數(shù)學(xué)說題的內(nèi)涵與結(jié)構(gòu)①

洪 夢 吳立寶 王富英

(1.天津師范大學(xué)教育學(xué)部300387；2.四川省成都市龍泉驛區(qū)教育科學(xué)研究院610100)

1 引言

隨著課程改革的不斷深入和時(shí)代的發(fā)展，學(xué)科教研活動由早期的側(cè)重“課堂教學(xué)”研究，發(fā)展到后來的“說課”活動，再到目前以“試題解說”為著眼點(diǎn)的生動而有活力的“說題”教研活動[1].從說題主體來看，說題可分為教師說題、學(xué)生說題、教師和學(xué)生互動說題[2]，本文主要指教師說題.

數(shù)學(xué)說題活動將“命題”、“學(xué)題”、“教題”和“反思”四大范疇有機(jī)融合，要求教師從學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律和教學(xué)實(shí)際出發(fā)，高視角認(rèn)識和研究數(shù)學(xué)題，充分發(fā)揮教材中的例、習(xí)題等數(shù)學(xué)題的功能[3][4]，揭示其命題規(guī)律和解題思路，全面系統(tǒng)認(rèn)識數(shù)學(xué)的本質(zhì)，因此說題能力逐漸成為數(shù)學(xué)教師必備的核心素養(yǎng).說題教研能夠引領(lǐng)教師正確把握考試命題立意的趨勢與方向；充分了解學(xué)生學(xué)情與發(fā)展需求；深入研究學(xué)科本質(zhì)與深化數(shù)學(xué)思維；反思創(chuàng)新促進(jìn)高效教學(xué)的順利開展.明確數(shù)學(xué)說題的內(nèi)涵、特點(diǎn)與結(jié)構(gòu)框架，是正確理解數(shù)學(xué)說題的前提和基礎(chǔ).

2 數(shù)學(xué)說題的內(nèi)涵

數(shù)學(xué)題是指數(shù)學(xué)上要求回答或解釋的事情，需要研究或解決的矛盾[5].數(shù)學(xué)說題是教師在備題的基礎(chǔ)上，以語言為主要表述工具，以課堂教學(xué)為背景，以數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)和現(xiàn)代教育理論為指導(dǎo)，面向同行和專家，系統(tǒng)而概括地解說對一道數(shù)學(xué)題的教學(xué)理解，闡述具體傳授某道題的教育設(shè)想、方法策略和組織教學(xué)的理論依據(jù)，分析學(xué)生學(xué)題時(shí)的已有基礎(chǔ)、學(xué)習(xí)障礙和典型問題，并根據(jù)聽者的建議進(jìn)行反思改進(jìn)的教研活動.由此可知，說題活動有機(jī)融合“命題”、“學(xué)題”、“教題”和“反思”為一體，是一種把握數(shù)學(xué)本質(zhì)、促進(jìn)教師專業(yè)成長的教研活動，綜合體現(xiàn)教師理解數(shù)學(xué)、理解學(xué)生與理解教學(xué)等能力水平.數(shù)學(xué)說題具有以下特點(diǎn)：

可行性.科學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)、切實(shí)可行是保證數(shù)學(xué)說題活動質(zhì)量的前提.教師通過閱讀文獻(xiàn)、小組討論等前期準(zhǔn)備，基于學(xué)生學(xué)情和教學(xué)實(shí)際，設(shè)計(jì)數(shù)學(xué)說題流程、準(zhǔn)確規(guī)范地表達(dá)對題目的理解.只有確保數(shù)學(xué)說題的科學(xué)，才能體現(xiàn)說題活動的意義和價(jià)值，才能供其他數(shù)學(xué)教育者參考借鑒.

反思性.說題活動的實(shí)質(zhì)是一種研究反思型教研活動.教師基于數(shù)學(xué)本質(zhì)研究分析數(shù)學(xué)題，深層次揭示數(shù)學(xué)題的內(nèi)涵價(jià)值，通過說題研討活動表述解題思維以及教學(xué)思路并得到同行和專家的反饋意見，進(jìn)而不斷自我反思完善.數(shù)學(xué)說題將教學(xué)與研究相結(jié)合，提升教師的合作意識、教學(xué)能力和科研能力.

