培養(yǎng)學生規(guī)范數(shù)學答題的途徑分析①

孫居國

(南京師范大學附屬中學 210003)

不少一線的高中數(shù)學老師，總是抱怨學生的解題不規(guī)范.學生自己也很苦惱，很多明明會做的題目在考試中總是做不對或做不全對，特別是在每年的高考后，絕大部分學生的實際數(shù)學得分比自己估分少了不少，也就是說高中數(shù)學解題不規(guī)范的現(xiàn)象普通存在.針對這一現(xiàn)象，本文談談培養(yǎng)學生規(guī)范數(shù)學答題的途徑.

1 理解答題的教育價值，樹立學生規(guī)范數(shù)學答題的觀念

能夠用精確、簡約的數(shù)學語言去表達自己的想法和思考過程是數(shù)學素養(yǎng)的特征之一.而高中數(shù)學答題的本質也正是如此.而在解答題的過程中，往往大部分學生重視的是“對數(shù)學題的想法和思考”，這是片面的，而答題的核心教育價值是“能夠用精確、簡約的數(shù)學語言去表達的過程”.

從這一教育價值出發(fā)，要答好題，須要對“想法和思考”進行再加工，因此答題是一個比解題更加全面的過程.要求學生的規(guī)范解題，也就是提升學生的數(shù)學綜合能力和素養(yǎng)的過程.

解數(shù)學題是要遵循嚴格的規(guī)則，從確定的條件出發(fā)，得出正確的結論.解答數(shù)學題是一個創(chuàng)作的過程，創(chuàng)作的一個重要特征是“構思”，不光有正確的思想，還要有完整的結構，通俗易懂.因此，要答好題，在思想上要重視，在方法上要引導，在實踐中要嚴格，通過長時間的堅持從而形成規(guī)范的答題習慣.

規(guī)范答題要求邏輯推理嚴密完整，三段論中“大前提，小前提，結論”缺一不可，在體現(xiàn)數(shù)學思維的關鍵處給出充分的關注，要保證解題和答題的過程中科學性與藝術性的統(tǒng)一，體現(xiàn)出專業(yè)化的水平.例在很多情況下，我們尋找解題思路用的是分析法，而書寫答題過程則用的是綜合法，要提高規(guī)范的意識，目標明確，反復實踐，形成習慣，反思總結，螺旋上升，達到自動化的水平.通過適量的解題實踐積累解答題的經(jīng)驗，形成規(guī)范答題的感覺和相對成熟的模式.

要讓學生充分認識到答題過程是對“想法和思考”的再加工，答題是需要學生明白為什么這樣答題的，是要老師示范、引導、鞭策、激勵的，不是全靠學生自然形成的，也就是說答題規(guī)范還要需要通過教學活動來達成的，要運用這一價值觀念作為答題教學的重要依據(jù).

2 提升數(shù)學的認知水平，培養(yǎng)學生規(guī)范數(shù)學答題的能力

一個數(shù)學題目總是承載著數(shù)學的知識和方法，體現(xiàn)著數(shù)學的本質和思想.通過解題加深對高中數(shù)學中的理解，也就是理解數(shù)學的概念、知識、方法.從而提升數(shù)學認知水平.如果學生的數(shù)學知識不完善，概念定理規(guī)則不準確，則解題就不可能規(guī)范.因此通過提升數(shù)學認知水平，是培養(yǎng)學生規(guī)范數(shù)學答題的能力的重要途徑之一.

例如，一次高三復習課上遇到這樣問題：

已知圓C：(x-1)2+(y-2)2=9，直線l：y=kx+5.若直線l與圓C交于A，B兩點，求△ABC面積的最大值.

解法一：設∠ACB=θ，

解法二：設圓心C到直線l的距離為d，

解法三：設圓心C到直線l的距離為d，

因為直線與圓有兩個交點，

從表面上看，這幾種解法答案是一樣的，好像全是正確的，前2種解法比較簡單，解法三特別麻煩，那么怎樣評價這幾種解法呢？問題的焦點是：是不是一定要說“當k為何值時”，△ABC面積的最大值為多少？作為教師我們怎么評判？不妨問一下：什么叫最大值？它的定義是什么？

回到問題的本源，獲得解決問題的依據(jù)，提升學生的數(shù)學認知水平，從而提高學生的規(guī)范數(shù)學答題的能力.

蘇教版必修一中如是說：

一般地，設y=f(x)的定義域為A. 如果存在x0∈A，使得對于任意的x∈A，都有f(x)≤f(x0)，那么稱f(x0)為y=f(x)的最大值，記為ymax=f(x0)；如果存在x0∈A，使得對于任意的x∈A，都有f(x)≥f(x0)，那么稱f(x0)為y=f(x)的最小值，記為ymin=f(x0) .

接著課本例題是求下列函數(shù)的最小值：

(1)y=x2-2x；

解：(1)因為y=x2-2x=(x-1)2-1≥-1，且當x=1時y=-1，所以函數(shù)取得最小值-1，即ymin=-1.

