基于SOC?OCV優(yōu)化曲線與EKF的鋰離子電池荷電狀態(tài)全局估計*

來 鑫，李云飛，鄭岳久，王晶晶，孫 濤，周 龍

（上海理工大學機械工程學院，上海 200093）

前言

鋰離子電池由于其能量密度高、壽命長、環(huán)境友好等優(yōu)點，作為動力源在新能源汽車中得到廣泛應用［1-2］。為保證鋰電池安全可靠工作，設計了電池管理系統(tǒng)對鋰電池進行實時監(jiān)控與管理，而電池狀態(tài)估計是電池管理系統(tǒng)的基礎和核心。由于鋰電池的動態(tài)非線性特性，近年來對鋰電池的荷電狀態(tài)（state of charge，SOC）、功率狀態(tài)（state of power，SOP）、健康狀態(tài)（state of health，SOH）等狀態(tài)的準確估計已成為學術熱點和工程難點。國內外關于鋰電池狀態(tài)估計的研究成果非常豐富，這些研究大多是以鋰電池模型為基礎的。鋰電池模型包括電化學模型、等效電路模型、神經(jīng)網(wǎng)絡模型等，其中等效電路模型由于結構簡單、精度較高等優(yōu)點被廣泛采用。文獻［3］從精度、復雜度、穩(wěn)定性和魯棒性等多個維度比較了11種等效電路模型，結果表明2階RC模型是較理想的選擇。SOP 估計的主要方法包括基于Map 圖和基于電池模型的動態(tài)估計方法，而基于電池模型的SOP估計大多基于1階與2階RC模型［4-7］。

無論是SOC 還是SOP估計，都須以電池的SOCOCV曲線作為標準來對模型參數(shù)進行辨識和端電壓估計。例如，目前廣泛采用的基于擴展卡爾曼濾波算法（extended Kalman filter，EKF）［8］的SOC 估計算法中，需要SOC-OCV 曲線作為標定參數(shù)，端電壓作為反饋信號，對SOC估計值進行閉環(huán)修正；在SOP估計中，端電壓的準確性直接影響SOP 估計的精度。因此，準確的SOC-OCV 曲線對提高狀態(tài)估計的精度至關重要。目前，確定SOC-OCV 曲線的方法有很多。常用的方法是基于混合脈沖功率（hybrid pulse power characterization，HPPC）測試，該方法的基本流程是將電池放電到測試點后，將電池充分靜置，用上位機測得此測試點處的OCV，并以此循環(huán)下去。該方法在測試點得到的OCV 很準確，但是耗時嚴重，一個21 個測試點的HPPC 測試大約需要89 h。為了節(jié)省時間，一般先在離散測試點（如每隔10%SOC）做HPPC 測試，而其他SOC 對應的OCV 采用分段線性插值法獲得。但是，插值得到的OCV 并不符合電池的特性（特別在低SOC 區(qū)域OCV 曲線的非線性嚴重）。而小電流恒流放電法測量OCV 曲線是連續(xù)測量，但由于電池沒有被靜置造成準確性不足。不準確的SOC-OCV 曲線會導致辨識得出的等效電路模型的模型參數(shù)不準確，從而影響電池端電壓估計和電池狀態(tài)估計的準確性。

針對HPPC 測試獲得SOC-OCV 曲線在非測試點特別是低SOC區(qū)域由于非線性嚴重帶來的精度不足問題，本文中提出了一種SOC-OCV 曲線優(yōu)化方法。該方法融合HPPC 方法得出的OCV 曲線在測試點的精確性與小電流恒流放電法得出的OCV 曲線在趨勢上的準確性，利用粒子群優(yōu)化算法（particle swarm optimization，PSO）對SOC-OCV 曲線進行優(yōu)化。并據(jù)此對等效電路模型參數(shù)進行辨識和端電壓全SOC 區(qū)域估計。以優(yōu)化的SOC-OCV 曲線作為基礎，在NEDC 動態(tài)工況下利用EKF 算法對鋰電池的SOC 進行全局估計。試驗表明，整個SOC 區(qū)域內的SOC 估計誤差都在2%以內，驗證了所提出的SOCOCV曲線優(yōu)化方法的有效性。

1 鋰離子電池模型與動態(tài)工況試驗

1.1 鋰電池建模

鋰離子電池模型是其狀態(tài)估計的基礎。模型的選取要考慮模型的精度和復雜度等因素的影響。由于電化學模型涉及內部反應機理，模型復雜，而神經(jīng)網(wǎng)絡的應用需要大量試驗數(shù)據(jù)進行訓練，目前都不適合鋰離子電池狀態(tài)的在線估計。等效電路模型具有模型簡單、物理意義清晰、模型精度較高等優(yōu)點［9］，而2 階RC 模型是常用的等效電路模型，因此，本文中采用2 階RC 模型來描述電池的動態(tài)特性。2階RC等效電路模型如圖1所示。

