用幾何直觀和代數(shù)運算的方法研究三角函數(shù)

章建躍

(人民教育出版社 課程教材研究所 100081)

現(xiàn)實世界中存在各種各樣的運動變化現(xiàn)象，基本初等函數(shù)是對其中基本的變量關系和規(guī)律的刻畫，例如線性函數(shù)、指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)分別刻畫了“直線上升”、“指數(shù)爆炸”、“對數(shù)增長”等現(xiàn)象.“周而復始”現(xiàn)象隨處可見，要用周期函數(shù)進行刻畫，其中最典型的則是三角函數(shù).

1 課程定位

課程標準指出，三角函數(shù)是一類最典型的周期函數(shù).本單元的學習，可以幫助學生在用銳角三角函數(shù)刻畫直角三角形中邊角關系的基礎上，借助單位圓建立一般三角函數(shù)的概念，體會引入弧度制的必要性；用幾何直觀和代數(shù)運算的方法研究三角函數(shù)的周期性、奇偶性(對稱性)、單調(diào)性和最大(小)值等性質(zhì)；探索和研究三角函數(shù)之間的一些恒等關系；利用三角函數(shù)構建數(shù)學模型，解決實際問題.內(nèi)容包括：角與弧度、三角函數(shù)概念和性質(zhì)、同角三角函數(shù)的基本關系式、三角恒等變換、三角函數(shù)應用.

分析課程標準的上述表述，可得出如下幾點認識：

第一，三角函數(shù)在刻畫周期性現(xiàn)象中具有基礎性作用，是非常重要的.實際上，絕大多數(shù)的周期性都可以用正弦函數(shù)、余弦函數(shù)構成的無窮級數(shù)予以表征，這就是傅里葉級數(shù).

第二，單位圓是建立三角函數(shù)概念的理想載體.在各種各樣的周期性現(xiàn)象中，勻速圓周運動具有典型性，而單位圓上點的單位速率運動又是不失一般性的，所以借助單位圓建立的函數(shù)概念具有簡單性、一般性.

第三，三角函數(shù)概念與單位圓之間的緊密融合關系表明三角函數(shù)性質(zhì)與圓的幾何性質(zhì)有內(nèi)在關聯(lián).實際上，三角函數(shù)的性質(zhì)就是圓的幾何性質(zhì)的解析表達.所以，研究三角函數(shù)的性質(zhì)要采用幾何直觀和代數(shù)運算相結(jié)合的方法.

第四，從三角函數(shù)概念可知，確定這些函數(shù)的要素(特別是對應關系)的背景條件是一樣的，所以這些函數(shù)之間一定有內(nèi)在聯(lián)系，這是三角函數(shù)的“與眾不同”之處.這樣，探索和研究這些三角函數(shù)之間的一些恒等關系就成為研究三角函數(shù)的一個重要任務.

第五，掌握三角函數(shù)的主要目的之一是用于建立數(shù)學模型解決實際問題.

2 內(nèi)容與要求

課程標準對三角函數(shù)提出了如下內(nèi)容與要求.

1.角與弧度

了解任意角的概念和弧度制，能進行弧度與角度的互化，體會引入弧度制的必要性.

2.三角函數(shù)概念和性質(zhì)

(3)結(jié)合具體實例，了解y=Asin(ωx+φ)的實際意義；能借助圖象理解參數(shù)ω，φ，A的意義，了解參數(shù)的變化對函數(shù)圖象的影響.

3.同角三角函數(shù)的基本關系式

4.三角恒等變換

(1)經(jīng)歷推導兩角差余弦公式的過程，知道兩角差余弦公式的意義.

(2)能從兩角差的余弦公式推導出兩角和與差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它們的內(nèi)在聯(lián)系.

(3)能運用上述公式進行簡單的恒等變換(包括推導出積化和差、和差化積、半角公式，這三組公式不要求記憶).

5.三角函數(shù)應用

會用三角函數(shù)解決簡單的實際問題，體會可以利用三角函數(shù)構建刻畫事物周期變化的數(shù)學模型.

分析上述內(nèi)容與要求的框架可以發(fā)現(xiàn)：

圖1

第一，任意角的概念和弧度制的引入要講“必要性”，其背景是周期性現(xiàn)象，可以圍繞勻速圓周運動的刻畫來展開.實際上，引入任意角概念和弧度制也是刻畫周期性現(xiàn)象的一環(huán).如圖1，圓上一點從點A開始，以角速度ω繞圓周運動到點P，運動時間t與繞過的角α之間的關系是α=ωt.如果起始位置A對應于角φ，那么有

α=ωt+φ.

第二，要讓學生充分認識單位圓在研究三角函數(shù)中的重要性，從內(nèi)容到方法都應強調(diào)單位圓的“腳手架”作用，將單位圓作為研究三角函數(shù)的一個工具，讓學生養(yǎng)成使用習慣.

第三，課程標準強調(diào)，誘導公式是三角函數(shù)的性質(zhì)，在研究方法上要求借助單位圓的對稱性、從定義出發(fā)進行推導.老師們習慣于從“任意角三角函數(shù)求值”的角度看待內(nèi)容，“利用誘導公式將任意角的三角函數(shù)化為銳角三角函數(shù)”的定位根深蒂固，但這種觀點要得到與時俱進的改變.

