基于范希爾理論的橢圓及標(biāo)準(zhǔn)方程教學(xué)設(shè)計(jì)

崔靜靜 趙思林

[摘 要] 基于范希爾理論對橢圓及標(biāo)準(zhǔn)方程進(jìn)行“六步”教學(xué)設(shè)計(jì)：“看”—畫”—“說”—“化”—“用”—“悟”，并說明其設(shè)計(jì)意圖.其中，“畫”用“如果將圓心‘分裂成兩點(diǎn)，將得到什么樣的圖形”激疑；“化”用三種方法化簡方程，方法二與前期所學(xué)的等差數(shù)列聯(lián)系，化難為易，方法三與圓聯(lián)系，溫故而知新；“用”結(jié)合前面所學(xué)的知識，用五種表述方式表達(dá)同一個橢圓的軌跡方程；“悟”重在對本節(jié)課蘊(yùn)含的思想方法進(jìn)行提煉.

[關(guān)鍵詞] 范希爾理論；橢圓；標(biāo)準(zhǔn)方程；“六步”教學(xué)設(shè)計(jì)

范希爾理論的簡述

20世紀(jì)80年代，范希爾夫婦對學(xué)生的幾何思維進(jìn)行了大量的研究后，將五個思維水平合并為三個：[1]①直觀水平：整體的認(rèn)識幾何體，具體指學(xué)習(xí)者根據(jù)幾何體的外表來認(rèn)識這些圖形. ②描述水平：通過幾何性質(zhì)認(rèn)識幾何對象. ③理論水平：利用演繹推理證明幾何關(guān)系，此時學(xué)生理解和接受了準(zhǔn)確的定義.

針對五個思維水平，范希爾夫婦提出了五個教學(xué)階段[2]，用于指導(dǎo)教師的教學(xué). ①學(xué)前咨詢：學(xué)生與教師就學(xué)習(xí)的對象進(jìn)行雙向的交談. ②引導(dǎo)定向：教師為學(xué)生仔細(xì)安排活動的順序，使學(xué)生認(rèn)識到學(xué)習(xí)進(jìn)行的方向. ③闡明：通過教師最低程度的提示，學(xué)生明確了詞匯的意義，能夠表達(dá)對內(nèi)在結(jié)構(gòu)的看法，開始形成學(xué)習(xí)的關(guān)系系統(tǒng). ④自由定向：在這個階段，學(xué)生碰到能以不同方式完成的任務(wù).在尋找方法和解決問題的過程中，獲得了經(jīng)驗(yàn). ⑤整合：學(xué)生回顧自己所使用的方法并形成一種觀點(diǎn)，教師對學(xué)生理解的知識作一個全面的評述.

基于范希爾理論的教學(xué)設(shè)計(jì)

1. 橢圓及標(biāo)準(zhǔn)方程的“六步”教學(xué)設(shè)計(jì)與簡略說明

基于范希爾理論下橢圓及標(biāo)準(zhǔn)方程的“六步”教學(xué)設(shè)計(jì)（或稱“六環(huán)節(jié)”）的流程圖，如圖1所示，并對“六步”教學(xué)設(shè)計(jì)的含義作初步說明.

橢圓及標(biāo)準(zhǔn)方程教學(xué)設(shè)計(jì)中的“六步”是指：“看”—“畫”—“說”—“化”—“用”—“悟”. 下面對這“六步”的含義作初步說明.

“看”是指觀察現(xiàn)實(shí)生活存在的橢圓，滲透二次曲線與實(shí)際生產(chǎn)生活的密切相關(guān)的思想. 用問題“科學(xué)家們怎樣精確地設(shè)計(jì)衛(wèi)星的運(yùn)行軌道”啟迪學(xué)生思維，激發(fā)其愛國情懷，趁機(jī)引入課題.

“畫”是指動手畫出橢圓，有助于開發(fā)學(xué)生的發(fā)散思維和動手能力，小組合作的方式有利于提高學(xué)習(xí)興趣和溝通交流的能力，培養(yǎng)學(xué)生的操作技能.

“說”是指師生間的互動，“說”有助于培養(yǎng)學(xué)生的語言表達(dá)能力. 通過前面的“看”和“畫”兩步后，通過師生間的“說”促進(jìn)學(xué)生對知識的理解.

“化”是指化簡前面師生間“說”出來的式子：PF1+PF2=2a，引導(dǎo)學(xué)生用三種方法化簡式子，促進(jìn)學(xué)生認(rèn)知的全面發(fā)展和知識間的整合.

