以幾何直觀推動深度學(xué)習(xí)，有效發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)思維

李巧儀

[摘? 要] “幾何直觀”是《小學(xué)數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011）》中提出的十大核心概念之一，幾何直觀可以幫助學(xué)生直觀地理解數(shù)學(xué)，在整個數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中都發(fā)揮著重要作用。文章將從“數(shù)與代數(shù)”“圖形與幾何”“統(tǒng)計(jì)與概率”以及“綜合與應(yīng)用”四個部分舉例說明借助幾何直觀將抽象的數(shù)學(xué)語言與直觀的圖形語言有機(jī)結(jié)合，充分展現(xiàn)問題的本質(zhì)，突破數(shù)學(xué)理解上的難點(diǎn)，從而推動課堂深度學(xué)習(xí)。

[關(guān)鍵詞] 幾何直觀;深度學(xué)習(xí);數(shù)學(xué)思想;數(shù)學(xué)思維

小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容分為數(shù)與代數(shù)、圖形與幾何、統(tǒng)計(jì)與概率以及綜合與實(shí)踐四個部分。對學(xué)生幾何直觀的培養(yǎng)不應(yīng)該只局限于圖形與幾何部分，而應(yīng)該涵蓋所有的數(shù)學(xué)教學(xué)領(lǐng)域。因此在教學(xué)過程中，教師應(yīng)善于發(fā)現(xiàn)適合使用幾何直觀探究的數(shù)學(xué)問題，對學(xué)生做出積極的引導(dǎo)，激發(fā)學(xué)生積極主動地探究知識，推動數(shù)學(xué)課堂深度學(xué)習(xí)。

一、借助幾何直觀感受問題本質(zhì)，在數(shù)與代數(shù)的教學(xué)中發(fā)展數(shù)學(xué)思維

小學(xué)階段的數(shù)與代部分占據(jù)了整個學(xué)段50%的內(nèi)容，因此教師應(yīng)重視引導(dǎo)學(xué)生對該部分知識的分析和理解。利用幾何直觀把抽象的概念和算理以直觀的圖形呈現(xiàn)出來，這樣可以全面、完整地詮釋知識的產(chǎn)生原因、過程和結(jié)果，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的發(fā)展。

例如，在“分?jǐn)?shù)的意義”的教學(xué)中，教學(xué)難點(diǎn)在于認(rèn)識單位“1”，突破把一件物品看成單位“1”的思維定式，能夠把多樣物品看作一個整體，即看作單位“1”。在教學(xué)過程中，教師要求學(xué)生畫圖表示1/4。學(xué)生根據(jù)已有的知識經(jīng)驗(yàn)，很容易就能在練習(xí)本上畫出多種以一個圖形為單位“1”的圖畫，并通過平均分和涂色表示出1/4。也就是說，把一個圖形看成整體，平均分成4份，每份就是整體的1/4。其實(shí)我們可以還把4個相同的圖形看成整體，其中一個小的圖形就是這些圖形的1/4。學(xué)生通過觀察總結(jié)，發(fā)現(xiàn)整體不一定是一個物體。有的學(xué)生也能發(fā)現(xiàn)只要把一些相同的物體平均分成4份，其中的一份就能表示1/4。在這里，借助幾何直觀畫圖分析，把分?jǐn)?shù)的意義非常直觀地呈現(xiàn)出來，也就是把單位“1”平均分成若干份取其中的一份或幾份，可以用分?jǐn)?shù)表示。

分?jǐn)?shù)是如何產(chǎn)生的？問題的實(shí)質(zhì)就是要找準(zhǔn)單位“1”。師生通過反復(fù)地畫圖和分析，使學(xué)生不斷地從“分?jǐn)?shù)的初步認(rèn)識”的舊知識的認(rèn)知延伸到新知識，即把一個物體或一些物體看作單位“1”，從而明白了分?jǐn)?shù)的產(chǎn)生過程和意義。學(xué)生從“畫圖”到“看圖”，既能用圖形表達(dá)自己對1/4的認(rèn)識，又能直觀地感受和認(rèn)識單位“1”，輕松突破課程難點(diǎn)。這個過程培養(yǎng)了學(xué)生的推理思想、數(shù)形結(jié)合思想等，有效促進(jìn)了學(xué)生數(shù)學(xué)思想的發(fā)展。

二、借助幾何直觀探究面積公式，在圖形與幾何的教學(xué)中發(fā)展數(shù)學(xué)思維

圖形與幾何是小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)的重要部分，它對于小學(xué)生的立體空間結(jié)構(gòu)概念的樹立和嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬎季S能力的培養(yǎng)有著非常重要的影響。幾何知識從概念上來說是比較抽象的，但從實(shí)際應(yīng)用上來說，它又是比較具體的。因此，在實(shí)際教學(xué)時(shí)，我們應(yīng)借助幾何直觀，通過真實(shí)、具體、形象的幾何圖形來輔助學(xué)生理解和分析。

