多思維化歸，四方法破解

梁王海

【摘要】含參的不等式恒成立問題一直是各級(jí)各類考試中比較常見的題型之一，它創(chuàng)新性強(qiáng)，背景各異，形式多樣，類型眾多，切入點(diǎn)深，且往往難度較大，不可一蹴而就.此類問題能合理綜合函數(shù)、不等式、導(dǎo)數(shù)等相關(guān)知識(shí)，滲透化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想、分類討論思想，以及其他數(shù)學(xué)思想等，能有效考查數(shù)學(xué)知識(shí)與數(shù)學(xué)能力，具有很強(qiáng)的區(qū)分度與選拔性.

【關(guān)鍵詞】不等式;函數(shù);恒成立;分類討論;導(dǎo)數(shù);極值點(diǎn)

含參的不等式恒成立問題一直是各級(jí)各類考試中比較常見的題型之一，它變化多端，題型新穎，可以以小題（選擇題或填空題）的形式出現(xiàn)，也可以是大題（解答題）的一個(gè)組成部分.此類問題能合理綜合函數(shù)與方程、不等式、導(dǎo)數(shù)等相關(guān)知識(shí)，有效滲透化歸與轉(zhuǎn)化思想、函數(shù)與方程思想、分類討論思想，以及其他數(shù)學(xué)思想等，也能有效考查數(shù)學(xué)知識(shí)、數(shù)學(xué)方法與數(shù)學(xué)能力，具有很強(qiáng)的區(qū)分度與選拔性，一直備受各類命題者的青睞.

一、問題呈現(xiàn)

【問題】（2020年1月江蘇省鹽城市、南京市2020屆高三年級(jí)第一次模擬考試·14）若對(duì)任意實(shí)數(shù)x∈（-∞，1]，都有不等式exx2-2ax+1≤1恒成立，則實(shí)數(shù)a的值為.

本題通過給定自變量的定義域，利用含參的絕對(duì)值不等式恒成立為問題背景，進(jìn)而確定對(duì)應(yīng)參數(shù)的取值問題.問題題干短小精悍，簡潔易懂，但含參的絕對(duì)值不等式中帶有分式，且較為復(fù)雜，包括指數(shù)函數(shù)與二次函數(shù).如何抓住切入點(diǎn)，合理化歸與轉(zhuǎn)化，去掉絕對(duì)值符號(hào)，變形為較為熟知的不等式或基本初等函數(shù)的復(fù)合形式是破解問題的關(guān)鍵所在.結(jié)合具體問題特征，可以通過分類討論思想與導(dǎo)數(shù)性質(zhì)等思維方式來分析與處理.

二、問題破解

思維視角一：分類討論思想

方法1：（分類討論法1）

解析：原題目等價(jià)轉(zhuǎn)化為：對(duì)任意實(shí)數(shù)x∈（-∞，1]，都有不等式x2-2ax+1ex≥1恒成立.

構(gòu)造函數(shù)f（x）=x2-2ax+1ex，求導(dǎo)可得f′（x）=-x2+（2a+2）x-2a-1ex=-（x-1）[x-（2a+1）]ex.

①當(dāng)2a+1≥1，即a≥0時(shí)，f′（x）≤0，此時(shí)函數(shù)f（x）在（-∞，1]上單調(diào)遞減，

若f（1）≤0，則|f（x）|的最小值為0，與|f（x）|≥1恒成立矛盾;若f（1）>0，要使|f（x）|≥1恒成立，則f（1）=2-2ae≥1，解得a≤1-e2，與a≥0矛盾.

②當(dāng)2a+1<1，即a<0時(shí)，此時(shí)函數(shù)f（x）在（-∞，2a+1）上單調(diào)遞減，在（2a+1，1）上單調(diào)遞增，

此時(shí)f（x）min=f（2a+1），若f（2a+1）≤0，則|f（x）|的最小值為0，與|f（x）|≥1恒成立矛盾;若f（2a+1）>0，要使|f（x）|≥1恒成立，則f（2a+1）=2a+2e2a+1≥1，

令2a+1=t<1，不等式2a+2e2a+1≥1等價(jià)轉(zhuǎn)化為et-t-1≤0，

構(gòu)造函數(shù)g（t）=et-t-1，求導(dǎo)可得g′（t）=et-1，

則函數(shù)g（t）在（-∞，0）上單調(diào)遞減，在（0，1）上單調(diào)遞增，故當(dāng)t=0時(shí)，函數(shù)g（t）有最小值為g（0）=0，則有g(shù)（t）≥g（0）=0.

而以上要解的不等式是g（t）≤0，所以有g(shù)（t）=0，可得2a+1=t=0，解得a=-12.

綜上分析，可得a=-12.故答案為：-12.

方法2：（分類討論法2）

解析：依題意可得對(duì)任意實(shí)數(shù)x∈（-∞，1]，都有不等式-1≤exx2-2ax+1≤1恒成立.

構(gòu)造函數(shù)f（x）=exx2-2ax+1，求導(dǎo)可得f′（x）=ex（x-1）（x-2a-1）（x2-2ax+1）2，

若方程x2-2ax+1=0的判別式Δ=4a2-4≥0，則方程x2-2ax+1=0有解，設(shè)其中一個(gè)解為x1，則當(dāng)x→x1時(shí)，|f（x）|→+∞，不滿足|f（x）|≤1恒成立，則有Δ=4a2-4<0，解得-1

①當(dāng)2a+1<0，即-11，不滿足題意;

②當(dāng)2a+1>0，即a>-12時(shí)，記1，2a+1中的較小值為x0，則函數(shù)f（x）在（-∞，x0）上單調(diào)遞增，由f（0）=1可得f（x0）>f（0）=1，不滿足題意;

③當(dāng)2a+1=0，即a=-12時(shí)，f（x）在（-∞，0）上單調(diào)遞增，在（0，1）上單調(diào)遞減，則f（x）≤f（0）=1，f（x）=exx2-2ax+1>0，則|f（x）|≤1恒成立.

