常微分方程理論在“數(shù)學(xué)物理方程”課程中的應(yīng)用

[摘 要] 偏微分方程求解既是“數(shù)學(xué)物理方程”課程教學(xué)的主體內(nèi)容，又是課堂教學(xué)的重難點(diǎn)。求解偏微分方程的方法有很多，如特征線法、波的反射原理、分離變量法、格林函數(shù)法、傅里葉變換、拉普拉斯變換等。學(xué)會(huì)求解一些簡(jiǎn)單的偏微分方程是數(shù)學(xué)專業(yè)學(xué)生學(xué)好“數(shù)學(xué)物理方程”課程乃至為以后繼續(xù)深造打下基礎(chǔ)的關(guān)鍵。因此，揭示偏微分方程求解方法中所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想，幫助學(xué)生系統(tǒng)而深入地掌握求解的方法顯得尤為重要。以方程特殊形式解的求解、分離變量法、傅里葉變換法為例，結(jié)合具體的定解問(wèn)題求解來(lái)闡述將偏微分方程問(wèn)題化歸為常微分方程問(wèn)題這一思想在偏微分方程求解中的應(yīng)用。

[關(guān)鍵詞] 研究型教學(xué);數(shù)學(xué)物理方程課程;常微分方程理論

[基金項(xiàng)目] 2020年度華南農(nóng)業(yè)大學(xué)校級(jí)線下課程建設(shè)項(xiàng)目——數(shù)學(xué)分析（華南農(nóng)教〔2020〕32號(hào)）

[作者簡(jiǎn)介] 危蘇婷（1990—），女，江西瑞金人，理學(xué)博士，華南農(nóng)業(yè)大學(xué)數(shù)學(xué)與信息學(xué)院軟件學(xué)院講師，主要從事偏微分方程研究。

[中圖分類號(hào)] O175.24? ?[文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼] A? ? [文章編號(hào)] 1674-9324（2021）21-0141-04? ?[收稿日期] 2020-12-10

一、引言

“數(shù)學(xué)物理方程”課程既是數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)的一門重要專業(yè)課，也是物理、力學(xué)等理工科專業(yè)的基礎(chǔ)課程。該課程的研究對(duì)象是一些具有實(shí)際應(yīng)用背景的偏微分方程。課程的主要內(nèi)容是介紹如何將物理、力學(xué)和工程技術(shù)等應(yīng)用學(xué)科中的現(xiàn)象和實(shí)際問(wèn)題通過(guò)數(shù)學(xué)建模的過(guò)程轉(zhuǎn)化為偏微分方程定解問(wèn)題，求解這些定解問(wèn)題的基本方法，研究解的性質(zhì)的技巧，利用理論分析結(jié)果解釋一些物理現(xiàn)象或解決實(shí)際問(wèn)題。作為一門應(yīng)用性較強(qiáng)的課程，“數(shù)學(xué)物理方程”課程的教學(xué)目標(biāo)不僅需要讓學(xué)生理解和掌握偏微分方程的基本概念、求解方法和理論，更應(yīng)培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)工具解決實(shí)際問(wèn)題的能力，從而提高學(xué)生的科學(xué)素養(yǎng)。在本科生課堂教學(xué)中，如何教會(huì)學(xué)生求解偏微分方程是教學(xué)的一大重點(diǎn)和難點(diǎn)。實(shí)際上，求解一些簡(jiǎn)單的偏微分方程的方法有很多，如特征線法、波的反射原理、分離變量法、格林函數(shù)法、傅里葉變換、拉普拉斯變換等。系統(tǒng)掌握這些方法的關(guān)鍵在于深刻理解其中所蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思想。本文將以特殊形式解的求解、分離變量法、傅里葉變換方法為例，結(jié)合具體的定解問(wèn)題求解來(lái)展示將偏微分方程問(wèn)題化歸為常微分方程問(wèn)題這一思想在偏微分方程求解中的應(yīng)用，并啟發(fā)學(xué)生深入思考以下問(wèn)題：為什么常微分方程理論可以應(yīng)用于求解偏微分方程;利用分離變量法求解偏微分方程的關(guān)鍵點(diǎn)是什么;傅里葉變換作為一種特殊的積分變化為什么可以用于求解偏微分方程;等等。對(duì)這些問(wèn)題進(jìn)行深入的探討，不僅可以使學(xué)生加深對(duì)偏微分方程知識(shí)的理解，而且有助于發(fā)現(xiàn)和深刻認(rèn)識(shí)所學(xué)的不同數(shù)學(xué)知識(shí)之間的內(nèi)在聯(lián)系，進(jìn)一步提升自己的數(shù)學(xué)能力。