第四，課程標準要求借助單位圓的幾何直觀探索三角函數(shù)的周期性、單調(diào)性、奇偶性、最大(小)值等整體性質(zhì)；而對一個特定周期內(nèi)的函數(shù)性質(zhì)則要求達到理解水平.

第五，要注意y=Asin(ωx+φ)的實際意義，與y=sinx建立聯(lián)系，借助圖象變換理解參數(shù)ω，φ，A的意義，并在此過程中“拆除”單位圓這個腳手架，為三角函數(shù)用于研究廣泛的周期性現(xiàn)象打下基礎.因為這個函數(shù)與現(xiàn)實世界中周期性現(xiàn)象的緊密關聯(lián)，所以可以結(jié)合三角函數(shù)的應用安排y=Asin(ωx+φ)的學習.

第六，同角三角函數(shù)的基本關系式表明了三個三角函數(shù)之間的內(nèi)在聯(lián)系，要達到理解水平.這里，如何使學生想到研究“聯(lián)系”的問題是首要的.

第七，三角恒等變換公式具有層次性，兩角差余弦公式是奠基，要求學生掌握推導方法.由此出發(fā)推導兩角和與差、二倍角的三角公式是第二層次，以任意角概念的理解、誘導公式、角的靈活表示等為基礎，要讓學生自己進行探索.第三層次是積化和差、和差化積、半角公式等，可以作為兩角和與差、二倍角公式的應用結(jié)果.

上述七點順次構成研究三角函數(shù)的整體架構，可以作為建構三角函數(shù)教材和教學的基本依據(jù).

3 本單元學習的認知分析

下面我們分析一下本單元的認知基礎.

1.數(shù)學外部的基礎

學生每天都能接觸到周期性現(xiàn)象，這是日常生活中積累的對“周而復始”現(xiàn)象的認識經(jīng)驗.

物理中已經(jīng)學習過圓周運動、簡諧振動、交變電流等，地理中學習的季節(jié)輪替、潮汐變化等，生物中學習的各種動植物的生長規(guī)律等.總之，相關學科中積累的關于周期性變化規(guī)律的知識都可以成為三角函數(shù)的認知基礎.

2.數(shù)學內(nèi)部的基礎

數(shù)學內(nèi)部積累的三角函數(shù)認知基礎已經(jīng)非常豐富.

(1)平面幾何方面

在平面幾何中學習的圓的性質(zhì)、相似形的有關知識，初中對圓的研究，從中心對稱圖形、軸對稱圖形、旋轉(zhuǎn)對稱圖形等多角度展開，將這些研究中得出的定性結(jié)果用三角函數(shù)概念表達出來，就可以直接得到三角函數(shù)的性質(zhì).同時，平面幾何中的相關知識及其蘊含的思想方法也能給證明三角函數(shù)的性質(zhì)提供思路，例如兩角差余弦公式的證明.

(2)函數(shù)主題方面

在函數(shù)一般概念，冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的學習中積累的數(shù)學思想、數(shù)學活動經(jīng)驗都是本單元的認知基礎：

從函數(shù)的一般概念、表示與性質(zhì)等學習中，了解了研究函數(shù)的一般路徑、方法；

通過冪、指、對函數(shù)的學習，基本掌握了研究一類函數(shù)的結(jié)構、內(nèi)容、過程與方法.

特別重要的是，在這些學習中養(yǎng)成的一般性思考問題的習慣，例如如何構建一類函數(shù)的研究路徑，抽象一類函數(shù)概念的內(nèi)容、途徑與方法，如何從函數(shù)定義出發(fā)研究函數(shù)性質(zhì)，如何利用函數(shù)概念和性質(zhì)建立數(shù)學模型解決實際問題等等.

3.認知困難分析

已學的多項式函數(shù)、冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)等，它們的對應關系都是代數(shù)運算規(guī)律的反映，但三角函數(shù)不以“代數(shù)運算”為媒介，是幾何量(角與有向線段)之間的直接對應，不是通過對α進行代數(shù)運算得到函數(shù)值，這是一個復雜、不良結(jié)構情境，學生不習慣于這樣的對應關系，是主要的學習難點.因此，在“對應關系”的認識上必須采取措施破除定勢，幫助學生搞清三角函數(shù)的“三要素”，特別是要在落實“給定一個角，如何得到對應的函數(shù)值”的操作過程的基礎上再給定義.

三角函數(shù)的性質(zhì)，核心是周期性，由此引發(fā)豐富多彩的內(nèi)容：豐富的對稱性；以單位圓為媒介而建立起各三角函數(shù)之間的豐富關聯(lián)，例如由定義直接推出同角三角函數(shù)之間的關系；結(jié)合單位圓上點的運動及其坐標的變化規(guī)律(非常直觀)，推出各種各樣的三角公式、恒等變換公式等，這是其他函數(shù)所沒有的.

