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    激發(fā)合理猜想,成就數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的翅膀

    2022-05-30 22:28:27卜英俊
    關(guān)鍵詞:猜想數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)

    卜英俊

    [摘? 要] 數(shù)學(xué)猜想是學(xué)生根據(jù)已知規(guī)律做出的合理推斷,并能通過推理論證發(fā)現(xiàn)新知的過程. 提高猜想能力可以培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維,激發(fā)學(xué)生探究未知的樂趣,為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)插上想象的翅膀.

    [關(guān)鍵詞] 猜想;數(shù)學(xué)學(xué)習(xí);推理論證

    猜想在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中是一種重要的探索手段,在數(shù)學(xué)發(fā)展史上很多偉大的定理都是通過猜想發(fā)現(xiàn)的,當(dāng)然也有一些猜想被驗(yàn)證是不正確的. 無論成功與失敗,都表明猜想是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的一種重要的能力. 學(xué)生具備了猜想的能力,就為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)插上了想象的翅膀,學(xué)會(huì)了提出問題并解決問題,使自身的思維得到進(jìn)一步的鍛煉.

    關(guān)于數(shù)學(xué)猜想的含義

    數(shù)學(xué)猜想不同于想象,它是以數(shù)學(xué)知識(shí)為基礎(chǔ),在已有規(guī)律的基礎(chǔ)上,通過數(shù)學(xué)方法進(jìn)行推斷或者推測(cè). 猜想的過程是運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行分析和判斷的過程,因此提出猜想本身就包含著創(chuàng)造性的勞動(dòng). 正是因?yàn)橛泻芏鄠ゴ蟮牟孪?,推?dòng)著數(shù)學(xué)理論不斷發(fā)展,甚至在論證一些猜想的過程中還能發(fā)現(xiàn)其他的數(shù)學(xué)定理. 因此培養(yǎng)學(xué)生的猜想能力,對(duì)于促進(jìn)學(xué)生敢于質(zhì)疑、敢于提出問題、敢于創(chuàng)新具有非常重要的意義.

    如何培養(yǎng)學(xué)生的猜想能力

    數(shù)學(xué)猜想能力的培養(yǎng)體現(xiàn)在課堂的每一個(gè)環(huán)節(jié)、每一個(gè)設(shè)計(jì)當(dāng)中,教師只有深知教學(xué)活動(dòng)與學(xué)生思維之間的關(guān)系,才能在活動(dòng)中訓(xùn)練學(xué)生的思維,讓課堂充滿活力.

    (一)動(dòng)手實(shí)踐,激發(fā)猜想興趣

    思維的鍛煉與實(shí)踐密切相關(guān),學(xué)習(xí)過程中如果都是間接經(jīng)驗(yàn),學(xué)生不會(huì)有深刻的體會(huì). 而通過直接的動(dòng)手操作,可以讓學(xué)生在獲得直接經(jīng)驗(yàn)的過程中,激發(fā)猜想的興趣.

    案例1三角形中位線定理

    師:同學(xué)們已經(jīng)學(xué)習(xí)了三角形中位線的概念,那么三角形的中位線有哪些性質(zhì)和特征呢?同學(xué)們不妨來自己動(dòng)手畫一畫,看一看,想一想.

    同學(xué)們應(yīng)注意任何線與線的關(guān)系都有兩種,一種為位置的關(guān)系,一種為數(shù)量之間的關(guān)系. 同學(xué)們可以大膽地猜想一下.

    生:我根據(jù)剛才畫的幾條中位線發(fā)現(xiàn),三角形的中位線與三角形的第三邊平行而且長(zhǎng)度等于第三邊的一半.

    師:好的,同學(xué)們既然有了猜想,那我們要試著去論證一下這個(gè)猜想是否正確. 大家可以試著動(dòng)手做一下. 大家做一個(gè)如圖1的三角形,沿著三角形的中位線把△ADE剪下來,試著把△ADE和四邊形BDEC拼接成一個(gè)平行四邊形(如圖2).

    師:看來同學(xué)們都拼接成功了,其實(shí)我們發(fā)現(xiàn)拼接的過程就相當(dāng)于將DE延長(zhǎng),使E成為DF的中點(diǎn),那么如何證明剛才你們的猜想呢?

