非均勻介質(zhì)駐波聲場(chǎng)紋影法成像及其聲速測(cè)量的改善

陳水橋， 程詩卓， 郭 鹍， 陸子毅， 許熠輝

（浙江大學(xué)a.物理學(xué)系；b.竺可楨學(xué)院，杭州310027）

0 引 言

聲場(chǎng)作為一種常見的物理場(chǎng)，由于其不便觀測(cè)、穩(wěn)定性差而在生活中的應(yīng)用相對(duì)較少，且應(yīng)用點(diǎn)往往集中于駐波聲場(chǎng)。為了更加方便地研究駐波聲場(chǎng)的特性，將其可視化無疑是一種直觀且高效的方法［1-2］。紋影法基于聲波與光波的一般作用規(guī)律：聲場(chǎng)介質(zhì)密度隨聲場(chǎng)的發(fā)生而改變，繼而引起折射率的變化。當(dāng)一束光穿過聲場(chǎng)介質(zhì)時(shí)，能夠形成穩(wěn)定的相位光柵，出現(xiàn)相應(yīng)的紋影圖像［3］。與其他方式相比，紋影法具有直接、快速、不破壞聲場(chǎng)的優(yōu)勢(shì)，不僅為駐波聲場(chǎng)靜態(tài)特征的研究提供了一個(gè)更為直觀可感的途徑，其非侵入性更是適用于聲場(chǎng)的動(dòng)態(tài)與連續(xù)性研究。可視化作為一大優(yōu)勢(shì)，將難于測(cè)量的壓力數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)化為易于測(cè)量的光強(qiáng)數(shù)據(jù)，為實(shí)驗(yàn)精度提供了保障，運(yùn)用后期處理技術(shù)，還可使所得結(jié)果更為明顯、美觀，便于進(jìn)一步分析。本實(shí)驗(yàn)利用超聲波駐波聲場(chǎng)的聲輻射壓力在空間中呈周期分布的性質(zhì)，再結(jié)合紋影法，對(duì)非均勻空氣介質(zhì)中的超聲波形成的駐波聲場(chǎng)進(jìn)行成像，并進(jìn)行相關(guān)處理，使得能夠直觀反映出超聲波駐波聲場(chǎng)的某些特性，進(jìn)而更加精準(zhǔn)測(cè)量其波長(zhǎng)以及其他關(guān)聯(lián)數(shù)據(jù)。為使圖像更加形象可視，在MATLAB中對(duì)圖片做灰度直方圖均衡化之后［4］，使得圖像中原來灰度值分布集中的區(qū)域分布到其他區(qū)域，從而使得圖像灰度值整體范圍變大，某些局部灰度細(xì)節(jié)變化可見，從而達(dá)到增強(qiáng)圖像對(duì)比度和清晰度的效果。并在此后進(jìn)一步用圖像處理工具進(jìn)行了加工，再進(jìn)行灰度-顏色映射處理，得到較好偽彩色紋影圖。最后測(cè)量了聲波速度，驗(yàn)證了實(shí)驗(yàn)效果。最后，還用數(shù)理方法分析了儀器系統(tǒng)的靈敏度。

1 基本原理

1.1 駐波聲場(chǎng)形成原理

氣體介質(zhì)中駐波聲場(chǎng)的形成綜合利用了超聲波的波動(dòng)特性與能量特性［5］。如圖1 所示，在聲源對(duì)面設(shè)有反射度良好的反射裝置，設(shè)聲波波長(zhǎng)為λ，L 為生源與反射端距離。由聲源發(fā)出的超聲波經(jīng)反射端反射，反射波與原波頻率相同、傳播方向相反，當(dāng)聲源處與反射端相距L 為λ／2 的整數(shù)倍時(shí)，兩者相干形成穩(wěn)定駐波。

圖1 駐波聲場(chǎng)形成原理圖

另外，由于超聲波的能量特性，超聲波聲場(chǎng)改變了聲源與反射端間的氣體介質(zhì)的密度分布，進(jìn)而形成聲場(chǎng)作用下的輻射壓力。圖1 中輻射壓力為F，M 為一質(zhì)量較小物體，P 是波源發(fā)出的聲波的沿z 軸方向的振幅。