有不少教師認為，函數(shù)的最大值和最小值，不像函數(shù)單調性、奇偶性定義那樣抽象，需要分析過程，詳細講解，反思練習，而只要從字面理解即可，而對于此例題，則是更簡單，只要學生口答一下結果就行了，有的甚至“滑過”不講，直接講解高難度的例題.其實這種做法是對數(shù)學理解不夠，更談不上提高學生的數(shù)學認識水平.

此例題是在定義了函數(shù)最大(小)值的定義后給出的，目的不是要結果，而是通過此題，加深對概念定義準確、全面的理解，而不是直觀字面上的理解，也是學生要用數(shù)學的定義等規(guī)則去規(guī)范邏輯化的解題，也說是說一個新的數(shù)學對象出現(xiàn)后，通常通過特殊化的例子達到對概念的理解.定義中最大值或最小值為f(x0)，也就是要完整說清楚：當x=x0，函數(shù)f(x)取得最大值或最小值為f(x0)，不但定義中是這樣的，并且例題中也是給出了示范.

因此必須寫 “當k為何值時”，△ABC面積的最大值為多少.這是數(shù)學定義的要求.高中數(shù)學概念是有限的，而數(shù)學題目是無限的，我們可以減少一點題目而多重視一點概念，使得學生對數(shù)學概念定義掌握得更加深刻、精確、全面，重視課本中的概念定義和例題、習題.讓學生自覺地用定義去思考問題，從而提升了學生的數(shù)學認知水平，并成為以后解題的范例，也提高了學生的規(guī)范數(shù)學答題的能力.

3 揭示解題的思維過程，優(yōu)化學生規(guī)范數(shù)學答題的結構

一個數(shù)學題的解答過程，要有良好的規(guī)范的答題結構.從其形態(tài)來看是一種外顯的、靜態(tài)的、物化了的東西，而背后隱藏了知識聯(lián)系的動態(tài)思維過程.在解題教學過程中，要不斷再現(xiàn)隱藏在題目背后的知識的內(nèi)在的聯(lián)系，在此基礎上建構合理的解題結構.如果解題教學脫離學生實際，忽視過程，被告知獲得只是灌輸加記憶，沒有思維價值可言，更不能形成規(guī)范的答題能力.

解題不能脫離學生的思維起點，不能置學生的心理、思維過程于不顧，強制學生按照教師提出的方法、途徑去思考和解決問題，而是要充分暴露學生解題的思維過程.學生經(jīng)歷了曲折的思維過程，才能獲得過程的體驗，這種獲得與那種被告知結果的獲得有本質的不同，這種獲得是思維建構的過程，學生的思維獲得了發(fā)展，解答題的結構自然得到優(yōu)化.

例如，一個關于向量命題的證明的教學過程如下：

求證：A，B，C三點共線的充要條件是λ+μ=1．

學生的解答如下：

先證充分性.若λ+μ=1，

再證必要性．若A，B，C三點共線，

所以t(λ-1) =1，tμ= -1，

所以t(λ-1+μ) = 0，所以λ+μ=1.

所以A，B，C三點共線的充要條件是λ+μ=1.

從表象上來看，這一證明很規(guī)范，該生在測試中獲得滿分，估計是老師在批閱試題時，忽視了過程，僅看了結果，沒有深入了解學生解題的思維過程，特別是其中的一些細節(jié)，以致許多答題不規(guī)范的現(xiàn)象被掩蓋了.

不妨將解題過程在黑板上或電子屏幕上呈現(xiàn)出來，讓學生反復觀察，認真體會每一步過程，師生共同探討如下：

這一步是不精確的.

向量共線定理：如果有一個實數(shù)λ，使得b=λa(a≠0)，那么b與a是共線向量；反之，b與a(a≠0)是共線向量，那么有且僅有一個實數(shù)λ，使b=λa．

向量共線包括線段平行與共線，與三點共線是不一樣的，因此須加條件線段AC，AB共端點.

所以t(λ-1) =1，tμ= -1

為什么？

通過上述的過程分析，說明學生由于對向量基本定理和向量共線定理的掌握不完整，因而解題不規(guī)范，通過師生的共同探討過程，學生加深了對向量共線定理，平面向量基本定理等內(nèi)容的認識，使得解題的結構獲得優(yōu)化.然后師生再共同討論：本題的解題結構是怎樣的？先證充分性還是必要性？有哪此關鍵步驟？每一步要注意什么問題？

教師在課堂上往往是解題方法、解題過程三言兩語一帶而過，不給學生理解的時間和表達自己理解的機會，也不組織學生討論，而是讓學生花費大量的時間進行重復性的強化訓練，學生就失去了大量的提升規(guī)范答題的機會.上述師生答題過程的展示，反省解題的過程和答題的規(guī)范，可以使學生對自己的錯誤觀念進行深刻的理性認識，在剖析產(chǎn)生錯誤的前因后果的基礎上，產(chǎn)生正確的認識，從而實現(xiàn)認識上的知其然又知其所以然.