研究三角函數(shù)性質(zhì)的方法也有特殊性，即利用三角函數(shù)的定義，將圓的幾何性質(zhì)轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)值之間的關系，這就是通過幾何直觀研究函數(shù)性質(zhì)，如單位圓關于原點成中心對稱、關于坐標軸成軸對稱、關于y=±x成軸對稱，轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)之間的關系，就是誘導公式.因此，研究三角函數(shù)性質(zhì)時所使用的數(shù)形結(jié)合，與通過觀察函數(shù)圖象而得出性質(zhì)所體現(xiàn)的數(shù)形結(jié)合，有較大的不同.總之，“正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的基本性質(zhì)是圓的幾何性質(zhì)的直接反映”，這種研究方法是學生不熟悉的，有的學生甚至會認為這樣得到的不是函數(shù)性質(zhì).

三角函數(shù)概念與性質(zhì)的學習中，與單位圓建立了非常緊密的聯(lián)系，有利于學生理解三角函數(shù)的本質(zhì)，但同時也帶來不利影響.現(xiàn)實中的周期性現(xiàn)象并一定以角為自變量，因此在用三角函數(shù)解決實際問題時，需要有更復雜的分析與轉(zhuǎn)化工作.

4 核心內(nèi)容的理解與教學思考

4.1 本單元內(nèi)容的整體構建

4.1.1 三角函數(shù)發(fā)展概述

公元前的亞歷山大里亞時期，為了建立定量的天文學，三角術在希臘定量幾何學中應運而生，到托勒密出版《數(shù)學匯編》，希臘三角術及在天文學上的應用達到頂峰.這部著作中有大量三角恒等變形問題，包括和(差)角公式、和差化積公式等，證明采用了初等幾何方法.

三角學的發(fā)展與天文學相互交織，且服務于天文學.到十六世紀，三角學開始從天文學里分離出來，并成為數(shù)學的一個分支.

應航海、天文、測量等實踐之需，制作三角函數(shù)表成為三角學研究的核心工作.因為在制作過程中需要大量的三角恒等變形，所以三角恒等變形問題占據(jù)了主導地位.隨著對數(shù)的發(fā)明，特別是微積分的創(chuàng)立，三角函數(shù)表的制作變得輕而易舉，繁雜的三角恒等變形不再需要，曾經(jīng)重要的三角公式也風光不再.在中學數(shù)學課程中，復雜的三角恒等變形似應逐漸退出歷史舞臺.

4.1.2 課程內(nèi)容的與時俱進

(1)更加重視對y=Asin(ωx+φ)的研究

從應用的角度看，應強調(diào)三角函數(shù)作為描述周期現(xiàn)象的重要數(shù)學模型的地位，因為“三角函數(shù)與其他學科的聯(lián)系與結(jié)合非常重要，最重要的是它與振動和波動的聯(lián)系，可以說，它幾乎是全部高科技的基礎之一”(齊民友).因此，優(yōu)化三角函數(shù)課程內(nèi)容，應該圍繞“與其他學科的聯(lián)系與結(jié)合”，在建立三角函數(shù)的基本概念、認識它的基本性質(zhì)的基礎上，對y=Asin(ωx+φ)展開深入研究，重視它對學生數(shù)學抽象、邏輯推理和數(shù)學建模等素養(yǎng)發(fā)展中的作用.

(2)發(fā)揮單位圓的作用

因為“正弦、余弦函數(shù)是一對起源于圓周運動，密切配合的周期函數(shù)，它們是解析幾何學和周期函數(shù)的分析學中最為基本和重要的函數(shù)；而正弦、余弦函數(shù)的基本性質(zhì)乃是圓的幾何性質(zhì)(主要是其對稱性)的直接反映.”([1],p.82)所以，研究三角函數(shù)的性質(zhì)，要充分發(fā)揮單位圓的作用，以利于提高學生的數(shù)形轉(zhuǎn)化、直觀想象能力.三角函數(shù)的研究中，一定要確立以單位圓為載體的幾何直觀方法的主導地位，這樣才能達到聚焦本質(zhì)、削支強干、以簡馭繁的目的.

(3)體現(xiàn)數(shù)學的現(xiàn)代思想

這樣認識和處理內(nèi)容，體現(xiàn)了三角函數(shù)性質(zhì)的整體性，可以更充分地發(fā)揮三角函數(shù)在培養(yǎng)學生的直觀想象、數(shù)學抽象、邏輯推理、數(shù)學運算和數(shù)學建模等核心素養(yǎng)的作用.

(4)加強與復數(shù)、向量等內(nèi)容的聯(lián)系

從整體上看，三角函數(shù)處于高中數(shù)學課程內(nèi)容的結(jié)合點上，“三角學其實就是三角形的解析幾何，可以說是具體而微的解析幾何，它是整個平面解析幾何的基礎所在，也是用解析法系統(tǒng)研究幾何的基本工具.” ([1],p.82)所以要強調(diào)三角函數(shù)與向量、復數(shù)、解析幾何等的聯(lián)系與綜合，可以通過加強三角函數(shù)在后續(xù)相關內(nèi)容中的應用來體現(xiàn)(例如解三角形)，也可以通過用向量、復數(shù)的方法重新推導三角變換公式等來實現(xiàn).本單元則要加強誘導公式、三角恒等變換公式與圓的性質(zhì)(主要是對稱性)的聯(lián)系.

總之，定義三角函數(shù)的最好方式是利用直角坐標系中的單位圓.抓住三角函數(shù)作為刻畫勻速圓周運動的數(shù)學模型，這就真正抓住了要領，就能以簡馭繁.

