直觀想象在函數(shù)試題中的考查探析

福建省漳州第一中學 (363000) 林志展 莊清壽

函數(shù)作為高中數(shù)學課程的四大主線之一，是高考考查的重點.高考對函數(shù)內容的考查，一方面是作為重要的基礎知識，考查學生對今后所必需的重要基礎和工具的掌握程度，同時更重要的是考查學生核心素養(yǎng)的發(fā)展水平，以區(qū)分和選拔學生.利用函數(shù)知識可以深入考查數(shù)學抽象、數(shù)學運算，直觀想象和邏輯推理等數(shù)學核心素養(yǎng).

“直觀想象”在函數(shù)試題中的考查主要途徑是考生能否根據(jù)函數(shù)表達式畫出函數(shù)的圖象，進而根據(jù)圖象直觀推斷函數(shù)的性質，或通過函數(shù)圖象啟發(fā)思路、驗證結論．

1 運用“直觀想象”推斷函數(shù)的性質

高考函數(shù)試題中，往往是給出抽象的函數(shù)解析式，為了使得問題直觀，我們需要作出相應函數(shù)的圖象，從而推斷函數(shù)的性質.常用的作圖方法有三種：(1)直接法(函數(shù)解析式或通過變形后是基本初等函數(shù))；(2)變換法(平移變換、伸縮變換、對稱變換等)；(3)描點法(研究函數(shù)的定義域、周期性、對稱性、單調性、凹凸性、漸近線，進而描出函數(shù)的端點、極值點、零點、凹凸點，連線)．

A．①④ B．②③ C．①②③ D．①③④

圖1

圖2

2 運用“直觀想象”啟發(fā)思路、驗證結論

由于圖象具有形象化、直觀等特點，可以幫助我們明確這道題的解題方向.圖象的直觀性是發(fā)現(xiàn)和提出問題、分析與解決問題的重要手段，是探索和形成思路、進行數(shù)學推理、構建抽象結構的思維基礎．

例3 (2019年全國I卷理第21題)已知函數(shù)f(x)=sinx-ln(1+x)，f′(x)為f(x)的導數(shù)．證明：

綜上，f(x)有且僅有2個零點．

函數(shù)的表示法常用的有解析式和圖象，這兩種表示法各自有優(yōu)缺點，其中一個的缺點又恰好是對方的優(yōu)點，所以經常兩者結合起來，也就是常說的數(shù)形結合，著名數(shù)學家華羅庚曾說過：數(shù)缺形時少直觀，形少數(shù)時難入微；數(shù)形結合百般好，隔離分家萬事休．解題思路的產生更多的源于直覺，源于我們對這道題目的直觀判斷；預期這道題的最終結果，直覺意義往往可以超越邏輯步驟，捷足先登的直達目標，但具體到解答步驟，還是要回到數(shù)學的抽象表達，運用嚴密的數(shù)學推理．