淺析分類討論思想在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用

楊龍琴

摘要：伴隨新課改的逐漸深化推進，分類討論在高中數(shù)學(xué)解題中得到推廣及運用。分類討論思想是一種具有邏輯性解決數(shù)學(xué)問題的辦法，也是一種數(shù)學(xué)思維，在簡化研究對象、發(fā)展思維層面上起著至關(guān)重要作用。在高中數(shù)學(xué)解題過程中，運用分類討論能夠把數(shù)學(xué)題目所研究的對象進行分解，把復(fù)雜的問題簡單化，降低問題難度，從而幫助高中生發(fā)展數(shù)學(xué)思維。

關(guān)鍵詞：分類討論? 高中數(shù)學(xué)? 解題應(yīng)用

引言

分類討論思想對學(xué)生看待問題的角度起著決定性的影響作用，教師運用分類討論思想時需要在待解決的問題中提取特征點，并聯(lián)系同類問題幫助學(xué)生建立問題的分類標(biāo)準，這是教學(xué)中的重中之重。學(xué)生也可以通過學(xué)習(xí)提取問題特征點并聯(lián)系同類問題，進而更好地理解知識的重難點，從而掌握這一類型問題的解決方法，在遇到不同的數(shù)學(xué)問題時能做到觸類旁通、舉一反三。

一、對分類討論思想的相關(guān)認識

（一）分類討論的原則

一致性原則 問題中給出對象時，分類需要根據(jù)統(tǒng)一標(biāo)準來進行，每劃分一次不能同時使用幾種分類標(biāo)準

相斥性原則 分類后的每一個小項應(yīng)是互不相容的，也就是說，每一個小項間需維持互相排斥關(guān)系，分類之后數(shù)學(xué)元素不可專屬于某一個小項

層次性原則 對高中數(shù)學(xué)對象的分類也是有次數(shù)之分的，可多次劃分或一次劃分。然而多次劃分是將分類的子項還可以再進一步分類，直到不能夠再次進行分類，即所有結(jié)果符合需求

完善性原則 劃分后各類子項的總和需與母項相等，即解決數(shù)學(xué)問題運用分類討論時，步驟需要完善，從而得出正確結(jié)論

（二）分類討論的思想

分類就是將問題按照各自的屬性進行特征點的提取，再結(jié)合數(shù)學(xué)知識中的概念，將不同的問題歸納成多個類型。而為了方便解出一類問題的答案，對問題進行抽象化和簡化，之后再進行分類，這就是數(shù)學(xué)中的分類討論思想。分類討論思想常見的幾種類型主要有數(shù)式分類、函數(shù)分類、三角形分類以及圓的分類等。數(shù)式分類主要是指數(shù)學(xué)課本中出現(xiàn)的公式、特殊數(shù)字以及一些公理和定理，函數(shù)分類是對一些帶有參數(shù)的指數(shù)或?qū)?shù)函數(shù)等進行的分類，三角形和圓的分類主要是對解決和圖形有關(guān)的幾何問題進行的分類。

（三）分類討論的標(biāo)準

分類討論可將分類換作劃分，按照對象的差異特點與相同特點，將其分為不同類的邏輯辦法，而在高中數(shù)學(xué)范圍的劃分是依據(jù)數(shù)學(xué)對象的差異特點與相同特點，同時數(shù)學(xué)對象也分為不同種類。

二、分類討論在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用

（一）在概率中的運用

在解答概率題目時，科學(xué)地運用分類討論思想可有助于高中生較好地處理問題及解答問題。在具體解答概率問題時，高中生需根據(jù)問題實際對其實施分類，掌握問題所屬的概率類型，并在此基礎(chǔ)上再實施分類剖析，而后方可獲得相對答案。在具體解題中，一般采用以下順序加以解答：先要融合問題中給出的條件來確立題目類型，明確其屬于哪種類型題。在明確題目類型后，就可對題中要素加以剖析，在剖析期間便能通過分類討論思想來對題中解答對象變量實施假設(shè)剖析，把存有任何可能性列舉出來，然后逐一實施針對性的剖析討論，最終便可算出正確結(jié)果。