4.1.3 本單元的結(jié)構體系

三角函數(shù)的內(nèi)容非常豐富，經(jīng)過多輪課程改革，不斷削支強干，其研究的內(nèi)容、過程和方法都越來越簡潔、清晰，但構建教材結(jié)構體系的指導思想仍然是一脈相承的：根據(jù)數(shù)學知識發(fā)生發(fā)展過程的內(nèi)在邏輯，體現(xiàn)研究一個數(shù)學對象的“基本套路”，使教材具有內(nèi)容的連貫性、邏輯的嚴謹性；同時，要發(fā)揮核心概念及其蘊含的數(shù)學思想和方法的紐帶作用，使教材具有思想的一致性.具體按照如下線索展開：

背景、任意角和弧度制——概念——基本性質(zhì)(直接由定義推出的性質(zhì)，要素的關系)——圖象與性質(zhì)——三角恒等變換(圓的幾何性質(zhì)的解析表示)——函數(shù)y=Asin (ωx+φ) ——應用(注重多樣性，撤去單位圓這個“腳手架”).

4.2 具體內(nèi)容的理解與教學

4.2.1 如何引入本章內(nèi)容

問題1三角函數(shù)刻畫了客觀世界中哪一類變量關系和規(guī)律？如何引導學生分析周期性變化現(xiàn)象？

以往教材的習慣做法是將任意角三角函數(shù)作為銳角三角函數(shù)的形式推廣，人教A版的上一版(2004版)也是在銳角三角函數(shù)的基礎上進行推廣.然而，任意角的三角函數(shù)雖然與銳角三角函數(shù)有淵源，某種意義上可以把前者看成是后者的進一步發(fā)展，但它們研究的是兩類不同的問題.“三角學所討論的課題是三角形的各種各樣的幾何量之間的函數(shù)關系”([1],p.82)，銳角三角函數(shù)是解三角形的工具；而任意角的三角函數(shù)卻不限于此，它是一個周期函數(shù)，是研究現(xiàn)實世界中周期變化現(xiàn)象的“最有表現(xiàn)力的函數(shù)”.另外，從數(shù)學發(fā)展的歷史看，任意角的三角函數(shù)在18世紀之所以得到系統(tǒng)研究(其中很重要的是函數(shù)的三角級數(shù)展開式問題)，主要原因是三角函數(shù)具有周期性，這一特殊屬性在天文學、物理學中有大量應用.三角級數(shù)“在天文學中之所以有用，顯然是由于它們是周期函數(shù)，而天文現(xiàn)象大都是周期的”([2],182)，而這種應用又與當時數(shù)學研究的中心工作——微積分緊密結(jié)合，人們在研究行星運動的各種問題時，需要確定函數(shù)的Fourier展開式，而這種展開式(三角級數(shù))的系數(shù)是用定積分表示的.

所以，銳角三角函數(shù)是研究三角形各種幾何量之間的關系而發(fā)展起來的，任意角三角函數(shù)是研究現(xiàn)實中的周期現(xiàn)象而發(fā)展起來的.它們研究的對象不同，具有的性質(zhì)也不同.我們既不能把任意角的三角函數(shù)看成是銳角三角函數(shù)的推廣(或一般化)，又不能把銳角三角函數(shù)看成是任意角的三角函數(shù)在銳角范圍內(nèi)的“限定”.

為了避免在三角函數(shù)入門時給學生造成錯覺，人教A版直接從現(xiàn)實生活中典型的周期性現(xiàn)象引入，指出已有的函數(shù)都無法刻畫這類現(xiàn)象，然后將學生的思路引到圓周運動的刻畫，通過分析圓上點P在圓周上運動時與哪些因素有關，逐步把問題聚焦到圓心角的大小變化與點P之間的內(nèi)在聯(lián)系上.

實際上，人教A版這樣處理，是為了引導學生經(jīng)歷一個完整的數(shù)學化過程，使他們知道三角函數(shù)的背景和應用，為掌握本單元知識、思想和方法打下堅實基礎.

4.2.2 任意角與弧度制

問題2如何理解角的范圍的擴充？需要完成哪幾件事？

學生已經(jīng)比較熟悉數(shù)系擴充的過程與方法，角的范圍的擴充與數(shù)系擴充是完全類似的，只是關于角的運算只有加減.擴充過程中要完成的事情主要有：

(1)背景——引進大于360°的角和負角的必要性，其要點是“角是轉(zhuǎn)出來的”，射線繞端點旋轉(zhuǎn)時，確定一個旋轉(zhuǎn)需要旋轉(zhuǎn)量和旋轉(zhuǎn)方向兩個要素.

(2)定義任意角概念(正角、負角和零角的意義)，定義角的相等.要注意，定義一個對象，必須明確對象的集合中怎樣的兩個元素是“相同的”，這是后續(xù)研究的基礎.

(3)角的表示，包括符號表示，圖形表示等.

