不等式問題中的同構(gòu)變形策略

山東省寧陽復(fù)圣中學(xué) (271400) 張志剛

同構(gòu)，在抽象代數(shù)中指一個(gè)保持結(jié)構(gòu)的雙射,在高中階段則表示結(jié)構(gòu)或形式相同.在很多不等式問題中，經(jīng)過同構(gòu)變形使不等式兩側(cè)呈現(xiàn)相同結(jié)構(gòu)，然后構(gòu)造函數(shù)，結(jié)合復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，將不等式蘊(yùn)含的特征與屬性清晰明朗地呈現(xiàn)出來，可解決求參數(shù)的取值范圍、零點(diǎn)的個(gè)數(shù)、證明不等式等問題，此種解法不妨稱為同構(gòu)法.例如,若F(x)≤0能等價(jià)變形為f[g(x)]≤f[h(x)]，然后利用外層函數(shù)f(x)的單調(diào)性，轉(zhuǎn)化為g(x)≤h(x)或g(x)≥h(x).例如：

(2020年全國Ⅰ卷理科第12題)若2a+log2a=4b+2log4b，則( ).

A.a>2bB.a<2bC.a>b2D.a

分析：由于2a+log2a=4b+2log4b=22b+log2b<22b+log2(2b)，設(shè)f(x)=2x+log2x,則f(a)

策略一：借助移項(xiàng)、四則運(yùn)算等同構(gòu)變形

對(duì)于較為簡單的多項(xiàng)式函數(shù)，可根據(jù)題設(shè)條件，通過移項(xiàng)、四則運(yùn)算等變形，直至不等式兩側(cè)呈現(xiàn)相同的結(jié)構(gòu)，之后引進(jìn)新函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)性解決問題.

例1 (2020年全國Ⅱ卷理科第11題)若2x-2y<3-x-3-y，則( ).

A.ln(y-x+1)>0 B.ln(y-x+1)<0

C.ln|x-y|>0 D.ln|x-y|<0

解：由題意得2x-3-x<2y-3-y.設(shè)f(x)=2x-3-x，則f(x)1，ln(y-x+1)>0.選A.

點(diǎn)評(píng)：例2中通過對(duì)已知不等式變形，使不等式兩邊結(jié)構(gòu)相同，適時(shí)引入函數(shù)g(x)，進(jìn)而將問題轉(zhuǎn)化為不等式g′(x)≥0恒成立問題，通過分離參數(shù)可輕松獲解.

策略二：借助取對(duì)數(shù)運(yùn)算同構(gòu)變形

數(shù)據(jù)處理中，我們經(jīng)常對(duì)原始數(shù)據(jù)取對(duì)數(shù)，然后再作出處理.依據(jù)主要有二，一是通過取對(duì)數(shù)可以大幅壓縮數(shù)據(jù)的絕對(duì)數(shù)值,數(shù)據(jù)更趨平穩(wěn).本質(zhì)上是：當(dāng)x的取值很大時(shí)，對(duì)數(shù)函數(shù)變化速度非常緩慢；二是通過取對(duì)數(shù)降低運(yùn)算的維度.由于logaMn=nlogaM，loga(M·N)=logaM+logaN，a>0，a≠1，M>0,N>0取對(duì)數(shù)后，乘方運(yùn)算轉(zhuǎn)化成了乘法計(jì)算，乘法運(yùn)算則轉(zhuǎn)化成了加法計(jì)算.對(duì)于兩邊均是指數(shù)型不等式，可考慮通過取對(duì)數(shù)，將指數(shù)問題轉(zhuǎn)化為對(duì)數(shù)問題，降低思維難度.

例3 已經(jīng)b>a>e，求證：ab>ba.

策略三 借助恒等式b=alogab代換同構(gòu)變形

由對(duì)數(shù)的概念易知等式alogab=b(a>0，a≠1，b>0)成立，我們常常利用該式簡化計(jì)算.但逆向觀察該式，則有b=alogab，特殊的a=elna，可以發(fā)現(xiàn)冪函數(shù)式可等價(jià)變形為指數(shù)式，必要時(shí)實(shí)施此代換，可將一些結(jié)構(gòu)不良的不等式變形為不等式兩邊相同的結(jié)構(gòu)特征，然后引入新函數(shù)求解.

例4 (2020年新高考全國I卷第21題)已知函數(shù)f(x)=aex-1-lnx+lna.(1) 當(dāng)a=e時(shí),求曲線y=f(x)在點(diǎn)(1，f(1))處的切線與兩坐標(biāo)軸圍成的三角形的面積；(2) 若f(x)≥1，求a的取值范圍.

點(diǎn)評(píng)：本題的難點(diǎn)是將不等式aex-1-lnx+lna≥1進(jìn)行變形，利用恒等式a=elna和x=elnx代換，實(shí)現(xiàn)冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)式之間的相互轉(zhuǎn)化,使不等式變形為更協(xié)調(diào)的elna+x-1+lna+x-1≥elnx+lnx形式，然后構(gòu)造函數(shù)g(x)，利用g(x)的單調(diào)性，將問題簡化為lna+x-1≥lnx恒成立問題.

例5 設(shè)k>0，若存在x>0，使得不等式log2x-k2kx≥0成立，求k的取值范圍.

點(diǎn)評(píng)：利用恒等式x=2log2x，將(log2x)·x≥kx·2kx變形為(log2x)·2log2x≥kx·2kx，此時(shí)不等式兩邊的結(jié)構(gòu)一致，然后引入函數(shù)f(x)=x·2x，利用f(x)在(0，+∞)上單調(diào)遞增得log2x≥kx，通過分離參數(shù)轉(zhuǎn)化為函數(shù)g(x)的最值問題.

然而，同構(gòu)變形技巧性強(qiáng)，需要學(xué)生具備較全面的知識(shí)儲(chǔ)備、較高的關(guān)鍵能力和素養(yǎng)，而這些顯然不是一朝一夕就能輕松練就的.教師要通過典型題目的剖析講評(píng)，結(jié)合題設(shè)條件將被破壞的結(jié)構(gòu)進(jìn)行還原變形，直至不等式同構(gòu)形式，然后選擇構(gòu)造新函數(shù)，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性等性質(zhì)簡化不等式，即將原不等式中蘊(yùn)含的內(nèi)在規(guī)律外顯化，揭示問題的豐富背景和內(nèi)涵，讓學(xué)生在驚訝于同構(gòu)法巨大威力的同時(shí)，又不會(huì)感到其玄妙莫測(cè)和出其不意.通過對(duì)解題過程的思維分析，留住知識(shí)之“根”，方法之“根”，價(jià)值之“根”和本質(zhì)之“根”.