證明絕對值不等式的八個(gè)推理策略

江蘇省金湖縣第二中學(xué) (211600) 梁加林

含絕對值的不等式是一個(gè)綜合性問題，而其與不等式相結(jié)合的問題是高考和其他選拔性考試中加大區(qū)分度的重要選擇內(nèi)容之一，其求解過程需要綜合考慮，在用好絕對值不等式的性質(zhì)的同時(shí)，需要考察具體題目的特點(diǎn)，研究出題者的考試意圖和目的，制定合理可行的富有特色的將它方案．本文從如何分析題目、解決具體問題的角度出發(fā)，介紹八種常見的推理策略，希望給讀者朋友一點(diǎn)啟發(fā)．

一、分析推理

在一些相對復(fù)雜的不等式問題的推理過程中，經(jīng)常采用“由果索因”的手段，即從結(jié)論出發(fā)步步逆推，直到找到能使結(jié)論成立的理論依據(jù)，這樣也就完成了題目證明的過程．

例1 已知函數(shù)f(x)=|x+1|，若|a|>1,|b|>1，求證：f(ab)>f(a)-f(-b).

證明：因?yàn)閒(a)-f(-b)=|a+1|-|-b+1|≤|a+1-(-b+1)|=|a+b|，所以要證f(ab)>f(a)-f(-b)，只需證|ab+1|>|a+b|，即證|ab+1|2>|a+b|2，即證a2b2+2ab+1>a2+2ab+b2，即證a2b2-a2-b2+1>0，即證(a2-1)(b2-1)>0.因?yàn)閨a|>1，|b|>1，所以a2>1，b2>1，所以(a2-1)(b2-1)>0成立，所以原不等式成立.

評注：由于要證的不等式中含有絕對值符合，比較復(fù)雜，直接用綜合推理不太順暢，所以采用了分析法.一般的，如果含有分式、根式、絕對值等問題采用分析法效果是明顯的．

二、活用公式

利用絕對值不等式|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b|,進(jìn)行“放大”或“縮小”是解決與絕對值相關(guān)的不等問題最常用的思路．

例2 已知f(x)=ax2+bx+c對于一切實(shí)數(shù)x∈[-1，1]都有|f(x)|≤1，證明對于一切x∈[-1，1]都有|2ax+b|≤4．

解析：從|f(x)|≤1到|2ax+b|≤4需通過一些特殊的函數(shù)值來建立不等關(guān)系，如f(0),f(-1),f(1)等，然后用絕對值不等式來證明．依題意可知|f(0)|≤1，|f(-1)|≤1，|f(1)|≤1，即|c|≤1，|a+b+c|≤1，|a-b+c|≤1,則|2a+2c|≤|a+b+c|+|a-b+c|≤2,即|a+c|≤1,所以|2a+b|=|(a+b+c)+(a+c)-2c|≤|a+b+c|+|a+c|+|2c|≤4, 且|2a-b|=|(a-b+c)+(a+c)-2c|≤|a-b+c|+|a+c|+|2c|≤4,又當(dāng)x∈[-1,1]時(shí), |2ax+b|≤{|2a+b|,|2a-b|}，所以|2ax+b|≤4．

評注：在“放大”或“縮小”的過程中，其關(guān)鍵是合理的配湊，就是將需要證明的結(jié)論通過適當(dāng)?shù)呐錅惙纸獬膳c已知條件相關(guān)的不等式．本題中利用兩次“放大”后達(dá)到了解題目的，要注意在“放大”或“縮小”時(shí)必須保持不等號(hào)方向一致．

三、及時(shí)消參

如若所給的條件式中只含有一個(gè)參數(shù)，并且也已知這個(gè)參數(shù)的范圍，可直接運(yùn)用絕對值不等式的性質(zhì)進(jìn)行放縮，消去參數(shù)，達(dá)到解題目的．

評注：在解題中抓住了|a|≤1這個(gè)關(guān)鍵條件，通過分離參數(shù)再運(yùn)用絕對值不等式的性質(zhì)進(jìn)行放縮處理，消去了參數(shù)a，這是為后續(xù)的解題掃清了障礙．

四、巧取特值

在已知的函數(shù)式中，若含有字母系數(shù)，其中取特殊值是一個(gè)重要的解題手段，由此可顯露出所求不等式中有關(guān)部分的內(nèi)在聯(lián)系，從而確定可行的解題方案．