雙角度性.從形式來看，教師說題主要面向同行和專家，但開展說題活動的最終目標(biāo)是促進(jìn)高效教學(xué).因此，說題活動設(shè)計(jì)要立足于教師“教”和學(xué)生“學(xué)”上，既要體現(xiàn)教師對題目本質(zhì)的理解與認(rèn)識，同時(shí)要分析學(xué)生的認(rèn)知基礎(chǔ)、最近發(fā)展區(qū)以及思維障礙和誤區(qū)，從而提高教學(xué)的針對性和有效性.

3 數(shù)學(xué)說題的結(jié)構(gòu)框架

解題是說題的基礎(chǔ).基于數(shù)學(xué)說題的內(nèi)涵、特點(diǎn)和解題觀點(diǎn)，從命題立意、學(xué)生學(xué)題、教師教題、反思評價(jià)的四個(gè)范疇，說審題分析、說學(xué)情分析、說學(xué)科知識、說解題思路、說變式拓展、說回顧反思的六個(gè)環(huán)節(jié)，厘清條件結(jié)論、識別題目類型、明晰背景立意、了解已知未知、清楚能知想知、分析典型問題、把握知識本質(zhì)、溝通知識聯(lián)系、深挖思想方法、確定解題策略、指導(dǎo)解題規(guī)范、開展變式教學(xué)、適當(dāng)拓展延伸、回顧解題過程、反思預(yù)設(shè)生成的十五個(gè)站點(diǎn)，構(gòu)建數(shù)學(xué)說題結(jié)構(gòu)框架(如圖1)，現(xiàn)以如下題目為例加以說明.

圖1 數(shù)學(xué)說題結(jié)構(gòu)框架

已知函數(shù)為f(x)=sinx-ln(1+x),f′(x)為f(x)的導(dǎo)數(shù)，證明：

(Ⅱ)f(x)有且僅有2個(gè)零點(diǎn).

3.1 說審題分析

“在尚未看到主要聯(lián)系或者尚未作出某種計(jì)劃的情況下，去處理細(xì)節(jié)是毫無用處的.”[6]分析命題是理解題目的核心，是解題的第一步，同時(shí)是有效說題的前提.教師要結(jié)合數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)和教材，從條件結(jié)論、題目類型和背景立意三方面深入分析命題立意，確定要求學(xué)生必須掌握的基礎(chǔ)知識、基本技能和基本思想方法、基本活動經(jīng)驗(yàn)和發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)等教學(xué)重點(diǎn)，有利于教師自身進(jìn)一步理解題意，思考如何解和如何教.

3.1.1 厘清條件結(jié)論

教師要根據(jù)題目信息厘清題目的條件和結(jié)論.首先，區(qū)分題目中顯性的已知條件；其次，深挖其中隱含的已知條件，即由已知得出哪些結(jié)論(性質(zhì)定理)；最后，根據(jù)題目結(jié)論的信息探究需要哪些知識(判定定理).教師要厘清條件結(jié)論，弄清楚數(shù)學(xué)題的字面含義和相關(guān)概念，才能知道從何處下手、向何處前進(jìn)，為進(jìn)一步獲取條件和結(jié)論的邏輯關(guān)系，構(gòu)建條件與結(jié)論間的聯(lián)系做準(zhǔn)備.

3.1.2 識別題目類型

教師要根據(jù)題目信息了解題目類型，如計(jì)算題、證明題、填空題、選擇題、作圖題等.數(shù)學(xué)題按評分的客觀性、開放性、作答形式、課程內(nèi)容、解題指令、解題系統(tǒng)要素、教學(xué)特征等不同的分類標(biāo)準(zhǔn)有不同的分類.不同類型的數(shù)學(xué)題有不同的表征方式.通過識別題目類型，合理恰當(dāng)?shù)剡x擇自然語言、圖形語言、符號語言等多種表征方式，將數(shù)學(xué)題目中的知識轉(zhuǎn)述為數(shù)學(xué)語言，深入理解數(shù)學(xué)題的數(shù)學(xué)含義.按作答形式來看，上題為證明題.數(shù)學(xué)證明題一般從證明內(nèi)容、證明方法和證明過程著手，要求學(xué)生有較好的邏輯思維和推理能力.