二、具體實(shí)例

在“數(shù)學(xué)物理方程”課程中，將偏微分方程轉(zhuǎn)化為常微分方程進(jìn)行處理是求解偏微分方程問(wèn)題的常用思想之一，由此可見(jiàn)常微分方程理論在求解偏微分方程中起著至關(guān)重要的作用。下文將從求特殊形式的解、分離變量法、傅里葉變換三個(gè)方面介紹常微分方程理論在求解偏微分方程問(wèn)題中的應(yīng)用，并分析其本質(zhì)思想。

（一）求偏微分方程的特解

“數(shù)學(xué)物理方程”課程主要研究三類經(jīng)典的偏微分方程，即波動(dòng)方程（雙曲型方程）、熱傳導(dǎo)方程（拋物型方程）和拉普拉斯方程（橢圓型方程）。掌握這三類方程的求解方法是“數(shù)學(xué)物理方程”課程學(xué)習(xí)的重點(diǎn)之一。眾所周知，對(duì)于大部分的數(shù)學(xué)物理方程，我們都無(wú)法求出其精確的解析解。但是對(duì)于一些方程，我們可以找到具有某種特殊形式的解，如行波解、自相似解、徑向?qū)ΨQ解等。對(duì)這些特解的研究有助于我們更好地了解方程解的性態(tài)，進(jìn)而解釋方程所描述的物理現(xiàn)象。下面通過(guò)實(shí)例說(shuō)明在求解三類經(jīng)典偏微分方程的某些特解時(shí)，往往需要借助常微分方程理論。

例1：求解齊次波動(dòng)方程的柯西問(wèn)題

在上述三個(gè)例子中，我們分別研究了三個(gè)經(jīng)典偏微分方程解的存在性。從中我們可以看到，如果假設(shè)方程的解滿足某種不變性（如傳輸不變性、自相似性和對(duì)稱不變性等），則其對(duì)應(yīng)的偏微分方程問(wèn)題可以簡(jiǎn)化為相應(yīng)的常微分方程問(wèn)題，這樣我們便可利用常微分方程理論求得原偏微分方程問(wèn)題的某種特殊形式解。值得指出的是，以上例子我們得到的結(jié)果分別為波動(dòng)方程的泊松公式、熱核函數(shù)。這些內(nèi)容都對(duì)研究復(fù)雜的非線性偏微分方程有著非常重要的作用。

（二）分離變量法

分離變量法是求解偏微分方程初邊值問(wèn)題的一個(gè)重要方法。通俗地說(shuō)，其核心思想是將方程的解（多元函數(shù)）的變量進(jìn)行分離，即寫成若干個(gè)只依賴于一個(gè)變量的函數(shù)之積，由此將偏微分方程的定解問(wèn)題簡(jiǎn)化為若干個(gè)常微分方程的邊值問(wèn)題。下面我們以弦振動(dòng)方程的定解問(wèn)題為例來(lái)具體說(shuō)明這一理論。

分離變量法是求解偏微分方程的混合問(wèn)題的一個(gè)普遍方法，它不僅適用于熱傳導(dǎo)方程，而且適用于求解波動(dòng)方程、調(diào)和方程，以及一些形式復(fù)雜的方程（組）。通過(guò)例4可以發(fā)現(xiàn)，利用分離變量法求解偏微分方程的定解問(wèn)題，可以將問(wèn)題歸結(jié)為求解常微分方程特征值的問(wèn)題。例4中所對(duì)應(yīng)的特征值問(wèn)題的特征函數(shù)是三角函數(shù)。根據(jù)定解條件，需要將解函數(shù)按特征函數(shù)展開(kāi)為無(wú)窮級(jí)數(shù)，即標(biāo)準(zhǔn)傅里葉級(jí)數(shù)。對(duì)于一些特殊的變系數(shù)常微分方程，其特征函數(shù)可能不是三角函數(shù)，而是貝塞爾函數(shù)、勒讓德函數(shù)等其他函數(shù)，此時(shí)按特征函數(shù)展開(kāi)的方法依然成立。因此，在學(xué)習(xí)過(guò)程中復(fù)習(xí)和鞏固常微分方程求解方法，熟悉特征值、特征函數(shù)及按特征函數(shù)展開(kāi)等知識(shí)點(diǎn)，有助于理解和運(yùn)用分離變法求解偏微分方程。值得注意的是，利用分離變量法求得的方程的解是關(guān)于具有變量分離形式的因子的無(wú)窮級(jí)數(shù)求和。根據(jù)泛函知識(shí)可知，我們最后得到的解并不一定具有變量分離的形式。此外，在分離變量法的基礎(chǔ)上，人們又發(fā)展了伽遼金方法（Galerkin method）。此方法是目前證明非線性偏微分方程一般形式解的存在性的基本方法之一。