例4 已知a,b,c∈R, 若已知函數(shù)f(x)=ax2+bx+c,g(x)=ax+b, 當(dāng)x∈[-1,1]時(shí)，有|f(x)|≤1成立．(1)證明：|c|≤1；(2)當(dāng)x∈[-1,1]時(shí)，求證：|g(x)|≤2．

證明：(1)由于x∈[-1,1]時(shí)，|f(x)|≤1, 而0∈[-1,1]，則必有|f(0)|=|c|≤1．

(2)由于g(x)=ax+b為單調(diào)函數(shù), 其圖像是一條直線，要證|g(x)|≤2, 只須證|g(±1)|≤2,由|xg(x)|=|ax2+bx|=|f(x)-c|≤|f(x)|+|c|≤1+1=2, 取x=±1時(shí), 有|g(±1)|≤2，故必有|g(x)|≤2成立．

評注：本題中參數(shù)多，含有兩個(gè)函數(shù)式，要完成題目的證明首先充分挖掘了一次函數(shù)的有關(guān)性質(zhì)，利用特殊值將待證式進(jìn)行簡化；然后再挖掘兩個(gè)函數(shù)之間的特殊關(guān)系，并巧妙地合理配湊，使整個(gè)證題過程變得順暢自如．

五、重新組合

在給定的定義域內(nèi)，通過取特殊值，建立含參數(shù)的等式，然后以消去參數(shù)為目的進(jìn)行有目標(biāo)的重新組合，再運(yùn)用絕對值不等式的性質(zhì)進(jìn)行放縮處理，達(dá)到解題的目的．

評注：本題中的結(jié)論與一個(gè)常數(shù)有關(guān)，那么如何消去題目中的參數(shù)就是解題目標(biāo)，利用給出的條件先表示出含參數(shù)等式，通過有目的地配湊，再由不等式性質(zhì)進(jìn)行整體處理，達(dá)到證題目的，這些都是證明含絕對值的不等式常用手段，應(yīng)該得到理解和重視．

六、引入?yún)?shù)

如果在用拼湊組合消去系數(shù)時(shí)，遇到了困難，可通過引入新參數(shù)，然后再運(yùn)用待定系數(shù)法求出這個(gè)參數(shù)，建立有關(guān)的等式．

例6 設(shè)函數(shù)f(x)=ax2+bx+c對于一切x∈[-1,1]都有|f(x)|≤1，求證：對于一切x∈[-1,1]都有|3ax+b|≤6．

證明：設(shè)g(x)=3ax+b，g(1)=mf(1)+nf(-1)+kf(0)，則3a+b=m(a+b+c)+n(a-b+c)+kc=(m+n)a+(m-n)b+(m+n+k)c，通過比較多項(xiàng)式的系數(shù)可知：m+n=3且m-n=1且m+n+k=0；解由此三式聯(lián)立所得方程組得：m=2；n=1；k=-3；即g(1)=2f(1)+f(-1)-3f(0)．又對于一切x∈[-1,1]都有|f(x)|≤1，則|f(1)|≤1；|f(-1)|≤1；|f(0)|≤1；故而|g(1)|=|2f(1)+f(-1)-3f(0)|≤2|f(1)|+|f(-1)|+3|f(0)|≤2+1+3=6．同理可證|g(-1)|≤6，由一次函數(shù)的性質(zhì)可知|g(x)|≤6，即|3ax+b|≤6．

評注：待定系數(shù)法是解決多項(xiàng)式“恒等”問題的有力工具，在本證題中比較恰當(dāng)?shù)厥褂昧舜朔?，給人有打破常規(guī)、耳目一新的感覺，降低了解題的難度．

七、反解系數(shù)

如若題目中欲證明與系數(shù)相關(guān)的不等式，可通過取特殊值將所求系數(shù)用關(guān)于特殊的函數(shù)值表示出來，然后再運(yùn)用不等式進(jìn)行放縮推理．

例7 若f(x)=ax2+bx+c(a,b∈R)在區(qū)間[0,1]上恒有|f(x)|≤1，求證：|a|+|b|+|c|可能的最大值為17．

八、抓住性質(zhì)

對于二次函數(shù)問題，二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)是解決問題的有力武器，及時(shí)地加以運(yùn)用，可簡化解題過程，提高解題效率.

評注：在解決本題第(1) (2)問時(shí)，及時(shí)的運(yùn)用了二次函數(shù)的圖象及性質(zhì)，再結(jié)合已知的絕對值不等式的條件，運(yùn)用絕對值的意義進(jìn)行轉(zhuǎn)化，這樣就建立了相關(guān)的不等式組，這就是抓住了解題的關(guān)鍵所在，將難點(diǎn)輕松化解了．