設(shè)兩列相干波的波函數(shù)表達(dá)式為

將兩類波合成為

可見，聲輻射壓力F沿波動(dòng)方向?yàn)橹芷诜植迹?］。由于聲輻射壓力具有回復(fù)力的特性，此時(shí)如果將物體M置于波節(jié)處，當(dāng)樣品偏離平衡位置，就有被拉回原位置的趨勢(shì)，當(dāng)其位置相對(duì)于平衡位置有微小偏移時(shí)，會(huì)在附近做小振幅振動(dòng)，最終在波節(jié)附近實(shí)現(xiàn)物體的懸浮。

1.2 紋影法成像原理

紋影法是一種將光通過相物體引起的相位分布轉(zhuǎn)換為光強(qiáng)分布的方法［7］。如圖2 所示，對(duì)于Z 型透鏡光路，設(shè)通過相物體的入射光為

圖2 紋影法成像原理示意圖

通過相物體引起相位滯后（通常相位滯后很?。杀硎緸?/p>

式中：第1 項(xiàng)代表直射光；后1 項(xiàng)含有φ，它包含了相物體分布的信息，這兩項(xiàng)的相干疊加構(gòu)成了屏幕上相物體的像。由于相物體與周圍介質(zhì)在邊緣具有折射率梯度，如果相物體折射率大，會(huì)使光線向相物體方向偏折，使得其區(qū)域與背景產(chǎn)生照度差異，從而使得相物體像的相位差異轉(zhuǎn)化為照度差異，相物體可見（為方便起見，之后的討論將主要簡(jiǎn)化為幾何光學(xué)）。

1.3 非均勻介質(zhì)中光的傳播原理和偏折角推導(dǎo)

在均勻介質(zhì)中光沿直線傳播，而當(dāng)介質(zhì)中出現(xiàn)湍流、熱對(duì)流等干擾因素時(shí)，會(huì)導(dǎo)致同一透明介質(zhì)的局部折射率n發(fā)生變化，使得光線傳播發(fā)生擾動(dòng)。擾動(dòng)區(qū)域的圖像會(huì)與周圍的圖像形成差異，即可見陰影。

透明介質(zhì)的折射率為

在標(biāo)準(zhǔn)大氣中，對(duì)于可見光，格拉斯通-戴爾常數(shù)k≈0.23 cm3／g［8］。式中：空氣密度ρ 的兩個(gè)量級(jí)變化能引起n的值變化30%，因此若想通過光學(xué)手段觀察密度變化小的氣體，需要非常靈敏的光學(xué)設(shè)備。

忽略光的相干性，簡(jiǎn)化為幾何光學(xué)。取右手直角坐標(biāo)系x，y，z，令z 軸為未受擾動(dòng)時(shí)的光線傳播方向，x、y軸構(gòu)成的平面垂直于z軸，如圖3 所示。接下來證明，光的不均勻性所導(dǎo)致光的折射和彎曲程度與x、y平面內(nèi)各自折射率梯度成正比［9］。

圖3 非均勻介質(zhì)中光傳播的幾何光學(xué)分析圖

假設(shè)紋影光路為在x、y方向上各向同性的二維光路，即沿z 軸對(duì)稱。圖3 中，假設(shè)垂直折射率梯度dn／dy ＜0，且忽略在x、z軸上的折射率梯度變化，認(rèn)為初始時(shí)刻通過z1的是平面波，波陣面垂直于水平光軸z軸。當(dāng)波前通過被測(cè)對(duì)象，即從z1到z2時(shí)，設(shè)不同的微分時(shí)間Δt 對(duì)應(yīng)微分距離Δz，折射的偏折角度為Δε。由于光線始終垂直于波前陣面，通過z1的水平光線同樣有Δε的偏折角。

定義n ＝c0／c，其中本地光速為c，真空光速為c0。由圖3 可知，

不同時(shí)刻Δt有Δt ＝Δz（n／c0），合并得：

當(dāng)Δy→0 時(shí)，方程中n／（n1n2）可以簡(jiǎn)化為1／n。令所有微元趨近于0，可得：

由于ε是非常小的角度，因此可近似為dy／dz，即圖中的斜率。將其代入導(dǎo)數(shù)后，可以得到：

該式揭示了折射梯度大小與折射光線曲率的關(guān)系。由此，在x、y軸方向上，光線的偏折角經(jīng)積分可得

式中：n0為周圍介質(zhì)的折射率。

可以看到，光線的折射取決于折射率梯度，光線總是朝著n值較高的方向彎曲。而對(duì)于氣體而言，光線總是朝著密度ρ較高的地方彎曲。這些非均勻透明介質(zhì)所產(chǎn)生的梯度擾動(dòng)即為紋影。所以，紋影圖像也揭示了偏轉(zhuǎn)角度的存在。