(4)角的運算，就像將數(shù)軸上的點在數(shù)軸上左右運動與實數(shù)的代數(shù)和統(tǒng)一起來一樣，我們把角的終邊的順時針、逆時針旋轉(zhuǎn)與角的加法聯(lián)系起來，可以定義角的加法、相反角、減法，并將加減運算統(tǒng)一.需要注意的是，將角α的終邊繞原點旋轉(zhuǎn)任意角β，無論是順轉(zhuǎn)還是逆轉(zhuǎn)，終邊所對應的結(jié)果都是α+β，其原因是β帶有符號，符號就表示了角的旋轉(zhuǎn)方向.用符號表示方向，在數(shù)學中是常用的、重要的.

順便指出，有的老師認為角用弧度制度量，就是實數(shù)，而實數(shù)的運算早就定義了，所以這里不必要再定義角的加減.從上述討論可以發(fā)現(xiàn)，這樣的觀點是偏頗的.

(5)象限角，讓角的頂點與原點重合、始邊與x軸非負半軸重合，從而使角的表示統(tǒng)一化、標準化、簡單化，更重要的是使任意角成為刻畫周而復始現(xiàn)象的數(shù)學工具.

這里的一個問題是，如何引導學生發(fā)現(xiàn)和提出“終邊相同的角的表示”問題？

引入象限角表示后，出現(xiàn)的問題是：給定一個角，其終邊唯一確定，但一條終邊卻可以對應無數(shù)個角.這時可以提出一個問題：兩個角，其始邊、終邊都相同，那么它們之間一定有內(nèi)在聯(lián)系，有怎樣的聯(lián)系呢？一般地，確定同一事物兩種表示之間的聯(lián)系、轉(zhuǎn)化，是數(shù)學的一個基本任務.

教學時，可以從上述一般性角度提出問題，再由形到數(shù)、從具體到抽象，把“角α的終邊繞原點旋轉(zhuǎn)整數(shù)周回到原來位置”用數(shù)量關系表示出來就得到結(jié)果.

問題3為什么要引入弧度制？如何理解弧度制？

事物數(shù)量的度量是基本問題，數(shù)學的起源就是建立數(shù)(shǔ)數(shù)(shù)的規(guī)則.度量可以使用不同的進位制.例如，物體的重量可以公制、市制、金衡制、常衡制等等，角度制是六十進制.引入弧度制的一個形式化理由是函數(shù)的定義要求定義域、值域都是實數(shù)的集合，所以必須建立起一個度量角的十進制，才能滿足要求.同時，引入弧度制后，三角函數(shù)與其他函數(shù)就可以進行運算，可以極大地拓展三角函數(shù)的應用范圍，這是另一個理由.實際上，引入弧度制的必要性要在后續(xù)的數(shù)學分析中才能完全體現(xiàn)出來.

圖2

接下來自然要研究兩種度量制的換算.對于學生而言，主要是能否提出“換算”這個問題.和前面終邊相同的角的相互關系一樣，要培養(yǎng)學生的一種意識：一個數(shù)學對象的兩種表示，必然有內(nèi)在聯(lián)系.發(fā)現(xiàn)聯(lián)系的關鍵是找到中間橋梁，這里自然是一個周角，即2π=360°.

4.2.3 三角函數(shù)概念的抽象

問題4抽象三角函數(shù)概念的主要環(huán)節(jié)有哪些？

對學生而言，獲得研究對象必須經(jīng)歷從事實到概念的數(shù)學抽象，概念學習過程就是學會數(shù)學化的過程.這里就是要通過數(shù)學抽象，將勻速圓周運動歸結(jié)到單位圓上點的運動規(guī)律的刻畫，進而得出三角函數(shù)概念，具體應解決四個問題：(1)三角函數(shù)刻畫了哪類運動變化現(xiàn)象，(2)決定這類運動變化現(xiàn)象的要素，(3)要素之間的依賴關系，(4)用什么數(shù)學模型來刻畫.人教A版安排的抽象過程如下：

首先，以“不失一般性，先研究單位圓上點的運動”，明確“任務是：單位圓⊙O上的點P以A為起點做逆時針方向旋轉(zhuǎn)，建立一個數(shù)學模型，刻畫點P的位置變化情況.”然后以直角坐標系為工具，將問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學問題：

圖3

如圖3，以單位圓的圓心O為原點，以射線OA為x軸的非負半軸，建立直角坐標系，點A的坐標為(1,0)，點P的坐標為(x,y)．射線OA從x軸的非負半軸開始，繞點O按逆時針方向旋轉(zhuǎn)角α，終止位置為OP．點P的坐標是否能由α唯一確定？

第二步，設置“探究”欄目，引導學生以函數(shù)的一般概念為指導，從特殊到一般地認識三角函數(shù)對應關系的本質(zhì)特征，確認“點P的橫坐標x、縱坐標y都是角α的函數(shù)”.

第三步，引入三角函數(shù)的符號表示，給出完整的三角函數(shù)概念.

上述內(nèi)容處理有如下考慮：

(1)聚焦周期性現(xiàn)象的數(shù)學刻畫，發(fā)揮單位圓的作用，使問題本質(zhì)化、簡單化、明確化、具體化，排除銳角三角函數(shù)的干擾；

(2)突出現(xiàn)實背景到數(shù)學概念的邏輯主線，直接針對角α的終邊與單位圓交點坐標P(x，y)之間的對應關系展開數(shù)學化活動，簡捷地完成概念抽象過程，促使學生形成清晰的三角函數(shù)概念；

(3)體現(xiàn)學生思維的邏輯性，以認知心理學概念學習理論為指導，以概念形成的方式，引導學生完整經(jīng)歷概念的抽象過程：具體例證的屬性分析——共性歸納——定義——符號表示——概念辨析——概念精致.

