依托課堂主線問題 發(fā)展數(shù)學建模能力

宋艷 杜崗

[摘 要]分析主線問題背景和數(shù)學建模教學現(xiàn)狀，闡述這兩個概念的內(nèi)涵，構(gòu)建主線問題范式與數(shù)學建模框架的聯(lián)系示意圖，闡述兩者融合的特征及意義，結(jié)合教學實踐從三個方面提出以主線問題發(fā)展學生數(shù)學建模能力的實施路徑，即創(chuàng)設主線問題情境，建立模型基礎;依托主線問題探索，經(jīng)歷建模過程;利用主線問題拓展，重視模型應用。

[關鍵詞]主線問題;模型思想;數(shù)學建模

[中圖分類號] G623.5 [文獻標識碼] A [文章編號] 1007-9068（2021）35-0037-04

一、引言：主線問題和數(shù)學建模的提出與思考

（一）關注數(shù)學建模能力

在小學數(shù)學教學中，經(jīng)常會出現(xiàn)這樣的現(xiàn)象：對于簡單的數(shù)學問題，學生一般很快就能找到解題思路，但對于文字較多、語言描述復雜的實際問題，就會有學生出現(xiàn)讀不懂題意、思路不清且無從下手的情況。究其原因，表面上看是學生審題能力薄弱，仔細分析，其實是學生的數(shù)學建模能力薄弱。

《義務教育數(shù)學課程標準（2011年版）》（以下簡稱“課標”）提出了十個核心詞，“模型思想”是其中之一。其實，數(shù)學建模就是構(gòu)建數(shù)學模型，它是提高學生數(shù)學關鍵能力的一個重要方面。一個復雜的數(shù)學問題，去其外衣，取其本質(zhì)，其實就是一個簡單問題或幾個簡單問題的交叉呈現(xiàn)。數(shù)學問題的解決，從根本上說就是一個數(shù)學化的過程，將所要解決的問題進行抽象，挖掘其內(nèi)在本質(zhì)，將生活中的問題數(shù)學化，建立數(shù)學模型，提煉出對應的解題方法。學生的數(shù)學建模能力一般在初高中階段比較受重視，在小學階段提及和研究的并不多。其實，從小培養(yǎng)數(shù)學建模能力能為學生的數(shù)學學習打下堅實的基礎，使學生終身受益，因此教師應在小學階段就重視培養(yǎng)學生的數(shù)學建模能力。

（二）轉(zhuǎn)變課堂教學方式

課標還提出，要重視學生在學習活動中的主體地位。數(shù)學課堂要轉(zhuǎn)變教學方式，以學生為中心，把學生學習的主動性調(diào)動起來，使學生學會學習。主線問題教學方式就是把學生放在主體地位，實行啟發(fā)式教學，引導學生主動學習。主線問題的提出能夠產(chǎn)生各種積極的教學效果，它能為學生提供積極思考的時間，培養(yǎng)學生發(fā)現(xiàn)和提出問題的能力;能為學生提供主動探究的空間，使學生通過動手實踐、自主探索、合作交流等學習方式，培養(yǎng)分析和解決問題的能力;能提高學生的學習意識，有效激發(fā)學生的積累、反思、質(zhì)疑和創(chuàng)新意識，培養(yǎng)學生的數(shù)學關鍵能力，發(fā)展學生的數(shù)學核心素養(yǎng)。

（三）依托主線問題教學

隨著課程改革的大力推進，近年來，教師對在小學階段培養(yǎng)學生數(shù)學建模能力這方面也越來越重視。教學中，如何讓學生樹立模型意識，有效探尋解決問題的方法，提高學生的數(shù)學建模能力呢？結(jié)合自身的教學經(jīng)驗，筆者依托主線問題教學，研究發(fā)展學生數(shù)學建模能力的實踐路徑。主要是以主線問題引領數(shù)學教學，調(diào)動學生學習的積極性，激發(fā)學生的探究欲望，使學生經(jīng)歷數(shù)學建模過程，啟迪數(shù)學思維，培養(yǎng)數(shù)學關鍵能力，推動學生數(shù)學核心素養(yǎng)的培養(yǎng)落地。