例如，在“平行四邊形的面積”中，教師引導(dǎo)學(xué)生借助幾何直觀通過不同的方式探究平行四邊形的面積。

生1：我畫格子時(shí)感受到長方形和平行四邊形都有一組6米的邊，我就在想它們的面積也很可能相等，但是平行四邊形的另一組邊的長度肯定比長方形的寬要長，所以就想辦法找找其他的關(guān)系，結(jié)果我發(fā)現(xiàn)如果以6米的邊為底，所對應(yīng)的高和長方形的寬都是4米。

生2：由于平行四邊形的底和高分別與長方形的長和寬相等，并且它們的面積也相等，所以通過對比，我們得出的結(jié)論是平行四邊形的面積=底×高。

（學(xué)習(xí)小組展示、匯報(bào)。）

生：我們都可以把一個平行四邊形轉(zhuǎn)變成一個面積不變的長方形。轉(zhuǎn)化所得的長方形的長其實(shí)就相當(dāng)于平行四邊形的底，長方形的寬就相當(dāng)于平行四邊形的高。因此，平行四邊形的面積=底×高。

在對平行四邊形的面積的探究過程中，教師引領(lǐng)學(xué)生運(yùn)用幾何直觀把新知識轉(zhuǎn)化為舊知識，不管是通過數(shù)格子得出了長方形與平行四邊形的關(guān)系再推理出平行四邊形的面積公式，還是通過割補(bǔ)法把平行四邊形轉(zhuǎn)化成長方形后經(jīng)過對比得出平行四邊形的面積公式，學(xué)生運(yùn)用幾何直觀探究問題的能力都得到了培養(yǎng)和體現(xiàn)。這樣的教學(xué)過程發(fā)展了學(xué)生的歸納推理思想、轉(zhuǎn)化思想、幾何變換思想等，有效地發(fā)展了學(xué)生的數(shù)學(xué)思維。

三、借助幾何直觀培養(yǎng)統(tǒng)計(jì)思想，在統(tǒng)計(jì)與概率的教學(xué)中發(fā)展數(shù)學(xué)思維

小學(xué)數(shù)學(xué)統(tǒng)計(jì)與概率部分的內(nèi)容，要求學(xué)生在信息化社會的背景下掌握統(tǒng)計(jì)的方法，可以根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖總結(jié)經(jīng)驗(yàn)或做出預(yù)案，培養(yǎng)學(xué)生的統(tǒng)計(jì)思想。因此，在統(tǒng)計(jì)部分需要大量的統(tǒng)計(jì)圖來幫助學(xué)生理解和掌握統(tǒng)計(jì)的知識與技能，感受數(shù)學(xué)與生活的聯(lián)系，調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性并發(fā)展其數(shù)學(xué)思維。

在教學(xué)過程中，教師出示表格并提問：2006至2012年哪一年的參賽隊(duì)伍最多，哪一年的參賽隊(duì)伍最少？（教師出示表格）

生：我可以利用數(shù)據(jù)進(jìn)行比較得出2012年的參賽隊(duì)伍最多，2007年的參賽隊(duì)伍最少。

師：同學(xué)們，如果我把表格中的數(shù)據(jù)用條形統(tǒng)計(jì)圖展示出來，你們覺得怎樣？

生1：我能馬上分辨出參賽隊(duì)伍最多的年份是2012年，參賽隊(duì)伍最少的年份是2007年。

生2：我覺得很方便，我們只需要根據(jù)每個條形圖的高低就能直觀地判斷數(shù)據(jù)的大小。

師：如果我把表格中的數(shù)據(jù)用折線統(tǒng)計(jì)圖展示出來，你們覺得怎樣？

生1：我可以很直觀地發(fā)現(xiàn)參賽隊(duì)伍的數(shù)量在2006年至2007年以及2008年和2009年呈下降趨勢，其他年份都呈上升趨勢。

生2：我還發(fā)現(xiàn)從2009年起參賽隊(duì)伍的數(shù)量一直呈上升趨勢，我估計(jì)2013年參賽隊(duì)伍的數(shù)量應(yīng)該比2012年多。

師：通過統(tǒng)計(jì)圖，我們可以把復(fù)雜的、無序的數(shù)據(jù)整理成一幅幅清晰直觀的統(tǒng)計(jì)圖，這樣可以幫助我們分析問題、總結(jié)規(guī)律、預(yù)測結(jié)果等。