“用”是指應(yīng)用，用數(shù)學(xué)知識解決新的數(shù)學(xué)問題時應(yīng)當(dāng)考慮如何用、何時用等問題.橢圓及標(biāo)準(zhǔn)方程應(yīng)用非常廣泛，這里不再論述簡單地用定義，而將著眼點(diǎn)放在變用、創(chuàng)造性地用. 結(jié)合前期所學(xué)的知識，用五種表述方式表達(dá)同一個橢圓的軌跡方程，有助于促進(jìn)新舊知識間的整合.

“悟”是指感悟數(shù)學(xué)思想.橢圓及標(biāo)準(zhǔn)方程蘊(yùn)涵重要的數(shù)學(xué)思想，如笛卡爾思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想、數(shù)形結(jié)合思想、方程的思想等.

2. 橢圓及標(biāo)準(zhǔn)方程的“六步”教學(xué)的實(shí)施建議與設(shè)計(jì)意圖分析

依據(jù)橢圓及標(biāo)準(zhǔn)方程的“六步”教學(xué)設(shè)計(jì)，提出了如下實(shí)施建議，并對每一步都說明設(shè)計(jì)意圖.

第一步：“看”.

讓學(xué)生切實(shí)地感受到現(xiàn)實(shí)世界中存在著一些由運(yùn)動所產(chǎn)生的橢圓.學(xué)生通過之前的經(jīng)驗(yàn)已經(jīng)形成了對橢圓的認(rèn)知，也即是說學(xué)生已經(jīng)到達(dá)了范希爾水平中的“直觀水平”，那么該層次的教學(xué)設(shè)計(jì)就應(yīng)該簡單快捷.

教學(xué)設(shè)計(jì)：教師用多媒體呈現(xiàn)生活中常見的由運(yùn)動產(chǎn)生的橢圓，比如“嫦娥二號”2010年在西昌衛(wèi)星發(fā)射中心成功實(shí)施第二次近月制動的軌跡圖；以及一些生活中的橢圓建筑物和常見的橢圓物體，比如鳥巢的外形、學(xué)校操場、環(huán)球中心的外部、女士佩戴的飾品、油罐車等. 那科學(xué)家們是怎樣精確地設(shè)計(jì)衛(wèi)星的運(yùn)行軌道的？我們能否求出油罐車截面的方程？

設(shè)計(jì)意圖：通過以上教學(xué)設(shè)計(jì)讓學(xué)生對橢圓的外形及運(yùn)動生成有一個整體感知的過程，并通過展示“嫦娥二號”2010年在西昌衛(wèi)星發(fā)射中心成功實(shí)施第二次近月制動的軌跡圖激發(fā)學(xué)生的愛國情懷，讓其感知數(shù)學(xué)與實(shí)際生產(chǎn)生活有著密切聯(lián)系，順應(yīng)教育部2017年新修訂的《考試大綱（數(shù)學(xué)）》中增加的數(shù)學(xué)文化的考查要求. 用多媒體呈現(xiàn)這些教學(xué)材料使得整節(jié)課饒有趣味，引發(fā)學(xué)生繼續(xù)學(xué)習(xí).

第二步：“畫”.

學(xué)生此時能夠分析構(gòu)成橢圓的要素和特征，但不能給出橢圓的定義.通過“學(xué)前咨詢”后，學(xué)生能夠分析出橢圓類似于圓也有定點(diǎn)（F1，F(xiàn)2）和定長（PF1+PF2）. 該層次的教學(xué)設(shè)計(jì)主要通過教師的“引導(dǎo)定向”，讓學(xué)生規(guī)范地畫出橢圓，為得到橢圓的定義作鋪墊.

教學(xué)設(shè)計(jì)：展示上面由運(yùn)動變化而產(chǎn)生的橢圓后，教師首先引導(dǎo)學(xué)生回顧圓的定義：到定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)的軌跡，其中定點(diǎn)是圓心，定長為半徑.并在幾何畫板上演示圓生成的過程，再由圓的定義去探索橢圓的定義，教師提出疑問：如果將圓心“分裂”成兩點(diǎn)，將得到什么樣的圖形呢？

接下來，教師讓學(xué)生拿出事先準(zhǔn)備好的教學(xué)材料：一根細(xì)繩（無彈性）、一支筆、兩個圖釘，讓學(xué)生6人一組試著畫出一些他們可以畫出的圖形.

設(shè)計(jì)意圖：由圓的生成過程和定義類比得到橢圓的生成過程和定義，是該教學(xué)設(shè)計(jì)的亮點(diǎn)之一，這種過渡和銜接自然，極易被學(xué)生接受，同時有助于學(xué)生組織和建構(gòu)知識體系. 讓學(xué)生畫出他們可以操作得到的圖形，有助于開發(fā)其發(fā)散思維和提高其動手能力，小組合作的方式有利于提高學(xué)習(xí)興趣和溝通交流的能力.