二、闡述：主線問題和數(shù)學建模的內(nèi)涵與價值

（一）主線問題和數(shù)學建模的內(nèi)涵

1.主線問題的概念

主線問題是依據(jù)學生認知水平，針對學習內(nèi)容核心進行發(fā)問，直指數(shù)學本質(zhì)、凝聚教學重難點、引領學生進行自主學習、探究學習和合作學習的主要問題。它是課堂的“課眼”，是文本的“文眼”，是引領課堂的重要問題、核心問題和關鍵問題。主線問題教學是為了不教而問，它能夠強調(diào)課堂教學的主要內(nèi)容，厘清課堂教學的邏輯結(jié)構(gòu)，便于教學目標的有效達成。主線問題可以充分發(fā)揮學生的學習主動性，使學生的思維更具開放性。

2.數(shù)學建模的詮釋

課標指出，模型思想的建立是學生體會和理解數(shù)學與外部世界聯(lián)系的基本途徑。數(shù)學模型是用數(shù)學語言概括地或近似地描述現(xiàn)實世界事物的特征、數(shù)量關系和空間形式的一種數(shù)學結(jié)構(gòu)。數(shù)學建模就是建立數(shù)學模型的過程，包括對實際問題進行提煉、抽象、簡化，以及確立、求解、驗證、解釋、應用和拓展數(shù)學模型的過程。

（二）主線問題和數(shù)學建模的聯(lián)系

以主線問題發(fā)展學生的數(shù)學建模能力主要是指在小學數(shù)學教學中設計課堂主線問題，通過主線問題的提出與解決，激發(fā)學生的探究欲望，結(jié)合師生、生生的互動學習，讓學生在經(jīng)歷提煉、抽象、簡化、驗證、應用和拓展等活動過程中，培養(yǎng)自主學習的意識，發(fā)展數(shù)學建模能力。

主線問題教學的一般范式為“問題引領，凸顯目標—動手實踐，自主探究—交流展示，完善認知—鞏固練習，拓展應用—課堂總結(jié)，知識提升”。數(shù)學建模過程為“分析問題—提煉數(shù)學信息—建立模型—求解模型—驗證模型—應用模型”。在課堂教學中，筆者嘗試將兩者進行融合，使兩者相互聯(lián)系、相互影響。具體過程與聯(lián)系如圖1所示：

從圖中可以看出，主線問題引領教學，使學生在實際情境中發(fā)現(xiàn)并提出問題;主線問題啟發(fā)學生主動探索，讓學生在活動的過程中抽象并建立數(shù)學模型;主線問題鼓勵學生交流展示，幫助學生求解驗證模型;主線問題重視鞏固提升，讓學生應用拓展模型。主線問題教學與數(shù)學建模雖是獨立存在的兩個過程，但彼此之間又緊密聯(lián)系，相互影響、相互促進。這既可以提高學生的自主學習意識，又能夠發(fā)展學生的數(shù)學建模能力。

（三）主線問題和數(shù)學建模的價值

1.主線問題具有引領性，幫助學生建立建?；A

課標指出，要增強學生發(fā)現(xiàn)和提出問題的能力、分析和解決問題的能力。主線問題具有引領性，主要表現(xiàn)在能夠促使學生對實際問題進行提煉、抽象和簡化。通過創(chuàng)設良好的學習情境提出主線問題，激發(fā)學生的學習興趣，引領學生由生活走向數(shù)學，在閱讀理解的過程中提煉出數(shù)學元素，在多元條件中抽離出數(shù)學問題，從而培養(yǎng)學生發(fā)現(xiàn)和提出問題的能力，這是培養(yǎng)學生數(shù)學建模能力的基礎。

2.主線問題具有探究性，啟發(fā)學生建立模型結(jié)構(gòu)

建構(gòu)主義理論的核心是以學生為中心，強調(diào)學生對知識的主動探索、主動發(fā)現(xiàn)和對所學知識意義的主動建構(gòu)。主線問題具有探究性，教師會向教學內(nèi)容的核心進行發(fā)問，直指數(shù)學本質(zhì)，突出教學重難點，促使學生主動探究。學生通過觀察、實驗、猜測、計算、推理等活動，對數(shù)學問題進行確立、求解和驗證，建立數(shù)學模型。

