一類特殊延遲微分方程的數(shù)值振動性

銀鶴凡，王 琦

(廣東工業(yè)大學(xué) 應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)院，廣東 廣州 510006)

0 引言

近年來，針對延遲微分方程數(shù)值解性質(zhì)的研究受到了越來越多的關(guān)注[1-4]，特別是對于具有分段連續(xù)自變量的微分方程(differential equations with piecewise continuous arguments，簡寫為EPCA)[5-8]。由于時間整數(shù)函數(shù)在本質(zhì)上就是延遲項，所以EPCA可被看作是一種特殊的延遲微分方程。文獻[9,10]和[11,12]分別討論了EPCA數(shù)值解的穩(wěn)定性和振動性。同時，由于EPCA在結(jié)構(gòu)上分別具有微分方程和差分方程的特征，所以在現(xiàn)實生活中發(fā)揮了重要作用(見文獻[13-16])，也使得對于EPCA的研究更加具有理論價值和實際意義。

本文主要研究超前型EPCA的數(shù)值振動性。運用微分方程與差分方程的振動性理論，獲得了原方程的數(shù)值振動性條件，進一步探討了振動性與穩(wěn)定性的內(nèi)在聯(lián)系。

考慮方程

x′(t)=ax(t)+a0x([t])+a1x([t+1]),x(0)=c0,

(1)

其中[t]表示取t的整數(shù)部分。

記

b0(t)=eat+a-1a0(eat-1),b1(t)=a-1a1(eat-1),λ=b0(1)/(1-b1(1))。

(2)

定理1[17]如果b1(1)≠1，則方程(1)在[0,∞)上存在如下形式的唯一解

x(t)=(b0({t})+λb1({t}))λ[t]c0,

(3)

其中{t}=t-[t]。

定理2[17]方程(1)的解在t→∞時是穩(wěn)定的(或漸近穩(wěn)定的)，當(dāng)且僅當(dāng)

(4)

定理3[17]如果下列條件

(5)

成立，那么方程(1)的解在區(qū)間(n,n+1)內(nèi)有零點

如果式(5)不成立，并且a0≠-aea/(ea-1),c0≠0,那么式(3)在[0,∞)上沒有零點。

微分方程和差分方程的振動性概念如下。

如果存在序列{nk}，使得當(dāng)k→∞時有nk→∞且x(nk)x(nk-1)≤0，則稱方程(1)的非零數(shù)值解是振動的，否則稱為非振動；如果方程(1)的所有非零數(shù)值解都是(非)振動的，那么就稱方程(1)的差分方程(或差分格式)是(非)振動的。

1 數(shù)值解的振動性

1.1 差分格式

令步長h=1/m，將θ-方法(具體形式參見文獻[18])用于求解方程(1)，得到如下遞推關(guān)系式

(6)

其中z=ha,l=0,1,…,m-1,R(z)=1+z/(1-θz)。

式(6)經(jīng)迭代，分別可得方程(1)在整數(shù)與非整數(shù)節(jié)點的遞推格式

(7)

(8)

1.2 解析解和數(shù)值解的振動與非振動性

下面的定理給出了非振動性在整數(shù)節(jié)點和任意節(jié)點之間的關(guān)系。

定理4{xn}非振動當(dāng)且僅當(dāng){xkm}非振動，其中{xn}和{xkm}分別由式(8)和式(7)給出。

證明必要性顯然。下面證明充分性。如果{xkm}非振動，不妨假設(shè){xkm}是式(7)的一個最終為負的解，即存在一個k0∈N，使得k>k0時，有xkm<0。為了證明xkm+l<0(k>k0+1)，不妨設(shè)a0<0且a1<0。如果a>0，則R(z)-m≤R(z)-l，因此，由式(8)可得

即有xkm+l<0。a<0的情形類似可證。

定理5{xn}振動當(dāng)且僅當(dāng){xkm}振動，其中{xn}和{xkm}分別由式(8)和式(7)給出。

定理6如果下列兩組條件之一成立

那么式(7)是振動的。

證明式(7)是振動的當(dāng)且僅當(dāng)相應(yīng)的特征方程沒有正根，即

從而命題得證。

由定理3不難得到解析解振動性的結(jié)果。

引理1D1(m),D2(m),D1和D2具有如下關(guān)系：(i) 當(dāng)h→0時，有D1(m)→D1,D2(m)→D2；(ii) 如果對于a>0，有ez≤R(z)成立，或者對于a<0，有ez≥R(z)成立，則有D1≤D1(m),D2≥D2(m)；(iii) 如果對于a>0，有ez>R(z)成立，或者對于a<0，有ezD1(m),D2

