高考中排列組合問題的解法歸類研究

張若琦 (云南師范大學(xué),云南 昆明 650500)

引 言

近年來，雖然“統(tǒng)計(jì)與概率”知識(shí)在高考中的分值逐年遞減，可是排列組合問題在如今不分文理八省改革中仍作為單選題出現(xiàn)，它的得分往往是學(xué)生客觀題得高分的關(guān)鍵所在.課標(biāo)中要求“理解排列、組合的意義，掌握排列數(shù)、組合數(shù)計(jì)算公式和組合數(shù)的性質(zhì)，并能利用它們解決一些簡單的應(yīng)用問題”.學(xué)生在學(xué)習(xí)性質(zhì)意義的時(shí)候往往很輕松，可以將知識(shí)融會(huì)貫通，但是在知識(shí)的應(yīng)用中卻存在各種各樣的問題.教師在此部分教學(xué)時(shí)應(yīng)該多關(guān)注學(xué)生的認(rèn)知水平，并注意課堂上例題和課下作業(yè)習(xí)題難度的遞進(jìn)，將習(xí)題進(jìn)行考點(diǎn)歸類，便于學(xué)生更好地理解.希望以下我總結(jié)的考點(diǎn)歸類能給學(xué)生和教師帶來新的靈感.

一、計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用

計(jì)數(shù)原理問題的掌握程度直接影響排列組合問題的解題靈活度，在此部分，一定要熟知計(jì)數(shù)原理的意義和性質(zhì)，教師在教學(xué)過程中不要將計(jì)數(shù)原理和排列組合割裂開，它們之間的聯(lián)系是很緊密的，常常以兩者結(jié)合的形式出現(xiàn)在考題中.因此，在排列組合考點(diǎn)歸類中，我先列舉了計(jì)數(shù)原理的兩個(gè)例題，使學(xué)生在探究排列組合問題之前，回顧以下計(jì)數(shù)原理：分析此類問題時(shí)，如果判斷完成一個(gè)事件需要幾個(gè)方案，那么需要用到分類加法計(jì)數(shù)原理；如果判斷完成一個(gè)事件需要幾個(gè)步驟，那么需要用到分步乘法計(jì)數(shù)原理.

例1現(xiàn)有黑、白、紅三種顏色的小球各兩個(gè)，把它們放置到三行兩列的格子里，要求每行的顏色互不相同,每列的顏色也互不相同,則不同的放置方法共有( ).

A.12種 B.15種 C.24種 D.48種

例2現(xiàn)有6名同學(xué)可以選擇5個(gè)不同的興趣小組，每名同學(xué)可隨意選擇其中一個(gè)小組,共有( )種不同選法.

A.56B.65

解析利用分步乘法計(jì)數(shù)原理.首先觀察每名學(xué)生有幾種選擇，了解到每名學(xué)生都有5種選擇，故不同選法的總數(shù)有5×5×5×5×5×5=56(種)，故選A.

二、特殊元素問題——優(yōu)先法

遇到這類問題時(shí)，學(xué)生常常一看到“特殊元素”就十分頭疼，因?yàn)槿绻麤]有“特殊元素”，題目就是簡單的排列組合，只需要一個(gè)排列數(shù)或組合數(shù)就可得到結(jié)果.學(xué)生面對(duì)稍復(fù)雜的問題應(yīng)該先冷靜思考，在心里給自己自信.其實(shí)“特殊元素”的融入無非就是需要分步計(jì)算，也就是需要將幾個(gè)步驟的排列數(shù)相乘.分析此類問題時(shí)，學(xué)生首先應(yīng)該確定特殊元素的排列種數(shù)，然后確定剩余元素的排列種數(shù)，最后求出總的排列種數(shù).做題時(shí)也需要注意，“特殊元素”的選擇在同一道題中也可以不同.

例3學(xué)?，F(xiàn)有7名學(xué)生參加文藝演出，5名女生、2名男生，他們輪流上場.若2名男生都不在最初也不在最后上場,那么演出有( )種不同的上場順序.