3.主線問題具有開放性，促進學生進行模型應用

數(shù)學家弗賴登塔爾指出，數(shù)學來源于現(xiàn)實，也必須扎根于現(xiàn)實，并且應用于現(xiàn)實。數(shù)學學習的主要目的是讓學生運用所學的數(shù)學知識去解決生活中的問題。主線問題具有開放性，學生在歸納總結(jié)數(shù)學問題的基礎上，將解決問題的方法和思路進行拓展，運用數(shù)學模型解釋生活中的現(xiàn)象，對數(shù)學模型進行再認識。學生在反思的過程中，對數(shù)學問題進行解釋、應用和提升，體會數(shù)學模型的價值，增強學好數(shù)學的信心。

三、探索：主線問題和建模能力的實踐與路徑

（一）創(chuàng)設主線問題情境，建立模型基礎

1.聯(lián)系生活素材提出主線問題，豐富數(shù)學模型表象

課標指出，呈現(xiàn)的素材應貼近學生現(xiàn)實。創(chuàng)設主線問題現(xiàn)實情境，讓學生經(jīng)歷從現(xiàn)實生活情境中抽象出數(shù)學知識和方法的過程，豐富模型表象。著名特級教師黃愛華在“認識圓”一課中就充分利用了生活中的素材。課堂上，黃老師出示一張下水道井蓋的圖片，并提出以下問題：

主線問題1：下水道的井蓋為什么是圓的？

主線問題2：為什么井蓋不管怎么放都掉不下去？

主線問題3：為什么車輪是圓的，不是方的？

“下水道的井蓋為什么是圓的？”這個問題引發(fā)了學生的一系列思考。學生根據(jù)黃老師的引領性問題展開想象，帶著好奇心和疑問自然地進入課堂，試著把生活語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學語言，在思考的過程中初步感受圓的特征，建立圓的模型基礎。而后，黃老師提出“為什么井蓋不管怎么放都掉不下去？”“車輪為什么是圓的，不是方的？”主線問題，帶領學生思考與探索圓的本質(zhì)特征，并揭示直徑的概念。學生依據(jù)自己的經(jīng)驗展開研究，體會到數(shù)學模型從生活中來又用于生活，使教學走向深入。

2.選擇典型素材提出主線問題，深入理解數(shù)學模型

數(shù)學模型的建立就是要讓學生體會和理解數(shù)學與外部世界的聯(lián)系。課堂上提供的素材要與需要建立的數(shù)學模型保持高度一致，這樣才有利于學生進行觀察、比較、抽象和概括等活動。以著名特級教師吳正憲老師的“乘法分配律”教學為例，吳老師先后呈現(xiàn)三幅情境圖（如圖2、圖3、圖4），提出以下主線問題：

主線問題1：一共有多少朵花？一共是多少平方米？

主線問題2：一共要鋪多少平方米的瓷磚？

主線問題3：這座大橋全長多少米？

這里的三個素材都具有典型性，這些情境結(jié)構(gòu)與乘法分配律的表達形式高度一致。學生可以在解決實際問題的過程中感受到乘法分配律的存在，積累建立乘法分配律這一模型的直觀形象材料。

3.利用有趣素材提出主線問題，滲透數(shù)學模型思想

教學中，教師應當選擇適合兒童年齡特點且有趣的素材，激發(fā)學生的學習興趣，使他們在有趣的情境中感悟數(shù)學模型。

以“簡單周期”一課的教學為例。

教師出示故事：從前有座山，山里有座廟，廟里有個老和尚，老和尚對小和尚說從前有座山，山里有座廟，廟里有個老和尚，老和尚對小和尚說……

師生齊讀這個故事后，教師提出主線問題1：你們的聲音為什么越來越小了？

生：這個故事有幾句話不斷重復出現(xiàn)，講不完。

教師相機引出周期問題，揭示課題。

教師出示兒歌：一二三四五，上山打老虎，老虎不在家，我們就捉它。

教師出示游戲規(guī)則：8個學生做游戲，全班一起邊唱兒歌邊數(shù)，誰輪到“它”字就被淘汰，進行三輪。

教師提出主線問題2：猜一猜，下一個淘汰的是誰？

學生在一輪輪游戲中認識到周期數(shù)量逐漸減少，并通過口頭計算，猜測哪位同學被淘汰，再用數(shù)的方法來驗證。

兒歌是學生喜歡的素材，教師提供學生感興趣的素材有助于提高學生學習數(shù)學的興趣，加深學生對知識的理解。學生在唱兒歌和做游戲的過程中感受周期現(xiàn)象，加深對周期問題計算方法的理解，感悟模型思想，體會建模過程。

