用待定系數(shù)法確定二次函數(shù)表達式

韓衛(wèi)華

我們在學(xué)習(xí)時要不斷小結(jié)，在小結(jié)中繼續(xù)前行。學(xué)習(xí)了二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)后，我們不妨停下來回頭看看，是如何確定二次函數(shù)的表達式的，或者說是如何根據(jù)題目的條件特征，更方便地確定二次函數(shù)表達式的。我們先看下面這個對比表，再通過例題解讀。

例1 已知二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖像經(jīng)過點A（1，5），B（-1，9），C（0，8）。求這個二次函數(shù)的表達式、開口方向、對稱軸和頂點坐標。

【解析】設(shè)二次函數(shù)表達式為y=ax2+bx+c，

根據(jù)題意，得[a+b+c=5，a-b+c=9，c=8，]

解得[a=-1，b=-2，c=8。]

所以二次函數(shù)表達式為y=-x2-2x+8，

因為y=-x2-2x+8=-（x+1）2+9，

所以拋物線開口向下，對稱軸為x=-1，頂點坐標為（-1，9）。

【點評】題目給出的點不是頂點，也不是與x軸的交點，而是任意三點的坐標，因此，我們設(shè)一般式，將三個點的坐標代入，解這個三元一次方程組得出結(jié)果。待定系數(shù)法是求二次函數(shù)表達式最基本的方法，需熟練掌握。

例2 已知拋物線的對稱軸是直線x=1，函數(shù)的最小值是-1，且圖像經(jīng)過點（3，1），求此拋物線的函數(shù)表達式。

【解析】根據(jù)題意知函數(shù)圖像的頂點坐標為（1，-1），所以設(shè)此函數(shù)表達式為y=a（x-1）2-1。

又因為圖像經(jīng)過點（3，1），

所以1=a（3-1）2-1，解得a=[12]，

所以此函數(shù)表達式為y=[12]（x-1）2-1。

【點評】在已知拋物線的頂點坐標（或?qū)ΨQ軸、最值） 和另一條件的情況下，通常選擇設(shè)頂點式，再借助另一條件得到關(guān)于a的一元一次方程。

例3 已知一個二次函數(shù)圖像上部分點的橫坐標x與縱坐標y的對應(yīng)值如下表所示：

[x … -3 -2 -1 0 1 … y … 0 -3 -4 -3 0 … ]

求這個二次函數(shù)的表達式。

【解析】觀察表格中的數(shù)據(jù)，知道二次函數(shù)的圖像與x軸交于（-3，0）、（1，0）兩點，所以設(shè) y=a（x+3）（x-1），將（0，-3）代入，得-3=a×3×（-1），解得a=1，所以這個二次函數(shù)的表達式為y=（x+3）（x-1），即y=x2+2x-3。

【點評】在已知二次函數(shù)圖像與x軸的兩個交點坐標和另一條件時，通常選擇設(shè)交點式，再借助另一條件得到關(guān)于a的一元一次方程。

例4 已知一個二次函數(shù)的圖像經(jīng)過點A（-1，0）、B（0，3）、C（2，3）。求這個二次函數(shù)的表達式。

【解析】觀察給出的三點，發(fā)現(xiàn)B（0，3）、C（2，3）兩點的縱坐標相同，它們關(guān)于直線x=1對稱，所以設(shè) y=ax（x-2）+3，將（-1，0）代入，得0=a×（-1）×（-3）+3，解得a=-1，所以這個二次函數(shù)的表達式為y=-x（x-2）+3，即y=

-x2+2x+3。

【點評】當(dāng)已知二次函數(shù)圖像上兩點的縱坐標相同，為m時，通常選擇設(shè)對稱式，再借助另一條件得到關(guān)于a的一元一次方程。

【總評】二次函數(shù)是中考必考內(nèi)容，壓軸題中常常有它的身影，求二次函數(shù)表達式通常是壓軸題的解題起點，直接影響后續(xù)的解題，因此，掌握求二次函數(shù)的表達式的方法有著非常重要的意義。教材5.3用待定系數(shù)法確定二次函數(shù)表達式，是通過確定二次函數(shù)中待定系數(shù)的值，進而確定二次函數(shù)表達式的一種方法。對此我們要善于根據(jù)題目條件選擇恰當(dāng)?shù)谋磉_式，其選擇原則是：盡可能使表達式中待定系數(shù)的個數(shù)最少，方便易求。

（作者單位：江蘇省江南大學(xué)附屬實驗中學(xué)）

小試牛刀

有一條拋物線，三名學(xué)生分別說出了它的一些性質(zhì)。甲說：對稱軸是直線x=2;乙說：與x軸的兩個交點距離為6;丙說：頂點與x軸的交點圍成的三角形面積等于9。請你寫出滿足上述全部條件的一條拋物線的表達式__________。