兩種方法雖然在計(jì)算步驟上沒有任何區(qū)別，可是在分析上截然不同.

例4在2000到7000之間，有________個(gè)沒有重復(fù)數(shù)字且能被5整除的奇數(shù).

例5現(xiàn)有6名學(xué)生站成一排,要求小明必須站在前兩位里，小紅不能排在第一位，小李必須排在最后一位,那么排列方式共有( ).

A.32種 B.42種

C.50種 D.56種

需要注意的是，不要因?yàn)橛袃蓚€(gè)特殊位置需要考慮就不知道從何下手.在審題時(shí)，我們可以發(fā)現(xiàn)小李的位置不需要排列.

三、相鄰問題——捆綁法

捆綁法的識(shí)別標(biāo)志是“相鄰”.學(xué)生很容易理解捆綁法的意思，捆綁法對(duì)于學(xué)生的難點(diǎn)在于審題.在之前的高考題中，學(xué)生只要掃一眼題目就清楚地知道可以運(yùn)用捆綁法.可是，這幾年高考題的內(nèi)容讓學(xué)生總是云里霧里，雖然出現(xiàn)的題目可以應(yīng)用捆綁法解決，但是學(xué)生在審題時(shí)根本沒發(fā)現(xiàn)，這就需要教師結(jié)合學(xué)生認(rèn)知發(fā)展水平，引導(dǎo)學(xué)生活學(xué)活用，使其真切地了解題目的本原性，而不是一味地刷題，采用題海戰(zhàn)術(shù).

捆綁法即先將相鄰元素捆綁起來，作為一個(gè)整體，使其成為一個(gè)新元素后再與其他元素進(jìn)行排列，最后考慮“捆綁”內(nèi)的元素是否需要排序.這種方法體現(xiàn)了整體思想，可以確保元素緊密相連，排列有序.在運(yùn)用捆綁法解答相鄰問題時(shí)，學(xué)生要注意明確捆綁對(duì)象及排列的順序.

例6[2021年全國乙卷(理科)]將5名北京冬奧會(huì)志愿者分配到花樣滑冰、短道速滑、冰球和冰壺四個(gè)項(xiàng)目中進(jìn)行培訓(xùn)，冬奧會(huì)要求每名志愿者僅能分配到1個(gè)項(xiàng)目，并且每個(gè)項(xiàng)目至少分配1名志愿者，則不同的分配方案共有( ).

A.30種 B.60種

C.240種 D.360種

例7某社區(qū)安排3名志愿者完成疫苗接種的4項(xiàng)工作，要求每人至少完成1項(xiàng)工作，并且每項(xiàng)工作僅可以由一人負(fù)責(zé)，則不同的安排方式共有( )

A.6種 B.12種

C.24種 D.36種

例8有不同顏色的6張卡片，現(xiàn)將它們放在3個(gè)不同的信封里，如果每個(gè)信封放2張,而紅卡片和黑卡片放入同一信封，則共有( )種不同的放置方法.

A.12 B.18

C.36 D.54

四、不相鄰問題——插空法

和捆綁法正好相反，這類問題只是看起來很難，一旦參透其中，就會(huì)恍然大悟.面對(duì)此類問題，大部分學(xué)生審?fù)觐}后不知道如何下手，然后就放棄了.可這正是它的“障眼法”.面對(duì)此類題，學(xué)生僅需要掌握方法，下次遇到的時(shí)候，就再也不會(huì)慌了.插空法就是先把題目中無要求的元素全排列，然后將題目中有要求的元素分析后插入其中.此類問題要求學(xué)生在審題時(shí)判斷出有限制條件的元素，再進(jìn)行分析.在例題選擇時(shí)，我盡可能把此類題型統(tǒng)統(tǒng)列舉出來，希望學(xué)生認(rèn)真思考后，面對(duì)此類問題能直接拿分，信心滿滿.

例9某次話劇演出結(jié)束后，要求8名女演員和2名男演員站成一排合影留念.有( )種可以安排2名男演員不相鄰的排法.

