Jordan標(biāo)準(zhǔn)形的計(jì)算與矩陣相似的判定

尹小艷， 楊丹丹， 潘銘櫻

(西安電子科技大學(xué) >數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，西安710071)

1 引 言

Jordan標(biāo)準(zhǔn)形理論闡述了一個(gè)n階復(fù)矩陣在相似意義下最簡(jiǎn)單最本質(zhì)的形式，是線性代數(shù)中處理特征值相關(guān)問題的常用和重要工具，但線性代數(shù)對(duì)Jordan標(biāo)準(zhǔn)形的計(jì)算并沒有給出好的辦法.本文借助特征值的代數(shù)重?cái)?shù)和幾何重?cái)?shù)， 對(duì)三階、四階復(fù)矩陣及某些特殊的高階矩陣，給出計(jì)算其Jordan標(biāo)準(zhǔn)形的一種簡(jiǎn)單有效的方法， 并進(jìn)一步探討矩陣相似的判定問題，對(duì)3階、4階矩陣，分別給出切實(shí)可行且易于操作的判定相似的充要條件.這是高等代數(shù)、線性代數(shù)教學(xué)中的一個(gè)重點(diǎn)和難點(diǎn)，也是近年來研究生入學(xué)考試命題的一個(gè)熱點(diǎn)問題[1-4].

2 特征值的代數(shù)重?cái)?shù)和幾何重?cái)?shù)

眾所周知，數(shù)λ是n階方陣A的特征值當(dāng)且僅當(dāng)λ是其特征多項(xiàng)式|λE-A|的根，非零向量x是A的屬于特征值λ的特征向量當(dāng)且僅當(dāng)x是齊次線性方程組(λE-A)x=0的非零解.

定義1對(duì)n階方陣A的任意特征值λ，若λ是|λE-A|的m重根，就稱特征值λ是A的m重特征值，也稱λ的代數(shù)重?cái)?shù)是m，記作mλ=m.特別地，若m=1，稱λ是A的單特征值.

記Vλ={x|Ax=λx}為特征值λ的特征子空間，稱Vλ的維數(shù)為特征值λ的幾何重?cái)?shù)，記作nλ=dimVλ.根據(jù)特征向量的計(jì)算方法易知nλ=n-r(λE-A).

3 Jordan標(biāo)準(zhǔn)形理論

Jordan標(biāo)準(zhǔn)形每個(gè)n階復(fù)方陣A一定與一個(gè)Jordan形矩陣J=diag(J1，J2，…，Js)相似，即

?T:可逆，s.t.T-1AT=J=diag(J1，…，Js)，

且這個(gè)Jordan形矩陣J除了其中Jordan塊的排列順序外由A唯一確定，稱為A的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形，其中第i個(gè)Jordan塊為

這里所有Jordan塊的主對(duì)角線上元素的集合即為矩陣A的所有特征值(重根按重?cái)?shù)算)，可逆矩陣T的各個(gè)列向量分別為對(duì)應(yīng)的廣義特征向量.

特別地，當(dāng)每個(gè)Jordan塊都是1階時(shí)，Jordan標(biāo)準(zhǔn)形就變成了對(duì)角形.

關(guān)于矩陣的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形，有以下重要結(jié)論:

命題1對(duì)特征值λi，Jordan標(biāo)準(zhǔn)形J中，以λi為主對(duì)角元的Jordan塊的塊數(shù)等于λi的幾何重?cái)?shù)nλi，而所有這樣的Jordan塊的階數(shù)之和等于特征值λi的代數(shù)重?cái)?shù)mλi.

證由Jordan標(biāo)準(zhǔn)形定理

?T：可逆，s.t.T-1AT=J=diag(J1，…，Js)，

從而A與J特征值相同，而J為下三角形，故其特征值即為所有主對(duì)角元素，從而以λi為主對(duì)角元的Jordan塊的階數(shù)之和必為特征值λi出現(xiàn)的次數(shù)，也就是它的代數(shù)重?cái)?shù)mλi.

關(guān)于幾何重?cái)?shù)，不妨設(shè)J中以λi為主對(duì)角元的Jordan塊有2個(gè)，即

T-1AT=J=diag(J1，J2，J3，…，Js)，

λiE-A=T(λiE-J)T-1=Tdiag(λiE-J1，λiE-J2，λiE-J3，…，λiE-Js)T-1，

知

且λiE-Jk(k=3，…，s)均為滿秩下三角形，可知λi的幾何重?cái)?shù)nλi=n-r(λiE-A)=n-r(λiE-J)=n-(n-2)=2=J中以λi為主對(duì)角元的Jordan塊的塊數(shù).若J中以λi為主對(duì)角元的Jordan塊有p個(gè)，同理可證結(jié)論成立.