（二）在空間幾何中的運用

課本知識是固定的，但教師的教學(xué)方式是多樣的。最簡單的教學(xué)方式就是傳授知識，將課本知識如數(shù)講述給學(xué)生聽。比如在學(xué)習(xí)《空間幾何體》這一課時，教師直接給出各種幾何體的相關(guān)圖形要求學(xué)生進行記憶，就是最傳統(tǒng)的教學(xué)方法。還可以將教學(xué)內(nèi)容展開，進行分類討論思想滲透。教師可以向?qū)W生展示多個不同形狀的物體，讓學(xué)生畫出自己看到的物體形狀。因為角度不同，學(xué)生看到的物體截面也會不同。這時候教師就可以讓學(xué)生自由討論思考哪些同學(xué)看到的截面是一樣的，看到相同截面的同學(xué)與物體的距離、角度之間又有什么關(guān)系，不同的物體之間又是否會出現(xiàn)相同的截面等問題，幫助學(xué)生在實際問題的解決過程中提高分類討論的能力。這種教學(xué)方法結(jié)合具體的例子啟發(fā)學(xué)生發(fā)散思維，聯(lián)系學(xué)到的數(shù)學(xué)知識和利用分類討論思想尋找問題的解決辦法，在教授課堂知識的同時鍛煉了學(xué)生的抽象分類能力和交流討論能力，幫助學(xué)生形成了一種良好的數(shù)學(xué)思維。

（三）在數(shù)列中的運用

在數(shù)列教學(xué)中，特別是在核算數(shù)列的等比數(shù)列求和題及周期性題的層面，用分類討論思想進行處理的效果最好。運用該思想解題可把數(shù)列中存在的多種可能進行單獨剖析，從而簡化該題分解過程，降低答題難度。例如：等比數(shù)列{an}公比為b，其前n項和Sn>0（n=1，2，3，…），那么b的真實值范圍是什么？在處理這道題時，先要考慮將題中所有條件實施細化分析，在剖析后能發(fā)掘一個主要元素：題中b的值不確定，b能取任何值。此種狀況下第一需考慮的是：什么是等比數(shù)列求和公式？依據(jù)課堂知識得出，等比數(shù)列求和公式是：b取值是不是1會對所解答案產(chǎn)生影響，所以在具體解答中，可按照分類討論思想來討論b的，分別在b=1或者b≠1兩種狀態(tài)下進行分析，在一一討論后最后獲得b的取值范圍。

（四）在函數(shù)與導(dǎo)數(shù)中的運用

學(xué)習(xí)《基本初等函數(shù)》這一單元時，在教授學(xué)生基礎(chǔ)的函數(shù)知識后，教師可以給學(xué)生提供多個函數(shù)，讓學(xué)生尋找這些函數(shù)之間的相同點和不同點并自行分類。自行分類后，引導(dǎo)學(xué)生進行小組討論，學(xué)生在交流過程中加深了對分類思想的理解，也在實際中體會到數(shù)學(xué)分類討論的樂趣，從而能更好地理解課堂所學(xué)內(nèi)容。這些都需要教師提前對教學(xué)內(nèi)容進行思考，為學(xué)生提供更多可供分析討論的分類思想具體案例，幫助學(xué)生進行反復(fù)訓(xùn)練。因此在高中課堂教學(xué)活動中，教師需要引領(lǐng)學(xué)生對教材內(nèi)容進行課外擴展，不僅要學(xué)習(xí)課本知識，更要補充更多學(xué)習(xí)案例，達到在反復(fù)訓(xùn)練中加深學(xué)生對分類討論思想理解的效果。

三、分類討論思想在高中數(shù)學(xué)中的最重要作用

使高中生學(xué)會全方位考慮問題并活躍思維，學(xué)生在應(yīng)試學(xué)習(xí)與考試中遇到煩瑣問題時才不至于束手無策，在處理問題時能清楚方法，思維縝密，將來面對考試時內(nèi)心也會穩(wěn)定，得心應(yīng)手。雖然基礎(chǔ)知識占據(jù)大多數(shù)，但對數(shù)學(xué)思維掌握是不可忽略的，它可令高中生從被動學(xué)習(xí)轉(zhuǎn)化成自主思考，這也是學(xué)習(xí)模式的一大改變，讓高中生在考試中占據(jù)有利優(yōu)勢。分類討論思想能促使師生間友好交流學(xué)習(xí)，而思維培養(yǎng)更需高中生自身不斷的努力，逐漸在實踐中積累符合自身答疑解惑的經(jīng)驗。

結(jié)束語

綜上所述，在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中對進行學(xué)生分類討論思想的培養(yǎng)是探索當(dāng)前高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)改革的必經(jīng)之路。教師只有在高中數(shù)學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生的分類討論能力，才能幫助學(xué)生在以后的學(xué)習(xí)過程中更快更好地學(xué)習(xí)新知識。

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責(zé)任編輯：黃大燦