問題解讀思路構(gòu)建，方法探究思維提升

張小麗

[摘? 要] 以拋物線為背景的函數(shù)壓軸題具有極高的研究價(jià)值，探究解題方法可顯著提升解題能力. 考題往往綜合性較強(qiáng)，探究過程需深入解讀考題結(jié)構(gòu)，把握突破重點(diǎn)，結(jié)合解題方法構(gòu)建思路. 文章將以一道函數(shù)綜合題為例，進(jìn)行問題解析，方法探究，并開展解后反思，提出相應(yīng)的教學(xué)建議.

[關(guān)鍵詞] 拋物線;平移;四點(diǎn)共圓;定點(diǎn);思想方法

考題呈現(xiàn)

考題? （2020年武漢中考數(shù)學(xué)卷第24題）將拋物線C：y=（x-2）2向下平移6個(gè)單位長度得到拋物線C1，再將拋物線C1向左平移2個(gè)單位長度得到拋物線C2 .

（1）直接寫出拋物線C1，C2的解析式;

（2）如圖1，點(diǎn)A在拋物線C1對(duì)稱軸l右側(cè)上，點(diǎn)B在對(duì)稱軸l上，△OAB是以O(shè)B為斜邊的等腰直角三角形，求點(diǎn)A的坐標(biāo);

（3）如圖2，直線y=kx（k≠0，k為常數(shù)）與拋物線C2交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，M為線段EF的中點(diǎn);直線y=-x與拋物線C2交于G，H兩點(diǎn)，N為線段GH的中點(diǎn). 求證：直線MN經(jīng)過一個(gè)定點(diǎn).

問題解析

上述是以拋物線為背景的函數(shù)綜合題，共分三小問，涉及求函數(shù)解析式、求特殊三角形的頂點(diǎn)坐標(biāo)以及論證直線過定點(diǎn). 問題解析要充分利用拋物線的相關(guān)知識(shí)，綜合幾何性質(zhì)構(gòu)建思路，下面逐問討論.

1.把握平移過程，特性利用運(yùn)算

根據(jù)題干信息可知拋物線C向下平移6個(gè)單位長度得到了C1，C1向左平移2個(gè)單位長度得到了C2，根據(jù)函數(shù)圖像的平移規(guī)律即可推導(dǎo)函數(shù)解析式，規(guī)律如下：圖像上下平移，函數(shù)值上加下減;圖像左右平移，自變量左加右減. 實(shí)際求解時(shí)將函數(shù)解析式變形為頂點(diǎn)式，可降低運(yùn)算難度.

拋物線C：y=（x-2）2向下平移6個(gè)單位長度得到拋物線C1，則拋物線C1的解析式為y=（x-2）2-6，即y=x2-4x-2. 拋物線C1向左平移2個(gè)單位長度得到拋物線C2，則拋物線C2的解析式為y=（x-2+2）2-6，即y=x2-6.

點(diǎn)睛? 函數(shù)圖像與函數(shù)解析式緊密相關(guān)，圖像平移規(guī)律與函數(shù)解析式變化相對(duì)應(yīng)，需要注意的是圖像的上下平移反映在函數(shù)值變化上，圖像的左右平移反映在自變量的變化上，因此將解析式變形為頂點(diǎn)式可直接代入平移單位長度.

2.巧用四點(diǎn)共圓，幾何性質(zhì)突破

該問在拋物線中構(gòu)建了等腰直角三角形△OAB，求點(diǎn)A的坐標(biāo)需要借用幾何性質(zhì)來構(gòu)建思路. 問題解析需要關(guān)注條件“以O(shè)B為斜邊的直角三角形”，聯(lián)想直角三角形斜邊中線等于斜邊的一半，可推知直角三角形一定存在對(duì)應(yīng)的外接圓，且圓心恰好為斜邊的中點(diǎn). 根據(jù)上述知識(shí)基礎(chǔ)可構(gòu)建四點(diǎn)共圓模型，利用圓的性質(zhì)破題.

