a2b6)

(42)

要使式(42)成立，需要滿足3|-5 764 799，因?yàn)閎∈Z，所以b≠7。

b=-7時(shí)，由式(37)得

-2-78=3(3a8-28a6b2+42a4b4-12a2b6)

也即

-5 764 803=3(3a8-28a6b2+42a4b4-12a2b6)

(43)

-3×11×11×15 881=a2(9a6-84a4b2+126a2b4-36b6)

要使式(43)成立，則a2=1或a2=11。

a2=1，b=-7代入式(43)可得

a2(9a6-84a4b2+126a2b4-36b6)=
-3 936 945≠-5 764 803

a2=11，b=-7代入式(43)可得

a2(9a6-84a4b2+126a2b4-36b6)=
-15 329 985≠-5 764 803

所以b≠-7。

b=14時(shí)，由式(37)可得

1-148=3(3a8-28a6b2+42a4b4-12a2b6)

也即

-1 475 789 055=a2(9a6-84a4b2+126a2b4-36b6)

(44)

-3×5×13×41×197×937=
a2(9a6-84a4b2+126a2b4-36b6)

要使式(44)成立，則a2=1。

a2=1，b=14代入式(44)得

a2(9a6b-84a4b2+126a2b4-36b6)=
-266 239 335≠-1 475 789 055

所以b≠14。

b=-14時(shí)，由式(37)可得

-1-148=
3(3a8-28a6b2+42a4b4-12a2b6)

也即

-1 475 789 057=
3(3a8-28a6b2+42a4b4-12a2b6)

(45)

要使式(45)成立，需要滿足3|-1 475 789 057，因?yàn)閍∈Z，所以b≠-14。

所以當(dāng)x=1(mod 2)，n=7時(shí)，不定方程x2+196=y9無整數(shù)解。

(2)x≡0(mod 2)時(shí),可知x為偶數(shù)，則y=0(mod 2)。設(shè)x=2x1，y=2y1，代入式(36)可得

設(shè)x1=2x2+1，得

故n=7時(shí)，不定方程x2+(2n)2=y9無整數(shù)解。

綜上所述，得出不定方程x2+(2n)2=y9(1≤n≤7,x,y,n∈Z)時(shí)，無整數(shù)解。

3 結(jié) 論

不定方程是數(shù)論方面的一個(gè)重要問題，在這方面的研究已經(jīng)很多，上述過程就不定方程x2+(2n)2=y9在n=3,5,6,7時(shí)的整數(shù)解問題進(jìn)行討論，給出這不定方程x2+(2n)2=y9(n=3,5,6,7,x,y,n∈Z)無整數(shù)解的結(jié)論和證明，并根據(jù)已有結(jié)論總結(jié)出了不定方程x2+(2n)2=y9(1≤n≤7,x,y,n∈Z)無整數(shù)解的結(jié)論。 今后希望進(jìn)一步研究n≥8的情況以及其他形式的不定方程的整數(shù)解問題．