例析多元變量最值問(wèn)題的五種常用方法

江蘇省揚(yáng)中中學(xué) (212200) 張紅玉

含有多元變量求最值問(wèn)題，在各類考試中經(jīng)常出現(xiàn)，由于變量太多，常有混淆視聽、難以下手的感覺(jué)，本文通過(guò)舉例分析，介紹五種常用的解題方法，供讀者朋友參考．

一、適當(dāng)配湊

例1 若a、b、c>0，且a2+ab+ac+bc=4，則2a+b+c的最小值為．

點(diǎn)評(píng)：本題中從表面上看不能直接運(yùn)用基本不等式求最值，通過(guò)挖掘已知條件，對(duì)條件等式和欲求的式子進(jìn)行重新整理，構(gòu)造出可用基本不等式求解式子，化解了問(wèn)題的難點(diǎn)．

點(diǎn)評(píng)：本題若沒(méi)有抓住x+s>0(正項(xiàng))進(jìn)行正確的配湊，而是把x+t當(dāng)著變?cè)?，從而使解題造成混亂得出錯(cuò)解或使后續(xù)解題無(wú)法進(jìn)行下去,容易出現(xiàn)誤判.

二、換元減元

點(diǎn)評(píng)：本解法通過(guò)換元，將三個(gè)元素問(wèn)題變成兩個(gè)元素二次方程問(wèn)題，為后面的配方解題提供了重要的信息和基礎(chǔ)．

例4 已知關(guān)于的實(shí)系數(shù)一元二次不等式的解集為，則的最小值是．

點(diǎn)評(píng)：本題解法中，對(duì)變形后的式子的某個(gè)部分(特殊結(jié)構(gòu))進(jìn)行換元處理，能夠凸現(xiàn)出某些特定的解題形式，可以進(jìn)一步引導(dǎo)、啟發(fā)下面的求解．

三、變形重組

點(diǎn)評(píng)：由于條件式與結(jié)論式之間沒(méi)有直接聯(lián)系，所以需要對(duì)它們進(jìn)行同時(shí)變形，使它們之間能夠建立聯(lián)系，通過(guò)變形后出現(xiàn)了一片光明前景．

點(diǎn)評(píng)：題目中是有多個(gè)式子組成的，需要針對(duì)目標(biāo)進(jìn)行有效的組合，通過(guò)重新分組再同時(shí)運(yùn)用基本不等式達(dá)到了解題目的，但需注意同時(shí)取等號(hào)的條件的滿足．

四、多次放縮

點(diǎn)評(píng)：本題有四個(gè)變量x、y、z、t，且變量間的關(guān)系比較松散，抓住求最小值這一個(gè)目標(biāo)通過(guò)大小關(guān)系和范圍進(jìn)行適當(dāng)?shù)姆趴s，逐步減少了變量的個(gè)數(shù)，為運(yùn)用基本不等式解題掃清了障礙．

五、函數(shù)思想

點(diǎn)評(píng)：題目中的函數(shù)條件非常重要，如何運(yùn)用是成功解題的核心點(diǎn)，本題中給出的條件就是要判斷a+2b與a+2c的正負(fù)號(hào)，必須把握好這一點(diǎn)．

點(diǎn)評(píng)：本題中對(duì)不等式恒成立的條件理解是比較重要的，后續(xù)的替換變形是為尋找運(yùn)用基本不等式解題的結(jié)構(gòu)形式，一些常見(jiàn)的結(jié)構(gòu)模型必須記清楚．