4 呈現(xiàn)豐富的示范例證，啟迪學生規(guī)范數(shù)學答題的智慧

對學生解答題的呈現(xiàn)是課堂教學的重要資源，是書本上所沒有的，是第一手的資料，是豐富的寶藏.因為教學內(nèi)容是來源于學生的思考成果，更接近學生實際，更容易被學生接受.這樣，學生解題的視野更寬廣，思維會更加深刻，得到的結論更為豐富而嚴謹.因此，學生獲得的不只是一個公式、一種方法、一個結論，而是一種主動學習、深入研究的能力，一種多向思維、合作交流的能力，一種敢于質疑、勇于創(chuàng)新的科學研究精神，從中啟迪學生規(guī)范數(shù)學答題的智慧.

例如在一次練習中，同學對如下問題的三種解法展示如下：

當00，

當x>1時，f′(x)<0，

所以f(x)在(0，1)上單調遞增，

在(1，+∞)上單調遞減，

當x=1時，f(x)取得極大值1.

令g(x)=x2-2x+k，

則g(x)的最小值為g(1)=k-1.

要使f(x)=g(x)有實數(shù)解，則k-1≤1，即k≤2，

所以實數(shù)k的取值范圍為(-∞，2] .

解法二：

由f(x)=x2-2x+k，

當00，

當x>1時，h′(x)<0，

所以h(x)在(0，1)上單調遞增，

在(1，+∞)上單調遞減，

當x=1時，h(x)取得極大值2，

所以實數(shù)k的取值范圍為(-∞，2] .

當00，

當x>1時，g′(x)<0，

所以g(x)在(0，1)上單調遞增，

在(1，+∞)上單調遞減，

當x=1時，g(1)取得極大值2-k.

當k>2時，最大值g(1)<0，

函數(shù)g(x)的不存在零點，不符合條件；

當k=2時，1是函數(shù)g(x)的一個零點，符合條件；

當k<2時，g(1)=2-k>0，

當00，

當x>1時，f′(x)<0，

所以f(x)在(0，1)上單調遞增，

在(1，+∞)上單調遞減，

當x=1時，f(x)取得極大值1，

≤1-x2+2x-k=-(x-1)2+2-k，

又因為函數(shù)g(x)在(0，+∞)的圖像是不間斷的，

所以函數(shù)g(x)在(0，+∞)存在零點，符合條件.

綜上，實數(shù)k的取值范圍為(-∞，2] .

上述不同解法體現(xiàn)了同一數(shù)學問題可以從不同方面加以表征，有的重視言語化，有的重視視角化；有的重視模式，相互既有聯(lián)系又有區(qū)別.

讓學生仔細觀察三種方法，比較解答過程，說出各種解法的優(yōu)勢和不足.

解法一借助圖形的直觀性，根據(jù)兩個函數(shù)圖像的交點，從而得到關于k的取值范圍，優(yōu)點直觀簡潔，充分體現(xiàn)了數(shù)形結合的思想.可以作為填空或選擇題的解法，但作為解答題的答題過程，則是以圖形的直觀性取代了推理的過程，是不準確不完善的.

解法二是通過構造函數(shù)，將動態(tài)函數(shù)問題轉化為靜態(tài)函數(shù)問題，從而通過求函數(shù)的值域獲得k的取值范圍.這種解法是函數(shù)的值域來的突然，要有正確的推理過程，k的取值范圍是函數(shù)的值域與方程f(x)=x2-2x+k有實數(shù)解還不一致，還缺少一步論證過程，因此嚴謹性還不夠.

解法三則是比較長，但規(guī)范嚴謹，每步都有依據(jù)，把方程解的問題轉化為函數(shù)零點問題.根據(jù)零點存在定理，從而得出k的取值范圍.這一種解法體現(xiàn)了方程解的問題轉化為函數(shù)零點問題的這一基本思想，反映了數(shù)學的本質.這種解法體現(xiàn)了題目與重要的數(shù)學概念和性質相關，解題方法自然，具有發(fā)展性，表述流暢且好懂等特點.從解題的方法來講，具有自然多樣，還具有發(fā)展性，是規(guī)范解題的示范.

通過上述比較分析，可以幫助學生克服一些先入為主的觀念，只有通過不斷的反思和比較，從不同的解法中引出深刻的思想和全面的認識.根據(jù)題目的具體需要給出規(guī)范的答題過程.

總之，培養(yǎng)學生規(guī)范數(shù)學答題的途徑不是一招一式就能成就的，要師生共同持之以恒，反復實踐.教師要講好標準，以課本為依據(jù)，以高考考試說明中的解答為示范，規(guī)范解好每一題.學生要正確認識解題的價值，相互學習，借鑒比較，不斷的對自已的答題過程進行反思和總結，從而使自己規(guī)范答題的能力得到提升.做到能夠用精確、簡約的數(shù)學語言去表達自己對數(shù)學的想法和思考的過程.