3.1.3 明晰背景立意

教師要根據(jù)題目信息明晰背景立意.每一道數(shù)學(xué)題目都有社會、文化、生活或者高等數(shù)學(xué)等背景，以及教科書中的思考題、例習(xí)題、中高考試題以及競賽題等來源，充分認(rèn)識數(shù)學(xué)題目的背景來源，落實(shí)數(shù)學(xué)課程“把握數(shù)學(xué)本質(zhì)”的基本理念.教師還要辨明數(shù)學(xué)題目的知識載體、數(shù)學(xué)任務(wù)、數(shù)學(xué)思維活動和對學(xué)生知識與能力的層次要求即了解、理解、掌握、運(yùn)用以及經(jīng)歷、體驗(yàn)、探索，更要清楚對學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)水平的達(dá)成要求.

上題選自2019年高考數(shù)學(xué)全國卷Ⅰ理科第20題，就往年命題趨勢來看，函數(shù)題的位置前移，以證明題的形式考查導(dǎo)數(shù)的計(jì)算及函數(shù)的極值與零點(diǎn)的綜合應(yīng)用問題，主要考查學(xué)生分析與解決問題的能力，重點(diǎn)提升數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運(yùn)算和邏輯推理核心素養(yǎng).

3.2 說學(xué)情分析

學(xué)情分析指教師通過對學(xué)生認(rèn)知基礎(chǔ)、能力水平、態(tài)度傾向等維度的分析與研究，設(shè)計(jì)和改進(jìn)教學(xué)過程，以適應(yīng)不同學(xué)生學(xué)習(xí)需求的過程[7].教學(xué)關(guān)注如何采用有效的方法使學(xué)生準(zhǔn)確無誤地獲取知識，教師的職責(zé)是考慮如何最有效地向?qū)W生傳遞知識[8]，基于學(xué)情分析的說題設(shè)計(jì)才是可行有效的，才能達(dá)到教學(xué)目標(biāo)和提高教學(xué)效率.教師可以從已知、未知、能知、想知的四知模式和典型問題角度進(jìn)行學(xué)情分析.說學(xué)情分析是數(shù)學(xué)說題的基礎(chǔ).

3.2.1 了解已知未知

學(xué)生在學(xué)習(xí)解題之前，已具備一定的知識技能、思想方法、活動經(jīng)驗(yàn)和思維特征.教師所要做的是利用各種可能的方法了解學(xué)生當(dāng)前的認(rèn)知發(fā)展水平，判斷學(xué)生已有學(xué)習(xí)基礎(chǔ)對解題的影響.教師從學(xué)生的“已知”出發(fā)，并結(jié)合題目中的已知條件和要求結(jié)論，便能夠推斷出學(xué)生的“未知”，通過適當(dāng)?shù)囊龑?dǎo)幫助學(xué)生探索已知與未知之間的聯(lián)系，獲得解題的思路與方法.

以上題為例，學(xué)生“已知”是函數(shù)的概念、表示、基本性質(zhì)，二次函數(shù)、冪函數(shù)等函數(shù)模型，函數(shù)零點(diǎn)存在定理，導(dǎo)數(shù)及其運(yùn)用，了解研究函數(shù)的一般步驟(如圖2)，并掌握求解函數(shù)的極值與零點(diǎn)的一般方法，“未知”是用邏輯推理說明函數(shù)在所給區(qū)間內(nèi)存在唯一極大值點(diǎn)的思路與方法以及求解超越函數(shù)的基本思想.教師要用數(shù)學(xué)思想方法構(gòu)建“已知”與“未知”的聯(lián)系，幫助學(xué)生掌握函數(shù)本質(zhì)，并且在教學(xué)中滲透通性通法，避免產(chǎn)生畏難情緒.

圖2 研究函數(shù)的一般方法

3.2.2 清楚能知想知

維果茨基稱學(xué)生獨(dú)立解決問題時(shí)的現(xiàn)有水平和潛在水平的兩種發(fā)展水平區(qū)域?yàn)樽罱l(fā)展區(qū)，即學(xué)生“能知”的范疇.教師要在學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)內(nèi)設(shè)置適當(dāng)?shù)膯栴}串，開展數(shù)學(xué)思維活動，同時(shí)了解學(xué)生感興趣的“想知”內(nèi)容.在學(xué)生“能知”的基礎(chǔ)上，教師分析學(xué)生學(xué)習(xí)的興趣方向，指導(dǎo)教學(xué)過程設(shè)計(jì)將學(xué)生的“能知”轉(zhuǎn)化為學(xué)生的“想知”.教師清楚學(xué)生的“能知”與“想知”，才能充分調(diào)動學(xué)生的積極性，因勢利導(dǎo)地發(fā)揮教師的主導(dǎo)作用和凸顯學(xué)生的主體地位.