推論1對(duì)n階復(fù)方陣A的任意特征值λi，代數(shù)重?cái)?shù)大于等于其幾何重?cái)?shù)，即mλi≥nλi.

顯然，對(duì)A的單特征值λ，必有mλ=nλ=1.

Jordan標(biāo)準(zhǔn)形理論表明，任意一個(gè)n階復(fù)矩陣經(jīng)過相似變換最簡(jiǎn)單可以變成由Jordan塊構(gòu)成的塊對(duì)角形.因此是線性代數(shù)和高等代數(shù)中處理特征值相關(guān)問題的常用工具，比如特征值譜映射定理的證明，比如矩陣函數(shù)的計(jì)算等.關(guān)于Jordan標(biāo)準(zhǔn)形的計(jì)算，高等代數(shù)[1]中用一整章的篇幅，通過引入λ-矩陣及行列式因子、不變因子、初等因子等概念給出.而利用命題1，對(duì)三階、四階矩陣及某些特殊的高階矩陣，可以完全避開λ-矩陣，簡(jiǎn)單地計(jì)算出Jordan標(biāo)準(zhǔn)形，以下分別分析:

(i) 設(shè)A為3階復(fù)方陣:

情形1若A有3個(gè)互異特征值λ1，λ2，λ3，即mλi=nλi=1，i=1，2，3，則A必可相似對(duì)角化，其Jordan標(biāo)準(zhǔn)形必為J=diag(λ1，λ2，λ3).

情形2若A有2個(gè)互異特征值λ1(二重)，λ2，即mλ1=2；mλ2=1，此時(shí)

當(dāng)nλ1=2，A的Jordan塊確定:J1=J2=λ1，J3=λ2.

情形3若A只有1個(gè)互異特征值λ1(三重)，即代數(shù)重?cái)?shù)mλ1=3，于是

當(dāng)nλ1=3，A的Jordan塊確定:J1=J2=J3=λ1.

(ii) 設(shè)A為4階復(fù)方陣:

情形1若A有4個(gè)互異特征值λ1，λ2，λ3，λ4，則必有mλi=nλi=1，i=1，2，3，4.于是A可相似對(duì)角化，其Jordan標(biāo)準(zhǔn)形為J=diag(λ1，λ2，λ3，λ4).

情形2若A有3個(gè)互異特征值，則必有且僅有一個(gè)特征值為二重特征值，其余均為單特征值.不妨設(shè)A的特征值為λ1(二重)，λ2，λ3，則

當(dāng)nλ1=2時(shí)，A的Jordan塊為J1=J2=λ1，J3=λ2，J4=λ3.

情形3若A有2個(gè)互異特征值λ1(二重)，λ2(二重)，即mλ1=2；mλ2=2，nλ1=1或nλ1=2，nλ2=1或nλ2=2，從而

當(dāng)nλ1=nλ2=2時(shí)，A的Jordan塊為:J1=J2=λ1，J3=J4=λ2.

情形4若A有2個(gè)互異特征值λ1，λ2(三重)，此時(shí)

當(dāng)nλ2=3時(shí)，A的Jordan塊為:J1=λ1，J2=J3=J4=λ2.

情形5若A只有1個(gè)互異特征值λ1(四重)，即mλ1=4，于是

當(dāng)nλ1=2 ，此時(shí)A有兩個(gè)Jordan塊J1，J2，且

當(dāng)nλ1=4，A的Jordan塊確定:J1=J2=J3=J4=λ1.

解先求矩陣A的特征值得λ1=2，λ2=-2(二重).

對(duì)二重特征值-2，幾何重?cái)?shù)為nλ2=3-r(λ2E-A)=3-2=1，

解先求矩陣A的特征值:|λE-A|=-(λ-1)4=0得λ1=1(四重).

事實(shí)上， 除了三階、四階矩陣，對(duì)某些高階矩陣A，根據(jù)命題1，只要A的特征值及其代數(shù)重?cái)?shù)和幾何重?cái)?shù)的值能使我們較為容易地確定出A的所有Jordan塊，就可以確定其Jordan標(biāo)準(zhǔn)形.

解顯然A的特征值為λ1=a1(n重)，且其幾何重?cái)?shù)為nλ1=n-r(λ1E-A)=n-(n-1)=1，因此A的Jordan塊只有一個(gè)，即為A的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形:

解不難看出

4 三/四階矩陣相似的判定

數(shù)字矩陣相似關(guān)系的判定是高等代數(shù)中的一個(gè)難點(diǎn)， 通過引入λ-矩陣，有如下結(jié)論:

兩個(gè)n階復(fù)數(shù)字矩陣A與B相似

?A與B有相同的初等因子組/不變因子組/各級(jí)行列式因子

?A與B的特征矩陣等價(jià).