在課程的教學(xué)中，教師讓學(xué)生從利用表格數(shù)據(jù)分析問題到觀察統(tǒng)計(jì)圖分析問題，借助幾何直觀讓學(xué)生感受到統(tǒng)計(jì)圖系統(tǒng)、直觀的優(yōu)點(diǎn)。通過統(tǒng)計(jì)圖，學(xué)生可以更輕易地找出數(shù)據(jù)之間的聯(lián)系，甚至可以聯(lián)想到未展示出來的數(shù)據(jù)。不管是利用條形統(tǒng)計(jì)圖找出數(shù)據(jù)之間的大小關(guān)系還是利用折線統(tǒng)計(jì)圖分析數(shù)據(jù)的變化趨勢，都培養(yǎng)了學(xué)生的統(tǒng)計(jì)思想和數(shù)據(jù)分析的能力，促進(jìn)其數(shù)學(xué)思維的發(fā)展。

四、借助幾何直觀建構(gòu)數(shù)學(xué)模型，在綜合與實(shí)踐的教學(xué)中發(fā)展數(shù)學(xué)思維

課程改革后，小學(xué)數(shù)學(xué)設(shè)置了綜合與實(shí)踐部分，要求學(xué)生以現(xiàn)實(shí)生活為背景，以問題為載體，把數(shù)學(xué)與生活實(shí)際相聯(lián)系，解決生活中的一些特定問題。由于學(xué)生缺乏生活經(jīng)驗(yàn)，難以做到學(xué)科與學(xué)科之間以及生活與生活之間的聯(lián)系，常常無法建構(gòu)出解決一類問題的數(shù)學(xué)模型。在這里，借助幾何直觀就顯得尤為重要，幾何直觀可以把這些抽象的數(shù)學(xué)語言以及陌生的數(shù)學(xué)問題轉(zhuǎn)化成具體而易懂的數(shù)學(xué)圖形，幫助學(xué)生理解問題，從而順利建構(gòu)出對應(yīng)的數(shù)學(xué)模型。

例如，在“植樹問題”一課中，教學(xué)重難點(diǎn)在于學(xué)生能理解棵數(shù)與間隔數(shù)成一一對應(yīng)關(guān)系并建構(gòu)出植樹問題的模型。在教學(xué)過程中，教師創(chuàng)設(shè)問題：在長100米的馬路的一邊栽樹，每5米栽一棵，要栽多少棵？

師：畫一畫這100米的馬路到底該如何栽樹？

生1：先在馬路的一端栽上一棵樹，然后空一個間隔，栽上一棵樹，再空一個間隔，栽上一棵樹……就這樣栽完20棵后再補(bǔ)上末端的一棵，所以就要栽21棵樹。

生2：我根據(jù)每5米栽一棵樹，用馬路總長除以間隔距離，可以把馬路平均分成20個間隔，因?yàn)橐豢脴浜竺婢瓦B著一個間隔，所以就種20棵樹，但是在末端不再有對應(yīng)的間隔了，所以只需要加上1棵樹。

列式：100÷5=20（個），棵數(shù)為20+1=21（棵）。

師：通過畫圖我們知道一棵樹后面就連著一個間隔，也就是說棵數(shù)和間隔數(shù)成一一對應(yīng)的關(guān)系。

師：你們能總結(jié)一下怎么求兩端都栽這一類植樹問題的棵數(shù)嗎？

生：間隔數(shù)=馬路總長÷間隔距離;棵數(shù)=間隔數(shù)+1。

在本課程的教學(xué)中，學(xué)生通過畫圖分析，得出棵數(shù)與間隔數(shù)成一一對應(yīng)關(guān)系，這就是植樹問題的核心。在借助幾何直觀分析植樹問題時(shí)，教師善于發(fā)現(xiàn)學(xué)生不同的想法，不斷地凸顯問題本質(zhì)，引導(dǎo)學(xué)生順利地建構(gòu)數(shù)學(xué)模型。這樣的教學(xué)培養(yǎng)了學(xué)生的數(shù)形結(jié)合思想、建模思想、化繁為簡思想等，促進(jìn)了學(xué)生數(shù)學(xué)思維的發(fā)展。

總之，為了使學(xué)生能夠直觀地理解數(shù)學(xué)問題，在借助幾何直觀剖析問題本質(zhì)、突破知識重難點(diǎn)時(shí)，教師應(yīng)更多地指導(dǎo)學(xué)生以自主探究為主要模式，突出學(xué)生的主體地位。在借助幾何直觀探究問題的過程中，學(xué)生必須經(jīng)歷借助畫圖、觀察圖形或圖像、割補(bǔ)圖形等過程，從而把抽象的數(shù)學(xué)語言與直觀的圖形語言相結(jié)合，進(jìn)而通過歸納推理出一類問題的本質(zhì)并建構(gòu)相對應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，達(dá)到輕松突破知識難點(diǎn)，促進(jìn)數(shù)學(xué)思維發(fā)展的教學(xué)效果。