2 儀器系統(tǒng)

本文采用離軸單反射鏡系統(tǒng)，主要包括聲場(chǎng)系統(tǒng)和光學(xué)系統(tǒng)兩大部分。其系統(tǒng)原理示意圖如圖4所示。

圖4 儀器系統(tǒng)示意圖

圖中，聲場(chǎng)系統(tǒng)需要讓兩個(gè)超聲波換能器之間產(chǎn)生駐波聲場(chǎng)［10］。根據(jù)當(dāng)時(shí)的實(shí)驗(yàn)條件（溫度、濕度等），計(jì)算出在該條件下超聲波的理論波長(zhǎng)λ，并預(yù)先將兩個(gè)超聲波換能器的間距調(diào)整為3λ。打開電源后稍微調(diào)整換能器間距使泡沫塑料小球能夠在該聲場(chǎng)中懸浮，由此來檢驗(yàn)駐波聲場(chǎng)的形成。本文應(yīng)用的超聲波發(fā)生器選用科美達(dá)可調(diào)頻率功率超聲波發(fā)生器，能夠產(chǎn)生20 ～40 kHz的高頻信號(hào)，最大功率300 W。超聲波換能器采用28 kHz，60 W的壓電陶瓷。

光學(xué)系統(tǒng)主要由球面反射鏡、狹縫器、刀片和照相機(jī)組成。點(diǎn)光源用LED光源，可連續(xù)調(diào)節(jié)光強(qiáng)。球面反射鏡的鏡面直徑203 mm，焦距800 mm。成像設(shè)備采用佳能EOS 80D 單反相機(jī)。在確認(rèn)駐波聲場(chǎng)的形成后，就對(duì)光路進(jìn)行細(xì)致的調(diào)整以在相機(jī)中觀察到駐波聲場(chǎng)的紋影圖像。方法如下：將點(diǎn)光源與一個(gè)光屏靠在一起，在之前確定的水平面上同時(shí)前后移動(dòng)，找到一個(gè)圖像最清晰、像點(diǎn)最小的位置，即球面鏡的焦點(diǎn)。將點(diǎn)光源固定在焦點(diǎn)附近，用刀片擋掉一定量的光。調(diào)整刀片擋光量（約80% ～90%）、相機(jī)的位置、快門時(shí)間以及ISO以得到盡量大且清晰的紋影圖像。其中球面反射鏡放置在光源的曲率半徑軸上（R ＝2f）。發(fā)散的光束將充滿反射鏡并且以相同的路徑返回，在光源處形成光源的像。通過在光源和圖像光束之間設(shè)置較小的離軸分離，并加入刀口即可構(gòu)建與前一個(gè)紋影系統(tǒng)有相似效果的紋影系統(tǒng)。在焦距很大時(shí)，兩個(gè)紋影系統(tǒng)的測(cè)試區(qū)域可以近似。測(cè)試區(qū)位于接受光源發(fā)散光的反射鏡前，理想情況下，同一光束會(huì)兩次橫穿測(cè)試平面上的點(diǎn)，每次橫穿時(shí)都會(huì)產(chǎn)生一個(gè)偏轉(zhuǎn)角ε。

3 實(shí)驗(yàn)與分析

3.1 圖像的獲取與處理

調(diào)節(jié)相機(jī)參數(shù)，快門時(shí)間1／200 ～1／800，ISO80-160，幀率50，拍攝視頻，截取其中效果較明顯的幀如圖5 所示。然后，在MATLAB中對(duì)圖5 進(jìn)行全局灰度增強(qiáng)和直方圖均衡處理，使得紋影細(xì)節(jié)放大，調(diào)節(jié)效果如圖6 所示。

圖5 相機(jī)拍攝紋影圖

圖6 直方圖均衡處理紋影圖

在Lightroom中調(diào)節(jié)曲線，對(duì)圖6 進(jìn)行對(duì)比度、銳化、亮度調(diào)整，得到圖7 效果圖。再在MATLAB 中對(duì)圖8 作灰度-顏色映射，得到偽彩色圖。

圖7 圖像工具處理紋影圖

圖8 偽彩色紋影圖

3.2 聲速測(cè)量

游標(biāo)卡尺測(cè)量超聲波振子直徑數(shù)據(jù)如表1 所示。

表1 超聲波振子直徑測(cè)量數(shù)據(jù)