4.2.4 三角函數(shù)的性質(zhì)

問題5三角函數(shù)性質(zhì)要研究的問題是什么？應按怎樣的邏輯順序研究數(shù)學性質(zhì)？

三角函數(shù)的性質(zhì)有些“與眾不同”，有兩個不同角度.

第一個角度，從函數(shù)的一般性質(zhì)入手，研究三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，探究“變化中的規(guī)律性、不變性”，單調(diào)性、奇偶性、最大(小)值等是“常規(guī)性質(zhì)”，但這些“規(guī)律性”、“不變性”的表現(xiàn)形式又有自身特點——與周期性結(jié)合產(chǎn)生的變化，如最大值有無數(shù)個且呈周期性，對稱軸有無數(shù)條也呈周期性等等.

第二個角度，由“正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的基本性質(zhì)乃是圓的幾何性質(zhì)(主要是對稱性)的直接反映”所決定的性質(zhì)，表現(xiàn)形式是各種各樣的三角關系式，如此豐富的關系式是其他函數(shù)所沒有的.這些關系式可以按如下層次結(jié)構展開：

(1)設P(x,y)是單位圓上任意一點，角α的終邊是OP.讓OP繞原點旋轉(zhuǎn)k(k∈Z)周，這時的終邊所對應的角為2kπ+α.因為“單位圓上任意一點在圓周上旋轉(zhuǎn)整數(shù)回到原來的位置”，所以由定義可得sin(2kπ+α)=sinα等.

(2)圓的對稱性與直角坐標系結(jié)合，形成單位圓關于原點、坐標軸、直線y=x等的“特殊對稱性”，用三角函數(shù)進行解析表達，就是誘導公式.

這里再次強調(diào)，為了使誘導公式的教學本質(zhì)化、簡單化，同時讓學生感受現(xiàn)代數(shù)學的主流思想方法(對稱、變換等)，一定要注意按上述方法處理內(nèi)容.化任意角三角函數(shù)求值為銳角三角函數(shù)求值、“奇變偶不變，符號看象限”之類的應該揚棄.

(3)三角恒等變換公式

前面已經(jīng)討論了三角恒等變換公式的層次性，其中兩角差余弦公式是奠基的，它的本質(zhì)是什么呢？我們把公式

cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ

(*)

中相關的元素在單位圓上標示出來，如圖4.觀察可見，△A1OP1是由△AOP旋轉(zhuǎn)β角得到的，由旋轉(zhuǎn)不變性自然有|A1P1|=|AP|，再由兩點間距離公式即可得(*).所以，兩角差余弦公式的本質(zhì)是圓的旋轉(zhuǎn)對稱性的解析表示.

圖4

我們知道，旋轉(zhuǎn)對稱性是圓的最重要特性，而三角恒等變換公式是圓的旋轉(zhuǎn)對稱性的解析表示，是旋轉(zhuǎn)任意角的誘導公式，在研究三角函數(shù)深層次性質(zhì)中具有重要地位.

總之，各種三角公式本質(zhì)上是圓的基本性質(zhì)的解析表示，這些公式可以用旋轉(zhuǎn)變換的方法統(tǒng)一起來：將角α的終邊

旋轉(zhuǎn)整數(shù)周——(2kπ+α)公式；

旋轉(zhuǎn)任意角β——(α+β)公式.

順便提及，關于三角恒等變換的課題引入，目前大致有這樣幾類：①實際問題中的三角計算，例如求塔高；②“準特殊角”的求值，例如“能否利用30°，45°的三角函數(shù)值求75°的三角函數(shù)值？”；③與誘導公式建立聯(lián)系，從特殊到一般推廣；等等.

考慮到實際問題引入過程較長，“準特殊角”求值中的問題“sin75°=sin(30°+45°)=sin30°+sin45°成立嗎？如果不成立，那么sin(30°+45°)=？”人為痕跡重，而且不容易推廣為一般情形，所以都不是理想的方法.人教A版采用了如下方法：

先以“觀察誘導公式，可以發(fā)現(xiàn)它們都是特殊角與任意角α的和(或差)的三角函數(shù)與α的三角函數(shù)的恒等關系．如果把特殊角換為任意角β，那么任意角α與β的和(或差)的三角函數(shù)與α，β的三角函數(shù)會有什么關系呢？”進行宏觀引導，再設置“探究”欄目

“如果已知任意角α，β的正弦、余弦，能由此推出α+β，α-β的正弦、余弦嗎？”

引導學生自主探究.這一處理方式，與旋轉(zhuǎn)變換聯(lián)系緊密，從特殊到一般思路比較清晰.