上題學(xué)生的“能知”與“想知”可能為利用導(dǎo)數(shù)的符號判斷函數(shù)的單調(diào)性；各階導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的極值和零點(diǎn)的關(guān)系；如何畫超越函數(shù)的圖象；函數(shù)的定義域與零點(diǎn)的個(gè)數(shù)的關(guān)系等.教師要為此做好預(yù)設(shè)，并在實(shí)際教學(xué)中設(shè)置適當(dāng)?shù)膯栴}與活動，引導(dǎo)學(xué)生逐步收獲“能知”與“想知”.

3.2.3 分析典型問題

典型問題指的是學(xué)生經(jīng)常性地違背數(shù)學(xué)學(xué)科內(nèi)容體系的知識、原理和規(guī)律等而出現(xiàn)的審題、解題或者表達(dá)錯(cuò)誤，以及學(xué)生現(xiàn)階段難以理解和掌握的知識要點(diǎn)與技能方法等教學(xué)難點(diǎn).典型問題反映了學(xué)生對數(shù)學(xué)題的認(rèn)識與理解，以及在解題過程中存在的認(rèn)知誤區(qū)和障礙.基于“已知未知”、“能知想知”，研究分析學(xué)生的典型問題，正確把握教學(xué)重難點(diǎn)，不僅可以幫助學(xué)生找出錯(cuò)誤產(chǎn)生的原因、提出改正的意見，還有助于幫助教師完善自身的知識觀和教育觀[9].

3.3 說學(xué)科知識

數(shù)學(xué)問題貫穿數(shù)學(xué)教學(xué)過程，蘊(yùn)含著數(shù)學(xué)的基本概念和基本規(guī)則[10].數(shù)學(xué)學(xué)科知識不僅僅是學(xué)生所要掌握的數(shù)學(xué)基本概念、命題和法則.教師正確把握數(shù)學(xué)知識的本質(zhì)、溝通數(shù)學(xué)知識的前后聯(lián)系、深挖知識蘊(yùn)含的思想方法，才能從學(xué)科特色的角度解決數(shù)學(xué)問題，才能高效提升教學(xué)效果.說學(xué)科知識能綜合考察教師的專業(yè)能力和對數(shù)學(xué)本質(zhì)的認(rèn)識程度，是數(shù)學(xué)說題的重點(diǎn).

3.3.1 把握知識本質(zhì)

數(shù)學(xué)知識本質(zhì)的把握情況，綜合體現(xiàn)教師對數(shù)學(xué)課程的理解水平.函數(shù)是描繪客觀世界中變量關(guān)系和規(guī)律的最為基礎(chǔ)的語言和工具，其本質(zhì)是數(shù)集之間的單值對應(yīng).對于上題，教師還要把握函數(shù)的極值點(diǎn)和零點(diǎn)的本質(zhì).函數(shù)f′(x)的極值點(diǎn)的本質(zhì)是極值點(diǎn)與其附近所有點(diǎn)的函數(shù)值大小的比較，也是對在極值點(diǎn)附近的左側(cè)和右側(cè)函數(shù)f(x)單調(diào)性相反的一種體現(xiàn).函數(shù)f(x)的零點(diǎn)的本質(zhì)是函數(shù)f(x)的圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，是方程f(x)=0的實(shí)數(shù)根，也是函數(shù)g(x)=sinx與函數(shù)h(x)=ln(1+x)的交點(diǎn).

3.3.2 溝通知識聯(lián)系

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的過程就是把數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)經(jīng)過學(xué)生的積極思維活動，轉(zhuǎn)化為頭腦里的數(shù)學(xué)認(rèn)知結(jié)構(gòu)的過程.教師從數(shù)學(xué)學(xué)科系統(tǒng)的角度溝通前后知識聯(lián)系，明確知識的來龍去脈和邏輯結(jié)構(gòu)，闡述當(dāng)前數(shù)學(xué)題涉及內(nèi)容的上下位知識，構(gòu)建突出重點(diǎn)、精簡整合的數(shù)學(xué)知識結(jié)構(gòu)，是學(xué)生有效數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的前提.

