核心素養(yǎng)導(dǎo)向下對一道高考試題的解法探析

福建省南平市高級中學(xué) (353000) 江智如福建省福州第三中學(xué) (350001) 周海娟

1 試題呈現(xiàn)

2 試題分析

本試題語言精煉，邏輯嚴謹，層次分明，逐步推進，重點突出，能夠讓理性深度、知識掌握牢固程度、運算求解嫻熟程度不同的考生得到充分展示．與2019年高考全國I卷理科20題一脈相承，考查函數(shù)零點相關(guān)知識與性質(zhì)，考查考生進一步數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的潛能，體現(xiàn)試題的區(qū)分與選拔功能．本試題以函數(shù)切線和零點知識為背景，引導(dǎo)考生通過數(shù)學(xué)閱讀，靈活運用導(dǎo)數(shù)工具分析試題信息，通過函數(shù)的圖象，建立數(shù)與形的聯(lián)系，構(gòu)建問題的直觀模型[1]，探尋解決問題的思路與方法，綜合考查考生的推理論證能力、運算求解能力、分類討論思想以及數(shù)形結(jié)合思想[2]．本文在核心素養(yǎng)導(dǎo)向指引下，對本試題的解法開展探析．

3 試題解析

3.1 圖象法——感悟數(shù)形結(jié)合，借助函數(shù)圖象，從數(shù)學(xué)抽象到直觀想象

思路分析：分離參數(shù)，借助函數(shù)圖象性質(zhì)，分類討論證明．

x-∞12 -12-12,12 1212,+∞ g'x +0-0+gx ↗14↘-14↗

圖1

綜上，若f(x)有一個絕對值不大于1的零點，則f(x)的所有零點的絕對值都不大于1．

評注：函數(shù)零點是函數(shù)重要性質(zhì)之一，是函數(shù)綜合性質(zhì)的應(yīng)用，運用圖象法求解函數(shù)零點問題，可以把抽象問題直觀法，由形到數(shù)，再以數(shù)釋形[2]，讓數(shù)形結(jié)合思想貫穿整個解題過程．解法1第(Ⅰ)問考查函數(shù)切線的知識，面向大部分考生，考生只需運用導(dǎo)數(shù)的基礎(chǔ)知識就能夠順利求解；第(Ⅱ)問的設(shè)問方式是考生常見的問題，考生可以運用分離參數(shù)法，構(gòu)造函數(shù)g(x)，借助函數(shù)g(x)的圖象，得到參數(shù)c的取值范圍，再對參數(shù)c分類討論，從函數(shù)圖象角度探究問題求解的方法，即“尋找根源，分離參數(shù)，函數(shù)變換，運算求解，化歸解決”[2]，對考生的邏輯推理能力、運算求解能力、數(shù)形結(jié)合思想、綜合應(yīng)用所學(xué)知識分析問題與解決問題的能力都提出了較高的要求，滲透對考生數(shù)學(xué)抽象與直觀想象素養(yǎng)的提升．

3.2 反證法——認清命題本質(zhì)，運用反證法思想，從邏輯推理到直觀想象

思路分析：根據(jù)正難則反思想，考慮運用反證法證明．

評注：反證法是重要的邏輯思想，不僅能嚴格證明命題，對于復(fù)雜抽象的命題結(jié)論，能夠起到事半功倍，畫龍點睛的效果[3]，要求考生正確掌握全稱量詞命題與存在量詞命題的否定[1]．解法2運用反證法證明，將學(xué)科能力考查與學(xué)科素養(yǎng)培養(yǎng)相連接，實現(xiàn)融合知識、能力、價值的綜合測評[4]，體現(xiàn)數(shù)學(xué)思想的嚴謹性與邏輯性．考生使用反證法，結(jié)合導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性與零點的相關(guān)知識與方法求解論證，可以考查分類討論思想、推理論證能力及綜合應(yīng)用數(shù)學(xué)知識的能力，有一定難度，使不同思維水平的考生得到充分展示，考查考生進一步數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的潛能，實現(xiàn)試題的考查目的與選拔功能[5]．

3.3 根式法——因式分解，形成理性思考，運用根式法，從數(shù)學(xué)抽象到數(shù)學(xué)運算

思路分析：由三次多項式性質(zhì)，考慮運用因式分解法證明．

評注:解法3是由福建省仙游金石中學(xué)的林琳[6]提供，從多項式因式分解角度入手，不采用導(dǎo)數(shù)方法證明，打破高考函數(shù)壓軸題的常規(guī)解題思路，把命題轉(zhuǎn)化為等價不等式組，利用分析法證明，執(zhí)果索因．解法技巧性強，妙不可言，體現(xiàn)解題者扎實的數(shù)學(xué)基本能力與數(shù)學(xué)運算功底，緊扣《課程標準(2017年版)》[1]與《高考評價體系》[4]思想和理念，注重考生關(guān)鍵能力和學(xué)科必備知識的培養(yǎng)，對于數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)和數(shù)學(xué)教學(xué)具有很好的引導(dǎo)作用，有利于提高考生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的興趣，挖掘考生數(shù)學(xué)繼續(xù)學(xué)習(xí)的潛能，促進考生數(shù)學(xué)學(xué)科綜合素養(yǎng)的提升．

4 解法啟示

波利亞(Polya)認為，中學(xué)數(shù)學(xué)教育的根本目的是“教會學(xué)生思考”．“教會學(xué)生思考”意味著數(shù)學(xué)教師不只是傳授知識，還應(yīng)努力發(fā)展學(xué)生運用所學(xué)知識的能力，應(yīng)該強調(diào)技能、技巧、有益的思考方式和理想的思維習(xí)慣．教師在教學(xué)時，要遵循學(xué)習(xí)過程的三個原則：主動學(xué)習(xí)，最佳動機，循序漸進[7]．本試題解法多樣，試題已知條件的設(shè)計符合考生的學(xué)習(xí)實際，給考生提供了多種分析問題和解決問題的思路，引導(dǎo)考生通過有效的數(shù)學(xué)閱讀，利用直觀思維抓住問題的本質(zhì)，在剖析問題本質(zhì)的基礎(chǔ)上，追求簡潔的解題方法，力求解法來源于教材和已學(xué)知識，又高于已有知識，體現(xiàn)試題的區(qū)分與選拔功能．在日常的教學(xué)實踐中，教師應(yīng)加強邏輯推理能力和數(shù)形結(jié)合思想的訓(xùn)練，設(shè)置有效的“精致練習(xí)”[8]，培養(yǎng)學(xué)生獨立思考的習(xí)慣，注重學(xué)科能力和素養(yǎng)的提升，促進教、學(xué)、考的有機統(tǒng)一，助力學(xué)生的全面發(fā)展[4]，讓學(xué)生在“潤物細無聲”中學(xué)會應(yīng)用數(shù)學(xué)思想與方法解決實際問題[9]．