與Jordan標(biāo)準(zhǔn)形的計(jì)算類似，對(duì)三階、四階復(fù)矩陣及一些特殊的高階復(fù)矩陣，利用命題1，可以完全避開λ矩陣及其相關(guān)概念，僅通過計(jì)算特征值及其代數(shù)和幾何重?cái)?shù)來判斷相似性.事實(shí)上，由相似關(guān)系的對(duì)稱性和傳遞性，不難得到：

命題2兩個(gè)n階復(fù)數(shù)字矩陣A與B相似

? 他們有相同的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形

? 他們有相同的Jordan塊.

根據(jù)命題1、2，對(duì)3階方陣，其Jordan標(biāo)準(zhǔn)形由其特征值及每個(gè)特征值的代數(shù)及幾何重?cái)?shù)唯一確定.于是若兩個(gè)3階復(fù)方陣有相同的特征值且每個(gè)特征值的代數(shù)重?cái)?shù)和幾何重?cái)?shù)對(duì)應(yīng)相等，則他們的Jordan塊必定相同，從而必相似.

命題33階復(fù)方陣A，B相似當(dāng)且僅當(dāng)它們有相同的特征值且每個(gè)特征值的代數(shù)重?cái)?shù)和幾何重?cái)?shù)對(duì)應(yīng)相等.

深刻理解命題3，可以使我們非常容易地判斷3階復(fù)方陣的相似問題，甚至有時(shí)僅通過觀察就可以得到正確結(jié)論，簡(jiǎn)潔明了.比如在2018年全國(guó)碩士研究生招生數(shù)學(xué)科考試(數(shù)一、二、三)中有如下題目：

顯然題目所給矩陣為由一個(gè)3階Jordan塊構(gòu)成的Jordan標(biāo)準(zhǔn)形矩陣，由命題1，特征值為λ=1的代數(shù)重?cái)?shù)mλ=1=3，nλ=1=1，從而與之相似的矩陣應(yīng)該滿足r(1·E-A)=3-nλ=1=2，在上述4個(gè)選項(xiàng)中，顯然只有選項(xiàng)(A)滿足條件，故選(A).

類似地，對(duì)4階方陣，由前面分析知，若兩個(gè)4階復(fù)方陣A，B有相同的特征值且每個(gè)特征值的代數(shù)重?cái)?shù)和幾何重?cái)?shù)對(duì)應(yīng)相等，僅當(dāng)出現(xiàn)mλ1=4，nλ1=2時(shí)，需判斷關(guān)系式(λ1E-A)2=(λ1E-B)2是否相等，其余情況均可得出A，B的Jordan塊相同，從而相似.

命題4對(duì)4階復(fù)方陣A，B:

(i) 若A，B有相同的4重特征值λ1，且其幾何重?cái)?shù)均為2，則

A，B相似 ? (λ1E-A)2=(λ1E-B)2；

(ii)其余情況下，均有

A，B相似 ?A，B特征值相同且每個(gè)特征值的代數(shù)重?cái)?shù)和幾何重?cái)?shù)分別對(duì)應(yīng)相等.

由命題1、2，一般地，對(duì)n階復(fù)方陣A，B， 有

命題5兩個(gè)n階復(fù)數(shù)字矩陣A與B相似，則它們有相同的特征值，且每個(gè)特征值的代數(shù)重?cái)?shù)和幾何重?cái)?shù)分別對(duì)應(yīng)相等.

命題5的條件必要非充分，經(jīng)?？梢杂脕砼卸╪階復(fù)方陣A，B不相似.

解顯然A，B的特征值均為λ1=1(n重)，但對(duì)矩陣A，其幾何重?cái)?shù)為nλ1(A)=1，而對(duì)矩陣B，其幾何重?cái)?shù)為nλ1(B)=n-r(λ1E-B)=n-(n-2)=2，因此A，B必不相似.

5 結(jié) 論

本文借助于特征值的代數(shù)重?cái)?shù)和幾何重?cái)?shù)的概念， 討論了Jordan標(biāo)準(zhǔn)形的計(jì)算及數(shù)字矩陣相似關(guān)系的判定問題.分別對(duì)三階、四階復(fù)矩陣， 給出一種計(jì)算其Jordan標(biāo)準(zhǔn)形的簡(jiǎn)單有效的新方法； 同時(shí)，對(duì)3階、4階矩陣，分別給出了相似判定的充要條件， 并得到任意n階復(fù)方陣相似的一個(gè)必要條件；多個(gè)數(shù)值例子驗(yàn)證了所得結(jié)果的有效性.本文工作為Jordan標(biāo)準(zhǔn)形的計(jì)算及矩陣相似的判定進(jìn)行了有益探索，加深了同學(xué)們對(duì)相關(guān)理論、技能的理解和掌握.

致謝參考文獻(xiàn)4對(duì)本文工作有很大啟發(fā)， 審稿人的寶貴建議使本文得到進(jìn)一步完善， 在此一并表示衷心感謝!