圖1 2階RC模型示意圖

圖1 中，UOCV為理想電壓源；R0為歐姆內阻；R1和R2為極化內阻；C1和C2為極化電容；I為流經(jīng)歐姆內阻的電流；U1和U2為極化內阻的端電壓；端電壓為Ut，時間常數(shù)τ1= R1C1，τ2= R2C2。根據(jù)電路原理，2階RC模型的數(shù)學方程如下：

1.2 鋰離子電池動態(tài)工況試驗

本文中以某公司標稱容量為72.8 A·h 的三元軟包電池作為試驗對象，該電池參數(shù)如表1 所示。電池試驗平臺由上位機、電池測試系統(tǒng)、恒溫箱等組成，如圖2 所示。上位機監(jiān)測軟件可實時記錄電池電流電壓等信息。本文中的試驗均在25 ℃環(huán)境下進行。

表1 試驗電池的基本參數(shù)

圖2 電池試驗平臺

首先對電池進行標準容量測試，取3 次循環(huán)后的平均容量作為該電池的標準容量。然后對電池進行HPPC 測試［10］。首先將電池置于25 ℃環(huán)境下恒流恒壓充滿，擱置3 h，然后以1C 倍率進行恒流放電，放電時間為30 s，擱置40 s；接著以1C 倍率進行恒流充電，充電時間為30 s，擱置30 min，最后以1/3C 恒流放電18 min，擱置3 h。以此為一個循環(huán)。本文中通過11 個脈沖循環(huán)的HPPC 測試獲得每隔10%SOC的OCV 值，再將各OCV 值進行分段線性插值，得到SOC-OCV 曲線，如圖3（a）所示。最后，進行放電倍率為1/30C 的恒流放電試驗。當放電倍率較小時，內阻對曲線的影響較小，由此可得到全SOC 區(qū)域上的SOC-OCV曲線，如圖3（b）所示。

圖3 不同方法得到的SOC-OCV曲線

為了對等效電路模型的參數(shù)進行辨識，并驗證所提出OCV 曲線優(yōu)化方法的有效性，開展了25 ℃環(huán)境溫度下的新標歐洲循環(huán)測試（new European driving cycle，NEDC）動態(tài)工況試驗。試驗過程如下：首先在25 ℃環(huán)境溫度下將電池以恒流恒壓方式充滿，然后對電池進行NEDC 動態(tài)工況試驗。NEDC動態(tài)工況下試驗得到的電壓變化如圖4所示。

圖4 NEDC動態(tài)工況下電池電壓變化

2 SOC-OCV曲線優(yōu)化原理與結果

2.1 SOC-OCV曲線優(yōu)化原理

HPPC 測試所得到的SOC-OCV 曲線在測試點具有很高的精度，但得出的OCV 是離散的，測試點的多少直接影響SOC-OCV 曲線的全局精度。而且，HPPC測試需要較長時間，因此一般采用的方法是通過等SOC 間隔測試獲得OCV，其他SOC 點處的OCV通過線性插值得到。但是，這種線性插值得到的OCV 并不能反映電池的特性，特別是在低SOC 區(qū)域OCV 變化率很大。而小電流恒流方法得出的OCV曲線是連續(xù)變化的，但是由于電池持續(xù)放電而沒有得到充分靜置，所以存在精確性不足的問題。本文中融合以上兩種方法的優(yōu)點，提出一種基于PSO 算法的SOC-OCV曲線優(yōu)化方法。

所提出的SOC-OCV 曲線優(yōu)化算法的原理如圖5 所示，該算法的基本過程是：首先，在全SOC 區(qū)域內對電池進行HPPC 測試（每隔10%取一個測試點）和小電流（1/30C）恒流放電測試，這樣就分別得到了兩條SOC-OCV 曲線。然后，將小電流恒流放電測試得到的SOC-OCV 曲線進行平移和優(yōu)化，優(yōu)化的目標是使平移后的SOC-OCV 曲線與HPPC 測試的SOCOCV曲線在所有測試點的誤差之和最小。優(yōu)化時分別以小電流恒流放電得到的SOC 和OCV 為自變量，使其沿x軸和y軸方向平移得到優(yōu)化的SOC和OCV。優(yōu)化后的SOC與OCV的表達式分別為

式中：s 和u 分別為優(yōu)化后的SOC 和OCV；s1和u1分別為小電流恒流放電得到的SOC 和OCV；w1和w2為加權系數(shù)；C為常量。

式（4）和式（5）中，w1?C 和w2?C 為平移量，常量C 的取值理論上并無限制，只會影響w1和w2的大小，本文中C 取-2.37。因此，優(yōu)化SOC-OCV 曲線的關鍵是求取最優(yōu)的加權系數(shù)w1和w2，這實際上是一個最優(yōu)化問題，優(yōu)化的目標函數(shù)為