4.2.5 三角函數(shù)的圖象與周期性、奇偶性、單調(diào)性、最大(小)值

(1)正弦函數(shù)、余弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)

這里重點說一下畫圖象的問題，實際上這是一個學習難點.函數(shù)圖象就是由對應關系y=f(x)所確定的點P(x,f(x))的軌跡.據(jù)此，利用正弦函數(shù)的定義，先在一般意義上搞定圖象上的一個點(x0，sinx0)，那么就可以通過對x0進行賦值而得出圖象上的點.人教A版就是按這一思路處理的：

第一步，以“思考”欄目“在[0，2π]上任取一個值x0，如何利用正弦函數(shù)的定義確定正弦函數(shù)值sinx0，并畫出點T(x0,sinx0)? ”引導學生畫出點T(x0,sinx0)(圖5)：

圖5

第二步，將單位圓12等分，再按上述畫點T(x0,sinx0)的方法，畫出自變量取這些值時對應的函數(shù)圖象上的點(圖6)：

圖6

第三步，利用信息技術取更多的點，作出比較精確的圖(圖7)：

圖7

通過以上三步，畫出一個最小正周期內(nèi)的圖象，然后再按照周期性拓展到整個定義域內(nèi).同樣，先得出y=sinx，x∈[0，2π]的性質(zhì)，再利用周期性進行拓展即可得出正弦函數(shù)的性質(zhì).

(2)正切函數(shù)的性質(zhì)與圖象

因為課程標準已經(jīng)去掉三角函數(shù)線，所以人教A版先利用正切函數(shù)的定義和單位圓給出tanx的圖形表示：

圖8

圖9

4.2.6 同角三角函數(shù)的基本關系式

顯然，這些基本關系式不難理解，主要問題是如何引導學生發(fā)現(xiàn)和提出同角三角函數(shù)的基本關系式？這就需要思考：同角三角函數(shù)的基本關系式與誘導公式、函數(shù)性質(zhì)等的不同之處在哪里？

可以發(fā)現(xiàn)，這里研究的是三個函數(shù)之間的關系，而誘導公式、函數(shù)性質(zhì)等研究的是三個函數(shù)各自的性質(zhì)，例如公式一是“終邊相同的同一三角函數(shù)值相等”.因為三個三角函數(shù)都是由“角α的終邊與單位圓的交點P(x,y)”這一共同背景所決定的，并且x，y之間有確定的關系x2+y2=1，所以這三個函數(shù)之間一定有內(nèi)在聯(lián)系.

所以，這里的基本關系看上去不難，但蘊含的思想是深刻的：相同背景下的不同數(shù)學對象之間應該具有內(nèi)在聯(lián)系，發(fā)現(xiàn)這種聯(lián)系的途徑是探究這些對象的要素之間是否具有確定的關系.探究這種聯(lián)系是數(shù)學研究的主要任務之一.

4.2.7 三角函數(shù)的應用

三角函數(shù)的概念、圖象與性質(zhì)的研究是基于單位圓這一理想化背景的，用三角函數(shù)的知識解決實際問題，首先需要“拆除”單位圓這個“腳手架”，將理想化的結(jié)果還原到現(xiàn)實去，這里就是要從實際問題出發(fā)，利用正弦函數(shù)建立數(shù)學模型y=Asin (ωx+φ)，研究清楚它的性質(zhì)，然后用于解釋實際問題.這是一個完整的建立函數(shù)模型解決實際問題的過程.

在認識參數(shù)A，ω，φ的意義時，人教A版不僅借助函數(shù)圖象，從函數(shù)變換的角度入手，而且注意結(jié)合函數(shù)y=Asin (ωx+φ)的實際背景，這是與以往教材不同的處理方式.

圖10

5 本單元教學的幾個要點

本單元教學要注意以下幾個方面.

5.1 把握內(nèi)容的主要變化

(1)弧度制：強調(diào)引入弧度制的必要性，加強了用初中已學的弧長與半徑的關系解釋弧度制定義的合理性；

(2)三角函數(shù)的定義：直接從建立周期現(xiàn)象的數(shù)學模型出發(fā)，利用單位圓上點的坐標定義三角函數(shù)，然后再建立與銳角三角函數(shù)的聯(lián)系；

(3)正弦線、余弦線和正切線：根據(jù)《課程標準(2017年版)》的設置，刪除正弦線、余弦線和正切線；

(4)誘導公式：從單位圓關于原點、坐標軸、直線y=x等的對稱性出發(fā)探究誘導公式，即通過把圓的對稱性“代數(shù)化”，獲得誘導公式；

(5)正弦函數(shù)的圖象：體現(xiàn)函數(shù)圖象與三角函數(shù)定義之間內(nèi)在的邏輯聯(lián)系——圖象是函數(shù)的一種表示法，先根據(jù)定義畫出任意一點，掌握了任意一點的作法原理后，通過選擇具體的、足夠多的點進行描點，最后借助技術描任意多的點，連續(xù)成線畫三角函數(shù)的圖象，這里加強了信息技術的應用；

(6)三角恒等變換：一以貫之地強調(diào)單位圓的作用，兩角差的余弦公式利用圓的旋轉(zhuǎn)對稱性進行推導；

(7)函數(shù)y=Asin(ωx+φ)：加強現(xiàn)實背景，通過實際意義和圖象變換相結(jié)合，研究參數(shù)A，ω，φ對函數(shù)y=Asin(ωx+φ)圖象的影響；

(8)三角函數(shù)的應用：體現(xiàn)三角函數(shù)應用的層次性，將三角函數(shù)應用的問題大致分成三類：第一類是勻速圓周運動的問題，如筒車勻速圓周運動的問題；第二類是彈簧振子、交變電流等物理學中的周期性現(xiàn)象的刻畫；第三類是現(xiàn)實生活中僅在一定范圍內(nèi)呈現(xiàn)出近似于周期變化的問題，如溫度隨時間呈周期性變化的問題，港口海水深度隨時間呈周期性變化的問題.