所以u(píng)（D）＝0.04 mm，得到振子直徑為D ＝（5.820 ±0.004）cm。

設(shè)超聲波振子直徑對(duì)應(yīng)像素值為Δm，紋影波相鄰兩條彩色條紋間距對(duì)應(yīng)像素值為Δn，其比值為

對(duì)圖10 中多個(gè)條紋坐標(biāo)進(jìn)行測(cè)量，所得數(shù)據(jù)如表2 所示。為配合測(cè)量比值δ 需要，其中Δn 未連續(xù)測(cè)量，而是任意選擇最清楚的條紋測(cè)量。

表2 條紋坐標(biāo)測(cè)量值

又因?yàn)関 ＝λ／T，λ ＝D／δ，T ＝1／f［11-12］，所以推導(dǎo)得聲速測(cè)量公式為

已知超聲波發(fā)生器所用頻率f ＝28.013 kHz，Δ儀＝1 Hz。所以將上述測(cè)量值代入式（9），得到實(shí)驗(yàn)聲速值：

實(shí)驗(yàn)時(shí)室溫為18.4 ℃，根據(jù)文獻(xiàn)計(jì)算得該溫度下聲速理論值為342.431 7 m／s，所以本方法測(cè)量的聲速誤差較小。

3.3 儀器系統(tǒng)靈敏度分析

紋影光學(xué)系統(tǒng)最大的優(yōu)勢(shì)就是其靈敏度。它的輸出圖像為x、y軸的二維圖像，圖像特征由成像的縮放以及灰度對(duì)比決定，靈敏度僅需考慮這兩點(diǎn)［15］。為了更方便討論靈敏度，依然對(duì)Z 型反射鏡系統(tǒng)進(jìn)行分析［13，14］。設(shè)光源照度為B（cd／m2），假定采用的是一個(gè)水平光源狹縫和水平刀口，那么在沒有刀口的情況下，紋影圖像照度

式中：b為光源狹縫的寬度；h為光源狹縫的高度；f1為第1 反射鏡的焦距；放大因子k 為紋影圖像相當(dāng)于測(cè)試區(qū)域的大小比例。［16］

讓刀口阻擋除聚焦的光源像以外的所有光束（刀口成圓孔形），該部分具有高度a。用a 和f1／f2替換光源像的無遮擋實(shí)際高度h，f2為第2 反射鏡的焦距，則式（10）可改寫成

設(shè)ΔE 為照明變化值，是紋影圖像照度E 與其背景照度E0的增益。假定紋影對(duì)象在實(shí)驗(yàn)區(qū)域有ε 的偏折角，y 軸分量εy將有部分光源圖像在垂直刀口平面產(chǎn)生向上偏移距離Δa ＝εyf2，代替式（11）中的a，

則有

得到了測(cè)試區(qū)εy偏折形成的對(duì)應(yīng)圖像點(diǎn)的照度增益。

設(shè)對(duì)比度為C，指圖像點(diǎn)對(duì)于一般紋影照度增益ΔE與紋影照度E的比值，即

設(shè)紋影靈敏度為s，也稱對(duì)比靈敏度，定義為圖像對(duì)比度比折射角度的變化率，即

對(duì)于單反射鏡紋影光路，旁軸近似下，該結(jié)論也類似，第2 反射鏡的焦距等于第1 反射鏡的焦距，即單鏡的焦距。

由此說明，在觀察范圍一定時(shí)，反射鏡的焦距影響成像的靈敏度，因此需要一個(gè)大焦距的凹面鏡。同時(shí)，刀口截止的程度也影響著紋影的對(duì)比度，因此也可以通過提高刀口截止來提高靈敏度。但刀口截止提高時(shí)，測(cè)試區(qū)域邊緣會(huì)產(chǎn)生衍射光線，在刀口平面產(chǎn)生二次衍射，產(chǎn)生模糊效應(yīng)，影響圖像分辨，因此刀口截止不能無限提高。

4 結(jié) 語

通過自組紋影法測(cè)量裝置能夠直觀便捷得到超聲波駐波聲場(chǎng)的一些性質(zhì)，并且通過圖像處理技術(shù)方便了對(duì)數(shù)據(jù)的準(zhǔn)確獲取。本文用光線折射幾何理論證明了光的不均勻性所導(dǎo)致的光的折射和彎曲程度與x、y平面內(nèi)各自折射率梯度成正比。得到的有關(guān)聲場(chǎng)的數(shù)據(jù)和圖形比較清晰，并準(zhǔn)確測(cè)量了聲速值，且與理論值誤差較小。最后分析了影響成像的靈敏度以及對(duì)實(shí)驗(yàn)的各種影響因素。