式中：G 為所求的優(yōu)化SOC-OCV 曲線在11 個HPPC測試點的OCV 和SOC 誤差之和；D1(i)與D2(i)的表達式分別如式（7）和式（8）所示。

式中：s(i)和sHPPC(i)分別為第i 個測試點處優(yōu)化后和HPPC 測試的SOC；u(i)和uHPPC(i)分別為第i 個測試點處優(yōu)化后和HPPC測試得出的OCV。

圖5 SOC-OCV曲線優(yōu)化示意圖

2.2 PSO算法

本文中采用PSO 算法對于如式（6）所示的優(yōu)化問題進行求解。在PSO 算法中，由粒子表示的潛在解通過跟蹤最優(yōu)粒子飛過問題空間，在D 維搜索空間中，由n 個粒子組成群，其中第i 個粒子位置

表示為D 維向量Xid=(xi1，xi2，...，xiD)T，其速度表示為Vid=(vi1，vi2，...，viD)T，單 個 極 值 表 示 為 Pid=(pi1，pi2，...，piD)T，群極值表示為Pgd=(pg1，pg2，...，pgD)T，迭代過程中的粒子速度與位置更新之間存在如下關系［11］：

式中：ω 為慣性權重；d=1，2，…，D；i=1，2，…，n；k 為當前迭代次數(shù)；c1、c2為加速度系數(shù)；r1、r2為服從（0，1）內均勻分布的隨機數(shù)。

PSO 算法的計算流程如表2 所示。PSO 與常用的遺傳算法（genetic algorithm，GA）一樣，都是隨機搜索算法，但是PSO 是一種更加高效的并行搜索算法，并且它能變速度搜索，避免了復雜的遺傳操作，所以PSO比GA具有更高的求解效率，在工程中得到了廣泛應用。

表2 PSO算法的計算流程

2.3 SOC-OCV曲線優(yōu)化結果

利用PSO 算法對1.2 節(jié)中HPPC 測試得出的SOC-OCV 曲線進行優(yōu)化。優(yōu)化得出的w1和w2分別為0.001 1 和-0.003 6。優(yōu)化得出的SOC-OCV 曲線如圖6所示?？梢钥闯?，由HPPC 測試點線性插值得出的OCV 曲線比較簡單，但在非測試點的線性插值并不滿足電池的非線性特性，特別是在低SOC 區(qū)域內誤差較大。另外，對HPPC 測試點進行樣條插值或擬合得到OCV曲線也是常用的方法。

圖6 3種方法得出的OCV曲線對比

采用三次樣條插值得到的OCV 曲線如圖6中的虛線所示，可以看出該方法得出的OCV 曲線也同樣不滿足電池的非線性特征。經(jīng)過優(yōu)化后的OCV 曲線不僅具有在HPPC 測試點的準確性，而且在非測試點符合電池的非線性特性（特別是在低SOC 區(qū)域）。為避免繁瑣，僅對線性插值方法得到的OCV曲線與優(yōu)化方法獲得的OCV曲線進行對比。

3 等效電路模型端電壓估計

為了驗證所提出的OCV 曲線優(yōu)化方法的有效性，本文中對動態(tài)工況下等效電路模型的端電壓進行估計。在端電壓估計之前，須在動態(tài)工況下對等效電路模型的模型參數(shù)進行辨識與優(yōu)化。由1.1 節(jié)的2階RC模型可知，須辨識的參數(shù)有6個，分別為充放電歐姆內阻R0_cha與R0_dch、極化內阻R1與R2和時間常數(shù)τ1與τ2。本文中采用PSO 算法對這6 個參數(shù)進行全SOC區(qū)域辨識與優(yōu)化。優(yōu)化的目標是模型端電壓和試驗端電壓的均方根誤差（root mean square error，RMSE）最小，即

模型參數(shù)辨識結果如表3 所示?？梢钥闯鲈谡麄€SOC區(qū)域內，除了SOC＜10%的區(qū)域，RMSE均小于5 mV，說明辨識得出的模型參數(shù)具有很高的精度。

為了驗證優(yōu)化的OCV 曲線和辨識得出模型的有效性，在NEDC 動態(tài)工況下對全SOC 區(qū)域的2 階RC 模型端電壓進行估計，并對基于優(yōu)化OCV 與基于HPPC 測試估計出的模型端電壓進行比較，結果如圖7 所示。圖8 為兩種方法得出的OCV 曲線下模型端電壓估計的RMSE。從圖7 與圖8 可知，與HPPC 測試法相比，基于優(yōu)化OCV 曲線得出的模型端電壓在高SOC 區(qū)域（SOC>80%）和低SOC 區(qū)域（SOC＜20%）具有更高的精度（特別在低SOC 區(qū)域），在其他SOC 區(qū)域兩種方法得出的模型精度相當。