（二）依托主線問題探索，經(jīng)歷建模過程

教師在進行教學時，對于書本中的某些原理、定律、公式，不能只讓學生記住，還要讓學生明白它們是怎么得來的。啟發(fā)學生分析和解決數(shù)學問題，讓學生依托主線問題經(jīng)歷探索的過程，數(shù)學模型才得以有效建立。主線問題教學需要給學生提供足夠的時間和空間，讓學生經(jīng)歷觀察、實驗、猜測、計算、推理、驗證等過程。接下來以蘇教版教材六年級下冊P28～29的“解決問題的策略”教學為例進行探討。

1.主線問題引領學生理解題意，抓住建模起點

培養(yǎng)學生的數(shù)學建模能力，首先要提高學生的閱讀理解能力和數(shù)學能力。主線問題的提出能夠引導學生準確理解題意，有效提取題目中的關鍵數(shù)學信息和把握這些數(shù)學信息之間的聯(lián)系。這是學生解決實際問題的基礎，也是數(shù)學建模的起點。

教師出示問題：全班42人去公園劃船，租10只船正好坐滿。每只大船坐5人，每只小船坐3人。各租了幾只大船和小船？

教師提出主線問題1：仔細讀題，你能找到哪些數(shù)學信息？大船和小船的數(shù)量需要滿足哪些條件？

解決問題的前提是理解題意。教師讓學生從題目中尋找數(shù)學信息，并提出“大船和小船的數(shù)量滿足哪些條件？”這一主線問題，促使學生深入思考，初步感知關鍵信息之間的聯(lián)系，為建立數(shù)學模型奠定基礎。

2.主線問題引導學生主動探索，抽象模型結(jié)構(gòu)

主線問題教學需要培養(yǎng)學生的主動探索的能力，讓學生成為真正的探索者。豐富的活動可以幫助學生深入理解知識，優(yōu)化知識結(jié)構(gòu)，提高抽象和概括能力，培養(yǎng)數(shù)學建模能力。

教師提出主線問題2：你打算怎樣解決這個問題？說說你的想法。

生1：畫圖分析。（如圖5）

生2：列表分析。（如表1）

生3：用假設法分析。（如表2）

師：選擇寫一寫、畫一畫、算一算其中一種方法解答。

學生之前已經(jīng)學過畫圖、列表、列舉、轉(zhuǎn)化、假設、替換等多種解決問題的策略。教師提出主線問題“你打算怎樣解決這個問題？”，讓學生通過動手實踐、自主探索和合作交流等活動分析、解決問題。學生給出多樣的解決問題策略，在自主探索的過程中初步感悟“假設—驗證—調(diào)整”的思考步驟，經(jīng)歷建模過程。

3.主線問題驅(qū)動學生交流完善，求解驗證結(jié)果

主線問題的提出可以驅(qū)動學生交流反思，經(jīng)歷求解驗證模型結(jié)果的過程，完善數(shù)學模型。

教師提出主線問題3：用畫圖、列舉、假設等策略解決這個問題時，有什么相同的地方？

生4：我是先假設，再計算驗證，然后不斷調(diào)整，直到得出答案。

生5：我是先假設，然后列算式得出答案的。（如圖6和圖7）

在學生得到正確答案之后，教師引導學生進行反思，回顧解決問題的思路，梳理策略的應用過程。學生進一步體會到無論運用哪種策略都要經(jīng)歷“先假設（或猜想），再驗證和調(diào)整”這一過程。另外，教學中，也有學生在探索的過程中總結(jié)出列式的方法，比如假設都租大船或都租小船，找出總?cè)藬?shù)的差與大小船限乘的人數(shù)差的聯(lián)系，從而求出大小船只數(shù)。而這正是解決“雞兔同籠”實際問題方法的提煉，學生在不斷嘗試、計算、驗證等過程中建立數(shù)學模型。

（三）利用主線問題拓展，重視模型應用

在學生建立數(shù)學模型之后提出拓展性主線問題，可以引導學生利用模型解決實際問題，幫助學生體會數(shù)學模型的價值，并在解釋和應用數(shù)學模型的過程中，發(fā)展學生用數(shù)學的眼光觀察世界、用數(shù)學的思維解決問題的能力，發(fā)展學生的應用意識。