綜上分析，可得a=-12，故答案為：-12.

方法3：（分類討論法3）

解析：依題意可得對(duì)任意實(shí)數(shù)x∈（-∞，1]，都有不等式-1≤exx2-2ax+1≤1恒成立，

構(gòu)造函數(shù)f（x）=exx2-2ax+1，

求導(dǎo)可得f′（x）=ex（x-1）（x-2a-1）（x2-2ax+1）2.

若方程x2-2ax+1=0的判別式Δ=4a2-4≥0，則方程x2-2ax+1=0有解，設(shè)其中一個(gè)解為x1，則當(dāng)x→x1時(shí)，|f（x）|→+∞，不滿足|f（x）|≤1恒成立，則有Δ=4a2-4<0，解得-1

①當(dāng)-1

而由-1

而根據(jù)重要不等式ex≥x+1（x∈R）轉(zhuǎn)化可得e2a+1≥2a+2，

則知e2a+1=2a+2，等號(hào)成立時(shí)有2a+1=0，解得a=-12.

②當(dāng)0

綜上分析，可得a=-12.故答案為：-12.

點(diǎn)評(píng)：通過不同方式構(gòu)造函數(shù)，結(jié)合相應(yīng)的函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)，利用參數(shù)a的不同取值范圍進(jìn)行合理的分類討論，結(jié)合含參的不等式恒成立的條件來分析與處理，從而得以確定相應(yīng)的參數(shù)值.不同的函數(shù)構(gòu)造以及不同的參數(shù)分類標(biāo)準(zhǔn)，可以產(chǎn)生不同的破解方法與解題過程，從而得到不同思維與視角破解問題的方法.

思維視角二：導(dǎo)數(shù)性質(zhì)

方法4：（極值點(diǎn)判定法）

解析：構(gòu)造函數(shù)f（x）=exx2-2ax+1，求導(dǎo)可得f′（x）=ex（x-1）（x-2a-1）（x2-2ax+1）2.

而當(dāng)x=0時(shí)， f（x）max=f（0）=1，對(duì)于任意實(shí)數(shù)x∈（-∞，1]，x=0不在端點(diǎn)，

則知x=0是函數(shù)f（x）的極值點(diǎn)，即在x=0處，f′（0）=e0（0-1）（0-2a-1）（0-0+1）2=0，

解得a=-12.故答案為：-12.

點(diǎn)評(píng)：巧妙利用導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)，抓住函數(shù)的特殊值[f（0）=1]，并利用函數(shù)在極值點(diǎn)處的性質(zhì)來“秒殺”，從而快速有效破解問題.在破解一些與函數(shù)的性質(zhì)有關(guān)的問題時(shí)，經(jīng)常借助極值點(diǎn)、最值點(diǎn)的性質(zhì)特征來分析與處理，從而達(dá)到有效破解的目的.這里抓住極值點(diǎn)處的性質(zhì)的應(yīng)用來處理，有一定的投機(jī)取巧，在選擇題或填空題中可以快速破解問題，在解答題中慎重使用.

三、變式拓展

探究：保留問題的部分條件，改變不等式恒成立中的參數(shù)位置，結(jié)合不等式在給定區(qū)間上恒成立的條件來確定參數(shù)的取值問題，難度比原來問題簡單，方便操作，易于求解，得到以下對(duì)應(yīng)的變式問題.

【變式】若對(duì)任意實(shí)數(shù)x∈（-∞，1]，都有不等式exx2+x+1≤a恒成立，則實(shí)數(shù)a的最小值為.

解析：構(gòu)造函數(shù)f（x）=exx2+x+1，則知f（x）>0恒成立.

求導(dǎo)可得f′（x）=exx（x-1）（x2+x+1）2，令f′（x）=0，解得x=0或x=1.

當(dāng)x<0時(shí)，f′（x）>0，則知函數(shù)f（x）在區(qū)間（-∞，0）上單調(diào)遞增;

當(dāng)0<x<1時(shí)，f′（x）<0，則知函數(shù)f（x）在區(qū)間（0，1）上單調(diào)遞減.

故f（x）max=f（0）=1，則有a≥1，即實(shí)數(shù)a的最小值為1.故答案為：1.

點(diǎn)評(píng)：去掉絕對(duì)值符號(hào)，轉(zhuǎn)化為熟悉的函數(shù)，直接利用函數(shù)的構(gòu)造與求導(dǎo)，通過確定導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)以及導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)取值情況來確定函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而確定函數(shù)在給定區(qū)間上的最大值，從而確定參數(shù)的最小值.

四、解后反思

含參的不等式恒成立問題創(chuàng)新性強(qiáng)，背景各異，形式多樣，類型眾多，切入點(diǎn)深，且往往難度較大，不可一蹴而就.破解此類問題時(shí)，要從恒成立的不等式入手，結(jié)合題目條件，等價(jià)化歸與轉(zhuǎn)化為較為熟悉的不等式或基本初等函數(shù)問題，再利用相應(yīng)的不等式或基本初等函數(shù)，借助轉(zhuǎn)化法、分類討論法、不等式性質(zhì)法、導(dǎo)數(shù)法或數(shù)形結(jié)合法、待定系數(shù)法等相應(yīng)的方法輔助，合理構(gòu)造，適度切入，巧妙轉(zhuǎn)化，利用較為熟悉的數(shù)學(xué)模型來應(yīng)用，從而破解含參的不等式恒成立問題.