表3 參數(shù)辨識結果

圖7 NEDC動態(tài)工況下模型端電壓對比

4 基于優(yōu)化SOC-OCV 曲線的SOC估計

4.1 擴展卡爾曼濾波器

常用于SOC 估計的算法包括龍貝格觀測器［12］、滑膜觀測器［13］、卡爾曼濾波系列算法［14］、粒子濾波算法［15］等。其中EKF 算法除具有卡爾曼濾波算法精度高、魯棒性好等優(yōu)點外，還具有適用非線性系統(tǒng)的優(yōu)點，近年來在SOC 估計中得到廣泛應用?；贓KF 的SOC 估計原理示意圖見圖9，先對SOC 利用安時積分法進行預估，再將預估值作為2 階RC 模型的輸入，計算出模型誤差，最后對SOC預估值進行反饋修正。

圖8 NEDC動態(tài)工況下端電壓的RMSE

圖9 基于EKF的SOC估計原理示意圖

對于一個動態(tài)非線性系統(tǒng)，一般可以用以下狀態(tài)空間模型進行描述：

對如圖1 所示的2 階RC 等效電路模型，結合安時積分法，以SOC、U1、U2作為狀態(tài)變量，充放電電流I 作為輸入量，端電壓Ut作為輸出量，得到離散化的狀態(tài)空間方程：

式中：Δt 為采樣周期；C0為電池容量；UOCV為開路電壓；wk和vk分別為電流、電壓的測量噪聲。

在此模型的基礎上，采用EKF 算法估計電池的SOC，EKF 算法的初始化和迭代估計方程如表4所示。

表4 EKF算法的迭代方程［8］

4.2 NEDC動態(tài)工況下SOC全局估計試驗結果

根據(jù)上述辨識的2 階RC 模型參數(shù)和優(yōu)化的OCV 曲線，利用EKF 算法對全SOC 區(qū)域的SOC 進行估計，并比較本文中所述的3 種OCV 曲線下的SOC估計結果，如圖10 所示?？梢钥闯鲈贜EDC 動態(tài)工況下：（1）基于小電流恒流放電的SOC 估計精度在除低SOC 區(qū)域外均差于另外兩種方法；（2）基于優(yōu)化的OCV 曲線的SOC 誤差在整個SOC 區(qū)間內都小于2%，特別是在低SOC 區(qū)域取得滿意的估計精度；（3）基于HPPC 方法的OCV 曲線的SOC 估計誤差在全SOC 區(qū)域內的某些區(qū)域（20%＜SOC＜60%）稍小于基于優(yōu)化OCV 的SOC 估計誤差，但是兩者誤差在0.5%以內，并且在其它區(qū)域內基于優(yōu)化OCV的SOC估計精度優(yōu)勢明顯（尤其在低SOC 區(qū)域）。因此，通過試驗可以得出以下結論：經(jīng)過優(yōu)化的OCV 曲線能更好地描述電池的非線性特征，并能有效解決HPPC測試得出的OCV 曲線在高SOC 區(qū)域和低SOC 區(qū)域精度不足的問題。另外，利用EKF 算法對全SOC 區(qū)域的SOC 進行估計，結果表明：基于優(yōu)化OCV 曲線的SOC估計具有優(yōu)異的全局精度。

圖10 NEDC動態(tài)工況下SOC估計

5 結論

本文中結合HPPC 測試法和小電流恒流放電法的優(yōu)點，提出了一種基于PSO 算法的OCV 曲線優(yōu)化算法，并據(jù)此對2 階RC 模型的模型參數(shù)進行了辨識，在此基礎上利用EKF 算法對SOC 進行了全區(qū)域估計，得出的結論如下。

（1）優(yōu)化后的OCV 曲線既具有HPPC 測試法在測試點的精度，在非測試點也能保持良好的非線性，而且能在整個SOC 區(qū)域上反映電池的非線性特性，具有較高的全局精度。

（2）模型參數(shù)辨識結果表明，與HPPC 測試法和小電流恒流放電法相比，基于優(yōu)化OCV 曲線估計得出的模型端電壓在高SOC區(qū)域和低SOC區(qū)域具有明顯的精度優(yōu)勢。在低SOC 區(qū)域，基于優(yōu)化OCV 曲線得到的模型誤差僅為基于HPPC 法得到的模型誤差的一半。

（3）NEDC 動態(tài)工況下的全區(qū)域SOC 估計結果表明，采用本文中所提出的優(yōu)化OCV 曲線能提高低SOC 區(qū)域和高SOC 區(qū)域的SOC 估計精度，在全SOC區(qū)域SOC估計誤差能保持在2%以內。