證明(i) 顯然成立，接下來考慮(ii)。如果a>0并且ez≤R(z)，則ea≤R(z)m，即

進而有

所以有D1≤D1(m),D2≥D2(m)。其他情形同理可證。

由定理4,5,6和推論7得如下定理。

定理7(i) 如果D1D2(m)成立，那么θ-方法保持方程(1)的振動性；(ii) 如果D1≥D1(m)和D2≤D2(m)成立，那么θ-方法保持方程(1)的非振動性。

(9)

由定理7，引理1和引理2可得如下結(jié)論。

定理9θ-方法保持方程(1)的非振動性當(dāng)且僅當(dāng)(i)a>0且0≤θ≤f(1);(ii)a<0且f(-1)≤θ≤1，其中f(x)的表達式見式(9)。

2 穩(wěn)定性與振動性的進一步探討

根據(jù)定理2，如下推論顯然成立。

推論2方程(1)的解析解漸近穩(wěn)定(當(dāng)t→∞時，x(t)→0)的充分必要條件是

(10)

定理10方程(1)的數(shù)值解漸近穩(wěn)定(當(dāng)n→∞時，xn→0)的充分必要條件是

通過簡單推導(dǎo)有

故命題得證。

定理11方程(1)的解析解具有下列四種情形。

(A1) 如果下列兩組條件之一成立

那么方程(1)的解析解非振動且漸近穩(wěn)定。

(A2) 如果下列兩組條件之一成立

那么方程(1)的解析解非振動且不穩(wěn)定。

(A3) 如果下列兩組條件之一成立

那么方程(1)的解析解振動且不穩(wěn)定。

(A4) 如果下列兩組條件之一成立

那么方程(1)的解析解振動且漸近穩(wěn)定。

證明由推論1和推論2可得。

對于數(shù)值解情形，類似有如下結(jié)論。

定理12方程(1)的數(shù)值解具有下列四種情形。

(B1) 如果下列兩組條件之一成立

那么方程(1)的數(shù)值解非振動且漸近穩(wěn)定。

(B2) 如果下列兩組條件之一成立

那么方程(1)的數(shù)值解非振動且不穩(wěn)定。

(B3) 如果下列兩組條件之一成立

那么方程(1)的數(shù)值解振動且不穩(wěn)定。

(B4) 如果下列兩組條件之一成立

那么方程(1)的數(shù)值解振動且漸近穩(wěn)定。

3 數(shù)值例子

考慮下列4個方程

x′(t)=x(t)-3x([t])+3x([t+1]),x(0)=1,

(11)

x′(t)=-2x(t)-3x([t])-2x([t+1]),x(0)=1,

(12)

x′(t)=3x(t)+x([t])+3x([t+1]),x(0)=1,

(13)

x′(t)=-4x(t)+3x([t])+2x([t+1]),x(0)=1。

(14)

從方程(11)可以看出a=0,a0=-3,a1=3,故有

也就是說，定理11的條件(A1)是成立的。

同時有

進而可算得

因此，定理12的條件(B1)成立。

從圖1我們可以看出方程(11)的解析解和數(shù)值解都是漸近穩(wěn)定且非振動的，從而，圖1中解的行為與定理11和定理12的理論結(jié)果相吻合。

其他情形可以用類似的方式進行驗證(參見圖2-圖4)。

圖1 方程(11)的解析解(中心線)和數(shù)值解(外沿線)

圖2 方程(12)的解析解(中心線)和數(shù)值解(外沿線)

圖3 方程(13)的解析解(中心線)和數(shù)值解(外沿線)

圖4 方程(14)的解析解(中心線)和數(shù)值解(外沿線)

4 結(jié)語

本文針對前向EPCA，運用θ-方法進行離散，根據(jù)對差分格式的特征方程的分析，獲得了數(shù)值解振動的充分條件。在此基礎(chǔ)上，進一步討論了數(shù)值方法對原方程振動行為的保持性質(zhì)。所得結(jié)論是對歷史文獻的有益補充和擴展。