在分析上題之前，教師要明確本題屬于“函數(shù)”主線內(nèi)容，所涉及的數(shù)學(xué)知識包括函數(shù)的單調(diào)性、極值點(diǎn)、零點(diǎn)、求導(dǎo)法則，導(dǎo)數(shù)的含義及其應(yīng)用，函數(shù)零點(diǎn)存在定理等.解決極值點(diǎn)問題的關(guān)鍵是判斷定義域內(nèi)點(diǎn)兩側(cè)的導(dǎo)數(shù)符號，即比較區(qū)間內(nèi)一點(diǎn)附近的函數(shù)值.解決零點(diǎn)問題的關(guān)鍵是利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值點(diǎn)，再由函數(shù)的性質(zhì)做出函數(shù)圖象或者分類討論判斷零點(diǎn)個(gè)數(shù).教師正確溝通知識間的聯(lián)系，才能找到解決問題的關(guān)鍵點(diǎn).

3.3.3 深挖思想方法

數(shù)學(xué)思想方法是對數(shù)學(xué)理論和內(nèi)容本質(zhì)的認(rèn)識，是數(shù)學(xué)科學(xué)發(fā)生、發(fā)展的根本，是數(shù)學(xué)知識在更高層次上的抽象與概括而成的數(shù)學(xué)觀點(diǎn)[11].教師既要滲透抽象、推理、模型的三大基本思想，更要用聯(lián)系的觀點(diǎn)深挖蘊(yùn)含在每道數(shù)學(xué)題目中的一般思想方法.在解題教學(xué)活動中，挖掘并滲透數(shù)學(xué)思想方法，是對數(shù)學(xué)本質(zhì)認(rèn)識的具體表現(xiàn)，是促進(jìn)學(xué)生經(jīng)歷分析和解決問題、數(shù)學(xué)知識的形成過程的基本策略，同時(shí)是學(xué)生體驗(yàn)思想方法一般化、程序化并掌握解題策略的有力途徑，有利于學(xué)生培養(yǎng)數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng).

教師要深挖上題的數(shù)學(xué)思想方法：首先，教師要引導(dǎo)學(xué)生從函數(shù)觀點(diǎn)看方程問題，對于隱零點(diǎn)問題可以利用函數(shù)單調(diào)性求出零點(diǎn)大致范圍，結(jié)合函數(shù)零點(diǎn)存在定理得出唯一極值點(diǎn)；然后，分類畫出超越函數(shù)的大致圖象，討論在各區(qū)間上的零點(diǎn)情況，得出函數(shù)在定義域上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)；最后，教師還可以引導(dǎo)學(xué)生探索其他解法，根據(jù)條件與結(jié)論的聯(lián)系將零點(diǎn)問題轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)的交點(diǎn)問題，借助Geogebra等信息技術(shù)準(zhǔn)確畫出函數(shù)圖象，滲透函數(shù)與方程、數(shù)形結(jié)合、分類討論、轉(zhuǎn)化與化歸的思想方法.

3.4 說解題思路

解題思路是一個(gè)由已知到結(jié)論的推理過程，是由線索到真相的分析[10].疏通解題思路正是學(xué)生實(shí)現(xiàn)知識生長、能力提升的關(guān)鍵點(diǎn)[12].教師要從審題分析中有效捕捉題目信息、學(xué)情分析中正確把握最近發(fā)展區(qū)、學(xué)科知識中高效提取知識架構(gòu)體系，并將此三部分進(jìn)行有效組合.一方面確定解題策略，高屋建瓴地掌握一般解題規(guī)律和具體操作流程；另一方面指導(dǎo)學(xué)生作答和解題規(guī)范，引導(dǎo)學(xué)生培養(yǎng)良好的解題習(xí)慣.說解題思路是數(shù)學(xué)說題的關(guān)鍵.

3.4.1 確定解題策略

數(shù)學(xué)解題策略是為了達(dá)到解題目標(biāo)而采取的方式方法.從自身的知識與活動經(jīng)驗(yàn)出發(fā)，通過審題分析確定符合辯證邏輯的解題策略.一般情況下，可以采用波利亞在《怎樣解題》中提出的“理解題目、擬定方案、執(zhí)行方案和回顧與反思”[6]的解題策略.除此之外，還可以運(yùn)用數(shù)形結(jié)合、逆向思維、分類討論、猜想論證、函數(shù)與方程、化歸等策略.