5.2 發(fā)揮單位圓的作用，加強數(shù)學的整體性

前面已經(jīng)指出，單位圓是研究三角函數(shù)的工具，在本單元教學中，要自始至終注重發(fā)揮單位圓的“腳手架”作用，在加強整體性的同時增強教學效果，降低學習難度，提高教學質(zhì)量.例如：

(1)利用單位圓直觀感受1弧度的大?。?/p>

(2)借助單位圓定義三角函數(shù)；

(3)利用單位圓研究三角函數(shù)的基本性質(zhì)；

(4)利用圓的對稱性研究誘導公式；

(5)利用圓的旋轉(zhuǎn)對稱性推導和差角公式；等等.

5.3 在一般觀念指導下展開研究

一般觀念在本單元中的指導具體體現(xiàn)在如下方面：

(1)以函數(shù)的一般概念與性質(zhì)為線索；

(2)類比指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)展開研究；

(3)注重三角函數(shù)的特殊性——周期性；

(4)加強幾何直觀(利用定義，把圓的對稱性“翻譯”為三角函數(shù)的關系式)；

(5)相同背景條件下的幾個對象之間一定有內(nèi)在聯(lián)系，發(fā)現(xiàn)聯(lián)系和轉(zhuǎn)化方法是數(shù)學研究中的基本任務；等等.

5.4 加強三角函數(shù)的應用

三角函數(shù)的應用非常廣泛，例如單擺運動、彈簧振子、圓周運動、交變電流、音樂、潮汐、波浪、四季變化、生物鐘等，教學中要加強三角函數(shù)與其他學科的聯(lián)系.對于函數(shù)y=Asin(ωx+φ)要給予特別關注，要注意利用真實的背景材料，讓學生在實際應用中加深對周期性的認識，把握A，ω，φ的實際意義.

5.5 加強信息技術的應用

本單元教學必須借助信息技術，例如：

(1)終邊相同的角的概念的認識；

(2)弧度制的認識，弧度與角度的互化，非特殊角的三角函數(shù)值的計算，sin-1x，cos-1x， tan-1x的使用；

(3)任意角的三角函數(shù)的定義；

(4)畫三角函數(shù)的圖象，用三角函數(shù)的圖象研究三角函數(shù)的性質(zhì)；

(5)畫函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的圖象，探索A，ω，φ對y=Asin(ωx+φ)圖象的影響；

(6)根據(jù)實際數(shù)據(jù)擬合函數(shù)圖象；等等．

5.6 提高對三角恒等變換公式的認識水平

要加強從三角函數(shù)性質(zhì)的角度認識三角恒等變換的思想，這些公式是圓的旋轉(zhuǎn)對稱性的解析表示，它們都可以借助單位圓作出幾何解釋.

6 結(jié)束語

本單元是必修課程函數(shù)主題的“收官”，具有綜合性，可以系統(tǒng)應用各種方法對三角函數(shù)展開研究，在基本初等函數(shù)的研究中具有代表性.在建構本單元教材時，人教A版以“研究一個數(shù)學對象的基本套路”為指導，根據(jù)三角函數(shù)的內(nèi)容特點，以圓周運動為主要背景，借助單位圓這一強有力的“腳手架”，建立三角函數(shù)的概念；用幾何直觀和代數(shù)運算的方法研究三角函數(shù)的周期性、奇偶性、單調(diào)性和最大(小)值等性質(zhì)；以“三角函數(shù)的性質(zhì)是圓的幾何性質(zhì)(主要是對稱性)的直接反映”為指導，利用圓的幾何性質(zhì)得出三角函數(shù)之間的各種恒等關系；利用三角函數(shù)刻畫一般周期性現(xiàn)象的規(guī)律，構建數(shù)學模型解決實際問題.這樣的內(nèi)容處理體現(xiàn)了數(shù)學的整體性、邏輯的連貫性、思想的一致性、方法的普適性和思維的系統(tǒng)性，實現(xiàn)了人教A版一以貫之的教材編寫思想：構建系列化數(shù)學活動，引導學生通過對現(xiàn)實問題的數(shù)學抽象獲得數(shù)學研究對象，構建研究數(shù)學對象的基本路徑，發(fā)現(xiàn)值得研究的數(shù)學問題，探尋解決問題的數(shù)學方法，獲得有價值的數(shù)學結(jié)論，建立數(shù)學模型解決現(xiàn)實問題；充分發(fā)揮“一般觀念”對數(shù)學創(chuàng)新活動的引導作用，使學生掌握抽象數(shù)學對象、發(fā)現(xiàn)和提出數(shù)學問題的方法，以實現(xiàn)從“知其然”到“知其所以然”再到“何由以知其所以然”的跨越，把數(shù)學基本思想、基本活動經(jīng)驗落實在基礎知識、基本技能的教學過程中，使數(shù)學學科核心素養(yǎng)真正落地.