在幾何教學(xué)階段“學(xué)前咨詢”“引導(dǎo)定向”指導(dǎo)下的教學(xué)設(shè)計(jì)，學(xué)生此時的幾何思維水平也發(fā)生了變化，他們此時已經(jīng)能夠掌握圖形的粗略定義：橢圓是一個動點(diǎn)到兩定點(diǎn)的距離之和為定值的點(diǎn)的軌跡，若要得到橢圓的精準(zhǔn)定義有賴于進(jìn)一步的教學(xué).

第三步：“說”.

學(xué)生此時已經(jīng)達(dá)到了“描述水平”，他們明白了圓與橢圓之間的區(qū)別與聯(lián)系，掌握了建構(gòu)橢圓所需的要素. 該步教學(xué)設(shè)計(jì)能為“理論水平”——演繹推理橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程作鋪墊.

教學(xué)設(shè)計(jì)：教師引導(dǎo)學(xué)生對上面的小組活動進(jìn)行交流、成果展示.以問題為驅(qū)動，逐步完善其對橢圓的定義.

問題1：通過上面的活動得到了哪些圖形？你們又是怎么得到的？

預(yù)設(shè)答案：組1得到了橢圓，他們的做法是：用兩個圖釘固定住繩子，用筆勾緊繩子，轉(zhuǎn)一圈后得到了橢圓. 組2還得到了圓，他們的做法類似于組1但只用了一個圖釘. 組3得到了橢圓、圓、線段，當(dāng)筆尖運(yùn)動到圖釘?shù)奈恢脮r，即兩個固定圖釘之間的距離與整個繩長相等時得到線段. 組4得到了橢圓、圓、線段和扇形，扇形的得出與圓的做法類似，只是沒有把一圈轉(zhuǎn)完.

問題2：在橢圓的生成過程中，哪些量是不變的？哪些是變的？

預(yù)設(shè)答案：整個繩長是不變的，相當(dāng)于是說橢圓上的任一點(diǎn)到兩固定點(diǎn)的距離之和是不變的. 而在作圖的過程中，筆是在不斷變化的，相當(dāng)于這個橢圓上的點(diǎn)是任取的.

問題3：橢圓是什么樣的點(diǎn)的軌跡？

預(yù)設(shè)答案：任一點(diǎn)到兩定點(diǎn)的距離之和為定值的點(diǎn)的軌跡. 此時對橢圓的定義并不完善，請同學(xué)們對比線段的得出情況，對橢圓的定義進(jìn)行補(bǔ)充后與學(xué)生一同板書出橢圓的文字表述：平面內(nèi)與兩定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離的和（2a）等于常數(shù)（大于F1F2）的點(diǎn)的軌跡叫做橢圓. 這兩個點(diǎn)F1，F(xiàn)2叫做橢圓的焦點(diǎn)，兩焦點(diǎn)的距離叫做橢圓的焦距.符號表述：MF1+MF2=2a>2c.

設(shè)計(jì)意圖：“說”致力于學(xué)生能用準(zhǔn)確的數(shù)學(xué)語言描述橢圓的定義. 師生間的一問一答逐步完善橢圓的定義，為下一步“化”的順利進(jìn)行作鋪墊. “說”能夠鍛煉學(xué)生的語言表達(dá)能力，使課堂氛圍活躍.

第四步：“化”.

根據(jù)范希爾理論，學(xué)生此時能嘗試著用演繹推理的方式證實(shí)其猜想，推理得到橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，理解橢圓滿足圓錐曲線的充要條件. 教師需根據(jù)“闡明”，即給學(xué)生提供最低程度的提示，讓他們“自由定向”，自由探索，從而獲得學(xué)習(xí)的經(jīng)驗(yàn).

教學(xué)設(shè)計(jì)：首先引導(dǎo)學(xué)生復(fù)習(xí)求曲線方程的基本步驟：①建系；②設(shè)點(diǎn)；③列式子；④化簡；⑤證明.

讓學(xué)生考察橢圓的幾何特征，引導(dǎo)學(xué)生使用最簡潔的建系方法，即建立以F1F2所在直線為x軸，與F1F2的中垂線為y軸的直角坐標(biāo)系.

而該層次的教學(xué)設(shè)計(jì)重點(diǎn)就是如何在此處引導(dǎo)學(xué)生將上面的式子進(jìn)行簡化，教師先給學(xué)生一些時間討論交流，然后重點(diǎn)講解三種常見的技巧：①將根式變形后進(jìn)行平方；②引導(dǎo)學(xué)生觀察式子，與前面所學(xué)的等差數(shù)列聯(lián)系，化難為易后再繼續(xù)；③以F1（-c，0）為圓心，r為半徑作圓⊙F1，再以F2（c，0）為圓心，2a-r為半徑作圓⊙F2.