上題難點(diǎn)在于無法求解超越函數(shù)對應(yīng)的方程；無法畫出函數(shù)在(-1,+∞)上的圖象.第一問求證f′(x)存在極值點(diǎn)，可以求f″(x)的單調(diào)性并結(jié)合零點(diǎn)存在定理證明得出；第二問根據(jù)f″(x)到f′(x)再到f(x)的推理步驟求證f(x)的零點(diǎn)，即分類討論在定義域上，由二階導(dǎo)數(shù)f″(x)的正負(fù)與單調(diào)性得出一階導(dǎo)數(shù)f′(x)的正負(fù)與單調(diào)性，通過特殊點(diǎn)確定f′(x)大致圖象，再得出函數(shù)f(x)的單調(diào)性與圖象，最終得出f(x)的零點(diǎn).

3.4.2 指導(dǎo)解題規(guī)范

解題規(guī)范包括審題規(guī)范、邏輯規(guī)范、表達(dá)規(guī)范.解題不規(guī)范在一定程度上反映了學(xué)生解題思路上的問題.教師對數(shù)學(xué)題經(jīng)過分化、重組與整合，構(gòu)建能夠促進(jìn)學(xué)生理解的遞進(jìn)式的知識序列[13]，并通過板書解題過程指導(dǎo)學(xué)生解題規(guī)范，才能發(fā)揮數(shù)學(xué)題的示范引領(lǐng)作用[3]，清除學(xué)生的思路障礙，加強(qiáng)學(xué)生對解題規(guī)范的重視.

教師要結(jié)合學(xué)生的典型問題指導(dǎo)學(xué)生的解題規(guī)范.第一，規(guī)范審題方法，注意隱含條件和極值點(diǎn)的唯一性，充分理解題意；第二，規(guī)范邏輯推理思路，弄清楚各階導(dǎo)數(shù)與原函數(shù)之間的關(guān)系；第三，規(guī)范表達(dá)解題過程和結(jié)果，正確表述函數(shù)零點(diǎn)存在定理的條件和結(jié)論，注意分類討論時(shí)端點(diǎn)處的情況.

3.5 說變式拓展

變式即保持事物本質(zhì)特征的前提下，改變其非本質(zhì)屬性.一道數(shù)學(xué)題目的價(jià)值不止在于該題的解法和結(jié)論，而是能夠通過變式拓展出一類相關(guān)問題，并且促進(jìn)學(xué)生能夠進(jìn)行知識遷移加以解決，提升學(xué)生發(fā)現(xiàn)、提出、分析和解決問題的能力.

3.5.1 開展變式教學(xué)

變式教學(xué)主要是指對例習(xí)題進(jìn)行變通推廣，讓學(xué)生能在不同角度、層次、情形和背景下重新認(rèn)識的一種教學(xué)模式[14]，旨在源于原題、高于原題，并在學(xué)生的最近發(fā)展區(qū)拓展編制新試題，但變式要有導(dǎo)向性、層次性，引入變式要適時(shí)，注意學(xué)生的參與度[15]，以訓(xùn)練學(xué)生的高級思維.教師可以在學(xué)生充分認(rèn)識問題本質(zhì)的基礎(chǔ)上，從改變條件或結(jié)論、從具體到抽象、從特殊推廣到一般情形、深度廣度上歸納或者類比同類對象等方面對原題進(jìn)行適當(dāng)變形.

變式2(2018年高考數(shù)學(xué)全國Ⅱ卷第21題)已知函數(shù)f(x)=ex-ax2.

(Ⅰ)若a=1，證明：當(dāng)x≥0時(shí)，f(x)≥1；

(Ⅱ)若f(x)在(0,+∞)只有一個(gè)零點(diǎn)，求a.

3.5.2 適當(dāng)拓展延伸

建立已有知識與更高層次的數(shù)學(xué)知識的聯(lián)系，能夠促進(jìn)對知識結(jié)構(gòu)的整體認(rèn)識與優(yōu)化.適當(dāng)?shù)闹R拓展延伸包括背景來源拓展、知識內(nèi)容拓展、思想方法拓展和問題解法拓展等，一方面體現(xiàn)教師的知識儲備和綜合素養(yǎng)，另一方面促進(jìn)學(xué)生形成有效的知識網(wǎng)絡(luò).教師可以引導(dǎo)學(xué)生運(yùn)用函數(shù)零點(diǎn)存在定理解決不等式問題，運(yùn)用函數(shù)與方程、轉(zhuǎn)化與化歸等思想解決超越函數(shù)問題以及數(shù)形結(jié)合思想解決幾何問題，還可以推廣到更一般的情況即高等數(shù)學(xué)中的介值定理，讓學(xué)生初步了解連續(xù)函數(shù)的一些本質(zhì)特征.

