用廣義Y-切上圖導(dǎo)數(shù)刻畫集值優(yōu)化ε-Henig真有效元

謝雪軍，余 麗

(宜春學(xué)院 數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，江西 宜春 336000)

近年來(lái)，在線性空間中研究集值優(yōu)化問(wèn)題的最優(yōu)性條件取得了一定的成果[1-3]。另一方面，由于集值優(yōu)化理論逼近解與Ekeland變分原理之間有著密切聯(lián)系，因此各種逼近有效解的概念被相繼引入，文[3]在實(shí)序線性空間中引入了ε-Henig真有效解的概念，并得到了集值優(yōu)化問(wèn)題在ε-Henig真有效意義下的標(biāo)量化定理。

本文借助廣義Y-切上圖導(dǎo)數(shù)的概念，在α-階近似錐-弧連通集值映射假設(shè)下，討論集值優(yōu)化問(wèn)題ε-Henig真有效元的充分和必要最優(yōu)性條件。

1 基本概念

設(shè)X和Y為實(shí)序線性空間，M為Y的任一非空子集，以clM、intM和coneM分別表示M的閉包、內(nèi)部和生成錐，其中，coneM={λm:λ≥0,m∈M}。M稱為是錐，如果αm∈M,?m∈M,α≥0。錐M稱為是凸的，如果M+M?{M}。M稱為是點(diǎn)的，如果M∩(-M)=0。C為Y中非平凡的閉凸點(diǎn)錐。設(shè)F:X→2Y是集值映射，則F的域，圖和上圖分別記為domF,graphF和epiF。

以下設(shè)V?Y是均衡吸收的凸集，滿足0?B+V。記CV(B):=cone(B+V)。

定義1.1[4]集合S?X稱為弧連通集，如果對(duì)于任意的x∈S,z∈S，存在一連續(xù)向量值函數(shù)Hx,z:[0,1]→S，Hx,z稱為弧，使得

Hx,z(0)=x，Hx,z(1)=z。

如果

定義1.2[5]設(shè)S?X是一個(gè)非空弧連通集，F(xiàn):S→2Y為集值映射。稱F為α-階近似C-弧連通集值映射，如果?θ∈intC,α>0，對(duì)每個(gè)x∈S,z∈S，存在一個(gè)弧Hx,z:[0,1]→S，使得

t1+αθ+(1-t)F(x)+tF(z)?F(Hx,z(t))+C,0t1。

?x∈X。

2 最優(yōu)性條件

考慮下面的集值優(yōu)化問(wèn)題

(P)minF(x)

s.t.x∈S，

其中S是X的非空子集，F(xiàn):X→2Y是集值映射。

(1)

(2)

0?B+V，有

(3)

由廣義Y-切上圖導(dǎo)數(shù)的定義得

(4)

由(3),(4)式得?n0∈N，使得

由-intcone(B+V+ε)是錐得

從而

由文獻(xiàn)[7]的定理2.1可知

此與(2)式矛盾，故定理得證。

證 由(1)式及cone(B+V0+ε)是點(diǎn)凸錐知

由引理2.1，有

于是

(6)

易證

(7)

于是有

(8)

由凸集分離定理知存在0≠f∈Y*，使

(9)

即

(10)

由V0=-V0及f(-intcone(B+V0))0，得

f(B)≥f(V0)。

于是

f∈Bst=C+i

(11)