設(shè)計(jì)意圖：這部分是“形”向“數(shù)”轉(zhuǎn)化的重要體現(xiàn)，數(shù)形結(jié)合不僅是一種重要的解題方法，而且也是一種重要的思維方式，它在中學(xué)數(shù)學(xué)中占有重要的地位，在日常的教學(xué)中教師要注意滲透該數(shù)學(xué)思想，讓學(xué)生親自動手去化簡式子，鍛煉學(xué)生獨(dú)立解決問題的能力.使用多種化簡方法是本節(jié)課的設(shè)計(jì)亮點(diǎn)之二，與之前學(xué)習(xí)的等差數(shù)列、圓建立起聯(lián)系，促進(jìn)知識間的整合和學(xué)生認(rèn)知的全面發(fā)展，將知識學(xué)以致用.

第五步：“用”.

設(shè)計(jì)意圖：這是本設(shè)計(jì)的亮點(diǎn)之三，上面五種表述方式表達(dá)了同一個橢圓的軌跡方程.教師根據(jù)“自由定向”，指導(dǎo)學(xué)生在尋找方法和解決問題的過程中獲得經(jīng)驗(yàn). 在新知與舊知間架起一座橋梁，可能對學(xué)生來說辨析它們之間的關(guān)系具有一定的難度，但是這樣的教學(xué)設(shè)計(jì)是很有必要進(jìn)行的.

第六步：“悟”.

“悟”是對數(shù)學(xué)思想的領(lǐng)悟和提煉. 教師需在新課結(jié)束后引導(dǎo)學(xué)生分析本節(jié)課中主要有笛卡爾思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想、數(shù)學(xué)結(jié)合思想、方程的思想等.

笛卡爾思想：幾何坐標(biāo)化、坐標(biāo)代數(shù)化、代數(shù)方程化都體現(xiàn)著笛卡爾思想.

設(shè)計(jì)意圖：教師根據(jù)“整合”，引導(dǎo)學(xué)生回顧本節(jié)課所涉及的思想、方法，并對學(xué)生理解的知識作一個全面的評述.依據(jù)《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)）》提出的：“概念教學(xué)應(yīng)該返璞歸真，努力揭示數(shù)學(xué)概念、法則、結(jié)論的發(fā)展過程和本質(zhì). 通過典型例子……使學(xué)生體會蘊(yùn)涵在其中的思想方法……”[4]

結(jié)語

人類對事物認(rèn)識的一般規(guī)律通常是從特殊到一般，具體到抽象，恰好范希爾的幾何思維水平理論就揭示了此規(guī)律. 筆者認(rèn)為范希爾理論對理解學(xué)生的學(xué)習(xí)過程及指導(dǎo)教師的教學(xué)實(shí)踐都具有重要意義，同時從目前的研究來看，范希爾理論的關(guān)注程度呈上升趨勢，且在非幾何領(lǐng)域的研究空間還很大.[5] 教師應(yīng)該確定所教學(xué)生的認(rèn)識狀況進(jìn)行因材施教.在本節(jié)課中，應(yīng)將對橢圓概念的理解和轉(zhuǎn)化為抽象的數(shù)學(xué)符號作為教學(xué)的重點(diǎn)，用多種方法化簡得到橢圓及標(biāo)準(zhǔn)方程作為教學(xué)難點(diǎn)，領(lǐng)悟其中的數(shù)學(xué)思想、方法也是必不可少的，并引導(dǎo)學(xué)生在理解的基礎(chǔ)上進(jìn)行變用、創(chuàng)造性地用.

參考文獻(xiàn)：

[1] 鮑建生，周超. 數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的心理基礎(chǔ)與過程[M]. 上海：上海教育出版社，2009：4-5.

[2] 鮑建生，周超. 數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的心理基礎(chǔ)與過程[M]. 上海：上海教育出版社，2009：6.

[3] 賀明榮. 基于范希爾幾何水平理論的橢圓及標(biāo)準(zhǔn)方程教學(xué)設(shè)計(jì)[J]. 數(shù)學(xué)通訊，2014，（5）：25.

[4] 中華人民共和國教育部. 普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)[M]. 北京：人民教育出版社，2003.

[5] 盧道燕，邵利，彭文強(qiáng). VanHiele理論在中學(xué)數(shù)學(xué)教育中的應(yīng)用[J]. 中學(xué)數(shù)學(xué)研究，2016，（10）：10.