3.6 說回顧反思

美國教育心理學(xué)家波斯納說“成長=經(jīng)驗(yàn)+反思”.在職教師已具有豐富的教學(xué)經(jīng)驗(yàn)，獲得專業(yè)成長最重要的一步是回顧反思教學(xué)實(shí)踐.回顧與反思可以重現(xiàn)實(shí)踐、總結(jié)、再實(shí)踐的研究歷程，是對解題活動的“再認(rèn)識”，是解題活動后的“元認(rèn)知”[16]，是深化知識理解、把握本質(zhì)內(nèi)涵、發(fā)展解題能力、優(yōu)化教學(xué)過程的重要手段.

3.6.1 回顧解題過程

回顧解題過程是一個(gè)重要且有啟發(fā)性的學(xué)習(xí)環(huán)節(jié).回顧題目中所涉及的數(shù)學(xué)知識、思想方法及其之間的關(guān)系，確定審題分析是否全面、解題思路是否準(zhǔn)確、書寫過程和解題結(jié)果是否正確.教師回顧解題過程，從而發(fā)現(xiàn)函數(shù)的極值、零點(diǎn)與導(dǎo)數(shù)等數(shù)學(xué)知識之間的有機(jī)結(jié)構(gòu)體系，以及解題過程中的不足并加以完善.

3.6.2 反思預(yù)設(shè)生成

反思預(yù)設(shè)與生成是完成解題與回顧后發(fā)揮教師主觀能動性和積累教學(xué)活動經(jīng)驗(yàn)的關(guān)鍵，是數(shù)學(xué)說題活動的核心和動力.重點(diǎn)是否突出？難點(diǎn)是否突破？教學(xué)目標(biāo)是否達(dá)成？學(xué)生是否有興趣？學(xué)生積極性和主體地位是否得到發(fā)揮？有哪些值得以后借鑒？有哪些不必要的錯(cuò)誤？為什么會出現(xiàn)這些錯(cuò)誤？是否還有其他解題策略？通過反思以上問題，進(jìn)一步進(jìn)行原因剖析、改進(jìn)策略而提高解題教學(xué)的有效性.

以上題為例，教師要反思學(xué)生解題出錯(cuò)是因?yàn)椴磺宄髮?dǎo)法則、概念模糊，還是邏輯推理能力較弱導(dǎo)致解題不規(guī)范.學(xué)生對函數(shù)零點(diǎn)存在定理的使用條件和各階導(dǎo)數(shù)與原函數(shù)的關(guān)系的掌握情況，變式拓展與學(xué)生學(xué)情的適應(yīng)程度，數(shù)學(xué)思想方法的滲透情況等.

4 結(jié)語

數(shù)學(xué)說題教研活動綜合考法、學(xué)法、解法與教法，是教師理解評價(jià)、理解學(xué)生、理解數(shù)學(xué)和理解教學(xué)的全過程.在說題活動中，教師既要從命題者的視角去理解數(shù)學(xué)題，還從自身解題的視角去分析數(shù)學(xué)題，也要從學(xué)生解題和學(xué)習(xí)的視角去揣摩數(shù)學(xué)題，更要從學(xué)科知識、解題理論的高度審視解題過程，最后要從評價(jià)角度回顧反思解題教學(xué)過程.教師說題時(shí)要根據(jù)數(shù)學(xué)題的特點(diǎn)，有機(jī)整合并且有所側(cè)重地選擇“十五個(gè)站點(diǎn)”內(nèi)容，并非面面俱到，有所側(cè)重，更重要的是注重問題解決的有效性，言簡意賅地表達(dá)自己的教學(xué)見解，清晰凸顯自身的教學(xué)個(gè)性.數(shù)學(xué)說題一方面讓教師深入研究例題、習(xí)題、考試題等數(shù)學(xué)題，清楚數(shù)學(xué)題與學(xué)生層次的匹配度，進(jìn)一步因材施教，引導(dǎo)學(xué)生升華數(shù)學(xué)思維；另一方面能夠加強(qiáng)教師之間的業(yè)務(wù)交流，促進(jìn)教師認(rèn)識數(shù)學(xué)本質(zhì)、提升教師核心素養(yǎng)和能力.