培養(yǎng)七年級學(xué)生幾何推理能力的有效途徑

摘 要：推理是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動的核心內(nèi)容，幾何教學(xué)則是發(fā)展學(xué)生邏輯推理能力的重要途徑。在七年級幾何課程中，要重視幾何推理起始教學(xué)，注意培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)幾何的興趣，鞏固基礎(chǔ)知識和能力，關(guān)注探究的過程，幫助學(xué)生積累學(xué)習(xí)活動經(jīng)驗，在發(fā)展合情推理能力的同時，適當(dāng)滲透演繹推理的要求，以逐步培養(yǎng)學(xué)生的幾何推理能力。

關(guān)鍵詞：幾何推理能力;合情推理;演繹推理;推理入門

幾何推理能力，即一個人完成幾何推理任務(wù)時所表現(xiàn)出來的綜合素質(zhì)。在幾何課程學(xué)習(xí)中，學(xué)生主要通過“采用合理的數(shù)學(xué)語言表達(dá)幾何推理過程、用嚴(yán)謹(jǐn)?shù)男问竭壿嬜C明幾何問題”來體現(xiàn)幾何推理能力。學(xué)生幾何推理能力的發(fā)展是一個長期的過程。不同年齡階段的學(xué)生，由于身心特征和認(rèn)知水平的差異，幾何推理的思維方式不同，因而教學(xué)要求和教學(xué)方法也有所不同。以北師大版數(shù)學(xué)教材為例，學(xué)生在八年級上冊的第七章《平行線的證明》中，開始正式學(xué)習(xí)證明，發(fā)展演繹推理的能力。而七年級作為初中生幾何推理能力發(fā)展的萌芽階段，應(yīng)重點做好推理入門教學(xué)，逐步培養(yǎng)學(xué)生的基礎(chǔ)能力，為后期能力的提高鋪好基石。

一、 激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)幾何的興趣

初中幾何推理教學(xué)以平面幾何為載體，因此，只有讓學(xué)生愛上幾何，才能更進(jìn)一步燃起其學(xué)習(xí)推理證明的熱情。為了避免學(xué)生對幾何知識產(chǎn)生過于枯燥和抽象的誤解，教學(xué)時可盡量創(chuàng)設(shè)一些有趣的情境。

例如，在《直線、射線、線段》的引入教學(xué)中，可通過多媒體，讓學(xué)生觀看《西游記》中金箍棒的各種變化場景，并從中截取相關(guān)圖像，抽象成直線、射線和線段。讓學(xué)生在影視欣賞中學(xué)習(xí)幾何知識，不僅可以加深學(xué)生對三種線的本質(zhì)理解，還可以感受數(shù)學(xué)與生活的緊密聯(lián)系，并從中體會學(xué)習(xí)的樂趣，激發(fā)求知的欲望。

二、 培養(yǎng)學(xué)生的觀察力和抽象概括能力

首先，推理活動往往始于觀察和猜想，需要學(xué)習(xí)者先把發(fā)現(xiàn)的現(xiàn)象用精練的語言準(zhǔn)確的表述出來，而后再去設(shè)法驗證;再者，幾何概念也是幾何推理的核心要素，先觀察圖形，抓住其本質(zhì)特點，再進(jìn)行抽象概括，是概念生成的一般過程。因此，觀察力和抽象概括能力是幾何推理能力發(fā)展的基礎(chǔ)能力之一。七年級學(xué)生雖善于觀察，但由于缺乏經(jīng)驗，往往不能看到事物的全部，容易以偏概全，抽象概括能力也因此相對較弱，教學(xué)時可抓住這一特點多加引導(dǎo)。

例如，在進(jìn)行三角形的概念教學(xué)時，學(xué)生很容易簡單的描述為“由三條線段組成的圖形就是三角形”，此時可出示以下圖形

（如圖1）讓學(xué)生進(jìn)行辨認(rèn)。

學(xué)生通過觀察比較就可以依次發(fā)現(xiàn)，三角形的本質(zhì)特征有以下幾點：（1）由三條線段構(gòu)成;（2）三條線段不能在同一條直線上;（3）三條線段的首尾要順次相連。要鼓勵學(xué)生先用自己的語言描述出來，教師再結(jié)合情況引導(dǎo)學(xué)生組織語言，將三角形的定義完善為“由不在同一條直線上的三條線段首尾順次相接所組成的圖形”。

三、 提高作圖能力，培養(yǎng)幾何直觀素養(yǎng)

作圖是幾何學(xué)習(xí)的重要內(nèi)容，是建立在幾何推理上的基本活動，作圖能力是幾何直觀素養(yǎng)的體現(xiàn)，也是解決幾何推理問題的基礎(chǔ)。