    生:通過三角形相似原理,BD∥CF,DF∥BC,也就證明了四邊形BDFC是平行四邊形,那么BC和DF相等,而E成為DF的中點(diǎn),因此DE是BC的一半.

    本例中教師并沒有將定理直接告知學(xué)生,而是引導(dǎo)學(xué)生通過自己的作圖和觀察進(jìn)行猜想,繼而又通過剪拼發(fā)現(xiàn)了證明猜想的辦法,這一系列的思維活動(dòng)通過發(fā)現(xiàn)問題到證明問題,最終使學(xué)生獲得成功的喜悅,激發(fā)了探究的興趣.學(xué)生有了興趣的驅(qū)使,學(xué)習(xí)就變得輕松愉快,自然愿意投入更多的時(shí)間和精力,愿意發(fā)揮自己的主觀能動(dòng)性去積極的探索和學(xué)習(xí),讓學(xué)習(xí)真正成為一種自覺.

    教學(xué)中教師要積極創(chuàng)設(shè)活動(dòng),讓學(xué)生主動(dòng)參與,動(dòng)手實(shí)踐,大膽猜想,運(yùn)用自己所學(xué)的知識(shí)大膽設(shè)疑、充分證明,激發(fā)自身學(xué)習(xí)的積極主動(dòng)性.

    (二)掌握方法,培養(yǎng)猜想能力

    數(shù)學(xué)猜想是在已有數(shù)學(xué)知識(shí)的基礎(chǔ)上,采用數(shù)學(xué)方法進(jìn)行的推理,因此掌握數(shù)學(xué)方法是猜想需要的前提. 猜想過程中普遍需要用到歸納和類比轉(zhuǎn)化的思想,在教學(xué)中教師要不斷培養(yǎng)學(xué)生歸納和類比的數(shù)學(xué)推理方法.

    1. 學(xué)會(huì)歸納方法

    歸納是學(xué)生提高學(xué)習(xí)效果的重要方法. 簡(jiǎn)而言之,歸納是由零散到整體的總結(jié),是由特殊的例子推而廣之成為普遍的定理.

    案例2 凸多面體中面、棱和頂點(diǎn)的關(guān)系

    探究這其中的關(guān)系較難,凸多面體也無法窮盡,所以可以采用舉例研究特殊圖形來找到規(guī)律. 教師引導(dǎo)學(xué)生通過列表格進(jìn)行分類整理(如表1),在整理的過程中發(fā)現(xiàn)面、頂點(diǎn)和棱雖然增長(zhǎng)的數(shù)量不一致,但是都有著同樣的增加或者減少的趨勢(shì). 再仔細(xì)研究學(xué)生就會(huì)發(fā)現(xiàn)面與頂點(diǎn)的和等于棱的數(shù)量加上2.

    本案例是典型地采用了歸納推理的方法. 研究一種較難的數(shù)學(xué)定理或者猜想時(shí),不要妄想一步登天,可以從最簡(jiǎn)單的部分著手,為了更加清楚直觀,可以盡量采用列表、舉例的方法,多舉一些簡(jiǎn)單的例子進(jìn)行觀察,從變化當(dāng)中發(fā)現(xiàn)不變的規(guī)律,自然可以發(fā)現(xiàn)其中的定理. 在教學(xué)中教師要逐步引導(dǎo)學(xué)生通過特殊到一般的推理,有效簡(jiǎn)化推理的過程,論證猜想.

    2. 學(xué)會(huì)類比思想

    類比思想是根據(jù)同類事物進(jìn)行猜想和推理,在數(shù)學(xué)問題的解決過程中,類比思想應(yīng)用非常廣泛,很多重要的數(shù)學(xué)定理的論證就是通過類比思想完成的.

    案例3 多邊形內(nèi)切圓半徑

    問題1:如圖4,已知三角形ABC的周長(zhǎng)為l,三角形內(nèi)部有一個(gè)內(nèi)切圓O,其半徑為r,以O(shè)為頂點(diǎn)劃分成三個(gè)三角形. 經(jīng)過證明可知三角形ABC的面積等于三角形周長(zhǎng)乘以內(nèi)切圓半徑的一半. 由此得出猜想1:若四邊形ABCD有一個(gè)面積為s的內(nèi)切圓,四邊形各邊長(zhǎng)分別為a,b,c,d,求推導(dǎo)出內(nèi)切圓的半徑.