1.設置鞏固性主線問題，加強數(shù)學模型運用

學生在建立數(shù)學模型后，可以從一個問題的解決，概括總結(jié)出一類問題的解決方法，以加強數(shù)學模型的應用。教學中設置鞏固性主線問題，充分發(fā)揮學生的理解力和想象力，通過列舉幫助學生強化理解數(shù)學模型，感受數(shù)學模型的應用價值。

例如，在認識方程后，可以給學生出示一個方程，如[5x=20]，然后提出主線問題：“這個方程可以表示什么？”學生結(jié)合自己的生活經(jīng)驗，尋找可以與這個方程相匹配的事例進行闡述，這既能讓數(shù)學模型與生活實際聯(lián)系起來，又可以強化經(jīng)歷方程建模的全過程，使學生的思維由算術(shù)思維不斷向代數(shù)思維過渡，培養(yǎng)學生的數(shù)學建模能力，強化數(shù)學模型應用能力。

2.引出拓展性主線問題，促進數(shù)學模型推廣

提出拓展性主線問題，引導學生對已經(jīng)抽象出的數(shù)學模型進行變式，通過分析不同情況之間的聯(lián)系，加深對數(shù)學模型概念的認知，形成網(wǎng)狀知識結(jié)構(gòu)，豐富學生的數(shù)學基本活動經(jīng)驗，促進數(shù)學模型推廣。

例如，“速度×時間=路程”是小學階段的一個基本模型。學生在經(jīng)歷抽象、概括等活動得到數(shù)學模型后，通過改變實際問題推出“路程[÷]速度=時間”“路程[÷時間]=速度”兩個數(shù)量關系式，這是數(shù)學模型的拓展。同時，還可以用得到的數(shù)學模型解釋生活中的一些現(xiàn)象。在練習中，可以提出拓展性主線問題：“打雷時，為什么人們總是先看到閃電，后聽到雷聲呢？”當學生回答“因為光的傳播速度比聲音的快”后，教師可以順勢解釋：“就像賽跑一樣，同樣的路程，速度快的人先跑到終點。因此，我們一般先看到閃電，后聽到雷聲。”學生在變式練習以及拓展應用中進一步感受建立數(shù)學模型的重要性，進而推廣數(shù)學模型的應用。

3.提出反思性主線問題，體會數(shù)學模型價值

數(shù)學模型是從現(xiàn)實原型中抽象出來的數(shù)學結(jié)構(gòu)，在形成具體的數(shù)學模型后，教師要提出反思性主線問題，使學生學會舉一反三、觸類旁通，形成一個整體的認知，為未來學習相關知識做好鋪墊，創(chuàng)造出數(shù)學建模的更高境界。

例如，前面提到的“雞兔同籠”問題，它的數(shù)學模型可以延伸到初中的二元一次方程。教學中，教師向?qū)W生介紹教材中的“你知道嗎”，使學生了解“雞兔同籠”問題是我國古代的數(shù)學名題。教師隨后提出反思性主線問題：“‘雞兔同籠’問題為什么有如此大的魅力？”經(jīng)過討論，學生加深了對“雞兔同籠”問題的認識，進一步認識到“雞兔同籠”問題不是憑空想象的，生活中確實有很多這樣的問題。如汽車和自行車輪子數(shù)的問題、乒乓球單打和雙打人數(shù)的問題、儲錢罐里1角硬幣和5角硬幣數(shù)量的問題、籃球運動員投中3分球和2分球數(shù)量的問題……學生在提出這些問題的過程中舉一反三，進一步經(jīng)歷抽象的過程，為今后學習二元一次方程積累了經(jīng)驗，提高了數(shù)學建模能力。

總之，依托主線問題發(fā)展學生的數(shù)學建模能力不是一朝一夕能夠達成的，它是一個循序漸進的過程，需要教師在平時的課堂教學中一點一滴地滲透。教師可以有目的地深入研究教材，把握教學內(nèi)容核心;有組織地引導學生經(jīng)歷建模過程，提高學生學習的主動性;有意識地拓展學習內(nèi)容，注重數(shù)學模型的應用。

（責編 吳美玲）