從七年級學(xué)習(xí)“用尺規(guī)作一條線段等于已知線段”開始，學(xué)生正式接觸尺規(guī)作圖。要在學(xué)生初次接觸幾何作圖時，要求學(xué)生正確使用做圖工具，強(qiáng)化學(xué)生對幾何作圖基本原理和方法的理解，養(yǎng)成規(guī)范的作圖習(xí)慣。教學(xué)時要充分考慮學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的發(fā)展，不能只停留在直觀層面上，應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生思考作圖的理論依據(jù)，理解作圖的本質(zhì)。

例如，在學(xué)習(xí)“用尺規(guī)做已知角的平分線”時，可以不要求學(xué)生寫作法，但應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生利用全等三角形相關(guān)知識說明其中的道理，讓學(xué)生在理解的基礎(chǔ)上牢固掌握作圖的方法，而不是機(jī)械的模仿。這樣可以將知識向縱深發(fā)展，形成學(xué)生的綜合能力。

四、 教會學(xué)生說理，發(fā)展有條理的表達(dá)能力

說理，即有條理的表達(dá)。具體指學(xué)生在活動中自覺地進(jìn)行思考，自覺地用自己的語言清晰地表達(dá)發(fā)現(xiàn)或說明理由?？梢赃@樣理解，說理的過程就是邏輯思維的過程，說理的本質(zhì)是演繹推理的雛形。七年級的幾何教學(xué)中，要充分抓住教學(xué)契機(jī)，提供給學(xué)生說的機(jī)會。可利用問題驅(qū)動，讓學(xué)生暴露自己的思維過程，有話可說，說的合理。

例如，如圖2，點E在AD的延長線上，下列條件中能判斷BC∥AD的是（ ）

A. ∠3=∠4

B. ∠A+∠ADC=180°

C. ∠1=∠2

D. ∠A=∠5

這是一道選擇題，學(xué)生可能很容易就選出正確答案，這時可通過反問“為什么”，引導(dǎo)學(xué)生逐項分析，說出理由。若學(xué)生有難度，教師可先示范，讓學(xué)生模仿著說。

如：A選項是錯誤的，因為∠3與∠4是AB與CD同時被BD所截而產(chǎn)生的內(nèi)錯角，所以若∠3=∠4，可根據(jù)內(nèi)錯角相等，兩直線平行，推出AB∥CD，而不是BC∥AD。

這樣的描述不僅講清了道理，同時也分析了圖形結(jié)構(gòu)，明晰了平行線判定定理的使用條件范圍。學(xué)生對于其他三個選項的分析說理過程也有了參考依據(jù)。

五、 注重幾何語言的相互轉(zhuǎn)換及靈活運(yùn)用

文字語言、圖形語言和符號語言是幾何推理的基礎(chǔ)語言。幾何學(xué)習(xí)的難點不在于演繹推理對思維能力的要求較高，而在于數(shù)學(xué)語言三種形式的轉(zhuǎn)換，這種語言轉(zhuǎn)換能力的高低，在一定程度上反映了數(shù)學(xué)思維能力的強(qiáng)弱。在開始學(xué)習(xí)“圖形與幾何”時就要重視三種形式的數(shù)學(xué)語言的轉(zhuǎn)換。

例如，表1為全等三角形的“SSS”判定定理的三種幾何語言轉(zhuǎn)換：

同時，在幾何語言的教學(xué)中要注意不能一味要求學(xué)生記憶和模仿，要讓學(xué)生學(xué)會靈活應(yīng)用，以避免學(xué)生后期學(xué)習(xí)推理證明的時候出現(xiàn)會想不會寫，詞不達(dá)意的情況。

例如七年級學(xué)習(xí)線段的中點的概念時，教材是結(jié)合圖形直接給出的，在此基礎(chǔ)上，教師應(yīng)教給學(xué)生三種不同的表示：

文字語言——若線段上的一個點分原線段為相等的兩部分，則稱此點為線段的中點;

結(jié)合圖形（圖3）的定義描述——點M在線段AB上，若AM=BM，那么點M就是AB的中點;

結(jié)合圖形（圖3）的性質(zhì)描述——若點M是線段AB的中點，那么AM=BM=1/2AB（或AB=2AM=2BM）。

此外，在訓(xùn)練中，還可將圖形的結(jié)構(gòu)、線段的長短、位置和字母作變化，反復(fù)練習(xí)，以提高學(xué)生識圖和數(shù)學(xué)語言應(yīng)用能力。