    問題2:如圖5,圓O為四邊形ABCD的內(nèi)切圓,OA,OB,OC,OD將四邊形ABCD分割成四個(gè)三角形,△OCD,△OCB,△ODA,△OAB的高都是圓的半徑,因此r=. 據(jù)此可得出猜想2:若一個(gè)n邊形存在內(nèi)切圓,且已知圓的面積為s,邊長(zhǎng)分別為a,b,c,d…n,根據(jù)以上的猜想可以得到這個(gè)內(nèi)切圓的半徑為r=.

    本題通過典型的類比思想,先從三角形推理到四邊形,進(jìn)而再推廣到n邊形,使一個(gè)復(fù)雜的問題得以推理論證.類比思想就是對(duì)相似的性質(zhì)、過程或者結(jié)構(gòu)等進(jìn)行聯(lián)想和推理,教師在進(jìn)行定理的講解、習(xí)題的練習(xí)時(shí)都可以潛移默化地滲透這種思想,使學(xué)生利用知識(shí)之間的聯(lián)系和類比,進(jìn)行合理的猜想和推理.

    加強(qiáng)變式練習(xí),提高猜想能力

    變式訓(xùn)練是有效拓展學(xué)生思維的方法,教師只有進(jìn)行大膽的思維訓(xùn)練,才能讓學(xué)生大膽質(zhì)疑和猜想,提高猜想能力.

    案例4

    原題:如圖6,以△ABC的兩條邊AB和AC為邊,向外作正三角形ABD和ACE.請(qǐng)證明BE=DC.

    本題是一道并不困難的證明題,如果只是講解這道題,并沒有很好地發(fā)揮它的作用,可以改變已知條件,也可以改變結(jié)論,還可以將圖形與函數(shù)相結(jié)合,讓這道題真正發(fā)揮出它的潛在價(jià)值——一題多變.

    變式1:在已知條件不變的情況下,增加求答問題.

    以△ABC的兩條邊AB和AC為邊,向外作正三角形ABD和正三角形ACE.(1)證明BE=DC. (2)猜想直線CD與直線BE的夾角有什么特征?

    變式2:增加新的結(jié)論,逆向推導(dǎo)已知條件.

    如圖7,以△ABC的三條邊AB,AC,BC為邊,在BC邊的一側(cè)作等邊三角形BCF、等邊三角形ACE和等邊三角形ABD,請(qǐng)證明四邊形DAEF是平行四邊形.

    猜想:當(dāng)△ABC在什么情況下,四邊形DAEF是矩形?當(dāng)△ABC在什么情況下,四邊形DAEF是菱形?當(dāng)△ABC在什么情況下,四邊形DAEF不存在.

    通過改變已知條件,將試題變成一道幾何綜合題,增加了題目的難度,也需要學(xué)生運(yùn)用綜合思維能力以及分析和邏輯推理能力,在變式練習(xí)的過程中,學(xué)生的猜想能力得到了提高. 猜想是思維的綜合運(yùn)用,在教學(xué)中教師需要鼓勵(lì)學(xué)生大膽思考,對(duì)學(xué)生的想法要多鼓勵(lì)和表揚(yáng),不能直接否定,可以通過引導(dǎo)分析,讓學(xué)生逐漸找到思路. 只有在不斷的訓(xùn)練過程中,學(xué)生的猜想能力才能得到提高.

    總之,猜想可以使學(xué)生鍛煉思維,學(xué)會(huì)類比轉(zhuǎn)化思想,進(jìn)行更加綜合的思考,讓知識(shí)更加深刻;猜想還能增加學(xué)生的自信,培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新意識(shí). 猜想是興趣使然,反過來又能激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣,所以教師要充分利用好猜想,讓它為學(xué)生的學(xué)習(xí)插上飛翔的翅膀,讓學(xué)生飛得更高、更遠(yuǎn).

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