例10某地產(chǎn)公司邀請(qǐng)A，B兩個(gè)地區(qū)的企業(yè)參與答謝會(huì)，每個(gè)地區(qū)有三位企業(yè)代表.拍照時(shí)，若A地區(qū)的企業(yè)代表甲不站兩端，且B地區(qū)的三位企業(yè)代表有且只有兩位代表相鄰，則有( )種不同的排序方式.

A.180 B.288 C.432 D.192

例11某學(xué)校在演講比賽第一場過后，選出6名同學(xué)進(jìn)入第二場比賽，其中甲與乙在同一個(gè)年部，所以甲、乙兩名同學(xué)的比賽順序不能相鄰,根據(jù)抓鬮情況得知甲在乙的后面進(jìn)行演講,共有( )種不同的排法.

A.120 B.240

C.360 D.480

五、“至多”與“至少”問題——直接法或間接法

在解答有關(guān)“至多”與“至少”的問題時(shí)，通常有兩種方法：直接法或間接法.直接法是讓學(xué)生在解決相關(guān)的問題時(shí)，把重點(diǎn)放在對(duì)題目中每個(gè)元素的分析上面，這樣可以確定相關(guān)元素的限制性，更好地尋找其他的元素，結(jié)合更多元素進(jìn)行問題的綜合考慮.而間接法則是先讓學(xué)生忽略題目中給出的一些附加條件，再進(jìn)行整體的排列組合和相關(guān)的數(shù)量計(jì)算，這樣就可以得出一個(gè)結(jié)果，然后用這個(gè)附加條件來計(jì)算出一些不符合題目要求的結(jié)果，去除這些不合適的結(jié)果，這樣就可以通過減法得出最后的答案.但需要注意的是，此類題型的做法有很多，學(xué)生在審題時(shí)，一定考慮好做題的入手角度，在做題過程中，不要忽略任何一種情況，因?yàn)槭强陀^題，所以結(jié)果是得分的關(guān)鍵.如果在審題時(shí)你就發(fā)現(xiàn)不只有一種方法，那么選你最拿手的方法來思考，之后在檢驗(yàn)時(shí)用其他方法.

例12現(xiàn)有13個(gè)除顏色外完全相同的小球，其中紅色小球8個(gè)，白色小球5個(gè).從紅色小球和白色小球中各任選出一個(gè)，在上面標(biāo)記月亮的圖案.將這13個(gè)小球都放在一個(gè)大箱子里，任意抽取5個(gè)小球，至少有一個(gè)小球上有月亮圖案的有________種方法.

故填825.

例13(2017年天津高考題)用數(shù)字1,2,3,4,5,6,7,8,9組成沒有重復(fù)數(shù)字,且至多有一個(gè)數(shù)字是偶數(shù)的四位數(shù)，這樣的四位數(shù)一共有________個(gè).(用數(shù)字作答)

故填1080.

結(jié) 語

在排列組合的學(xué)習(xí)中，學(xué)生應(yīng)該在夯實(shí)基礎(chǔ)知識(shí)的基礎(chǔ)上，對(duì)排列組合的解題方法多鉆研、多思考.遇到難題時(shí)，首先，我們應(yīng)該根據(jù)問題的本身要求進(jìn)行判斷，確定題目是屬于哪一種排列組合題型，即是排列問題，組合問題，還是排列組合問題.其次，確定題型之后，我們要搞清楚題型所采用的計(jì)數(shù)原理，是分類加法計(jì)數(shù)原理，還是分步乘法計(jì)數(shù)原理，進(jìn)而有針對(duì)性地選擇解題的方式方法.最后，我們應(yīng)該認(rèn)真閱讀題目，仔細(xì)研究、分析題目中的一些附加條件，明確附加條件是否受到一些元素位置的限定，以防在解決問題時(shí)，出現(xiàn)不必要的重復(fù)或者遺漏，提高做題的準(zhǔn)確性.這樣，學(xué)生既提高了解題速度和學(xué)習(xí)質(zhì)量，也會(huì)對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)更加感興趣.