六、 注重探究過程，發(fā)展合情推理能力

合情推理，即憑借經(jīng)驗和直覺，通過歸納和類比等推測圖形的某些性質(zhì)，用于發(fā)現(xiàn)和獲得結(jié)論。根據(jù)《課程標(biāo)準(zhǔn)》的要求，七年級的幾何推理教學(xué)，以培養(yǎng)學(xué)生的合情推理能力為主，教師要在教學(xué)過程中結(jié)合問題情景，提供給學(xué)生觀察、測量、操作、歸納、類比、猜測、交流的平臺，幫助學(xué)生積累幾何推理的活動經(jīng)驗，體會和掌握獲得數(shù)學(xué)結(jié)論的一般途徑。

例如：平行線性質(zhì)的探索過程可設(shè)計為如下幾個活動：

如圖4，直線a與直線b平行。

活動1 先測量角的度數(shù)，把結(jié)果填入表2。

活動2 根據(jù)測量結(jié)果作出猜想：

同位角具有怎樣的數(shù)量關(guān)系？內(nèi)錯角具有怎樣的數(shù)量關(guān)系？同旁內(nèi)角呢？

活動3 驗證猜測。

另外，畫一組平行線被第三條直線所截，同樣測量并計算各角的度數(shù)，檢驗剛才的猜想是否成立？如果直線a與直線b不平行，猜想還成立嗎？

活動4 歸納平行線的性質(zhì)

性質(zhì)1：兩條平行直線被第三條直線所截，同位角相等。

性質(zhì)2：兩條平行直線被第三條直線所截，內(nèi)錯角相等。

性質(zhì)3：兩條平行直線被第三條線所截，同旁內(nèi)角互補(bǔ)。

學(xué)生經(jīng)歷了從測量、比較、猜想，到多次實驗驗證，最終得到平行線的相關(guān)性質(zhì)的過程，不僅從中體會了歸納推理的過程，發(fā)展了推理能力，也為日后學(xué)習(xí)探究其他幾何圖形的性質(zhì)積累了活動經(jīng)驗。

七、 有效滲透，逐步加強(qiáng)演繹推理的基本要求

七年級的幾何教學(xué)雖然以培養(yǎng)、發(fā)展合情推理為主，但也要注意對邏輯推理形式化表述給予適當(dāng)關(guān)注，逐步加強(qiáng)演繹推理的要求。這樣，學(xué)生幾何推理能力的發(fā)展有一個螺旋式上升的過程，將更符合學(xué)生的年齡狀況和認(rèn)知特點。教學(xué)中要注意循序漸進(jìn)，控制難度，不可急于求成，超越階段性要求。

要求學(xué)生獨立完成推理過程的，可控制在一到兩步即可。在推理的書寫格式上，不宜做統(tǒng)一要求，可以用自然語言，也可以采用其他方法，例如圖形加符號的方式進(jìn)行說明。對于一些較復(fù)雜、推理過程過長的題目，可采取問答接龍、填空、判斷、選擇等多種方法降低難度。學(xué)生只要能理清思路，表達(dá)清楚，并指出每一步的理由即可。雖然大部分學(xué)生自己現(xiàn)階段還不能獨立完成整個結(jié)論的證明過程，但通過觀察、思考和不斷練習(xí)，可以從中體會到證明的每一步都應(yīng)該有理有據(jù)，從而養(yǎng)成嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬎季S習(xí)慣。同時，學(xué)生對于幾何推理證明的規(guī)范書寫格式也有了系統(tǒng)的認(rèn)識，這對于學(xué)生此后適應(yīng)并學(xué)習(xí)形式化推理做了很好的鋪墊。

萬丈高樓平地起，沒有基礎(chǔ)，學(xué)習(xí)就像空中樓閣。推理能力的形成和提高是一個循序漸進(jìn)的過程。只要我們遵循學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展規(guī)律，在幾何推理入門教學(xué)中注重對學(xué)生的推理能力進(jìn)行多方位的培養(yǎng)和訓(xùn)練，同時在教學(xué)細(xì)節(jié)上狠下功夫，不斷總結(jié)和反思，學(xué)生的幾何推理能力一定能逐步提升，數(shù)學(xué)素養(yǎng)也能得到長期的發(fā)展。

參考文獻(xiàn)：

[1]馬復(fù).義務(wù)教育教科書·數(shù)學(xué)·教師教學(xué)用書（七年級·上冊）[M].北京：北京師范大學(xué)出版社，2013：166.

[2]馬復(fù).義務(wù)教育教科書·數(shù)學(xué)·教師教學(xué)用書（七年級·下冊）[M].北京：北京師范大學(xué)出版社，2013：12，150.

[3]史寧中.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）解讀[M].北京：北京師范大學(xué)出版社，2012：279.

作者簡介：汪雪梅，陜西省漢中市，陜西省漢中市南鄭區(qū)高臺鎮(zhèn)初級中學(xué)。