如圖3所示，過點(diǎn)A作x軸的垂線，設(shè)垂足為C，連接AD. 已知△OAB為等腰直角三角形，則∠BOA =45°，又知∠BDO=∠BAO=90°，所以點(diǎn)A、B、O、D四點(diǎn)共圓，則∠BDA=∠BOA=45°，∠ADC=90°-∠BDA=45°，所以△DAC為等腰直角三角形，DC=AC. 已知點(diǎn)A位于拋物線C1對(duì)稱軸l的右側(cè)上，點(diǎn)B在對(duì)稱軸l上，則拋物線C1的對(duì)稱軸為x=2，可設(shè)點(diǎn)A的坐標(biāo)為（x，x2-4x-2）.

當(dāng)點(diǎn)A和B位于x軸的上方時(shí)，則DC=x-2，AC=x2-4x-2，由DC=AC可得x-2=x2-4x-2，解得x=5或者x=0（舍去），所以點(diǎn)A的坐標(biāo)為（5，3）;

當(dāng)點(diǎn)A和B位于x軸的下方時(shí)，同理可得DC= x-2，AC=-（x2-4x-2），由等量關(guān)系可得x-2=-（x2-4x-2），解得x=4或x= -1（舍去），所以點(diǎn)A的坐標(biāo)為（4，-2）;

綜上可知，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（5，3）或（4，-2）.

點(diǎn)睛? 在本題目中，四點(diǎn)共圓的優(yōu)勢(shì)是可利用圓周角相等進(jìn)行角度轉(zhuǎn)化，即由“∠BDA=∠BOA=45°”推得“∠ADC=90°-∠BDA=45°”，從而提取關(guān)鍵條件“DC=AC”，為后續(xù)方程構(gòu)建奠定基礎(chǔ). 四點(diǎn)共圓的判斷方法有很多，除了上述利用直角三角形外，還可以從定點(diǎn)距離相等、四邊形對(duì)角互補(bǔ)等角度進(jìn)行判斷.

3.聯(lián)立參數(shù)方程，特性探究定點(diǎn)

第三問探究直線MN經(jīng)過一個(gè)定點(diǎn)，由拋物線的解析式可知該直線的解析式中含有參數(shù)k，解析的基本思路是用參數(shù)k表示直線上的點(diǎn)坐標(biāo)，用待定系數(shù)法求直線MN的解析式，然后根據(jù)直線解析式的特點(diǎn)來判斷直線是否經(jīng)過定點(diǎn).

已知直線y=kx（k≠0，k為常數(shù)）與拋物線C2交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，聯(lián)立方程y=kx，y=x2-6，整理可得x2-kx-6=0，設(shè)點(diǎn)E和F的橫坐標(biāo)分別為xE、xF，則xE+xF=k，所以中點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為xM= =，則中點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為yM=kx=，點(diǎn)M的坐標(biāo)為，;同理可得點(diǎn)N的坐標(biāo)為-，. 設(shè)直線MN的解析式為y=ax+b（a≠0），將點(diǎn)M和N的坐標(biāo)代入解析式，可得=·a+b=-·a+b，解得a=，b=2，所以直線MN的解析式為y= x+2（k≠0）. 分析可知，不論k取何值（k≠0），當(dāng)x=0時(shí)，y=2，即直線MN過定點(diǎn)（0，2）.

點(diǎn)睛? 探究直線過定點(diǎn)是典型問題，上述采用聯(lián)立參數(shù)方程，由解析式特點(diǎn)分析所過定點(diǎn)的方式. 另外，特殊值思想在該類問題中有著廣泛的應(yīng)用，部分問題中可先考慮動(dòng)直線的特殊情況，推斷出所過定點(diǎn)，最后加以驗(yàn)證.

深入探究

上述為函數(shù)綜合題，其中第二問利用四點(diǎn)共圓來巧妙解題，利用圓周角相等實(shí)現(xiàn)等角轉(zhuǎn)換. 另外四點(diǎn)共圓模型中還具有如下性質(zhì)：①同側(cè)共底三角形的頂角相等，②內(nèi)接四邊形對(duì)角互補(bǔ)，③內(nèi)接四邊形的外角等于內(nèi)對(duì)角. 實(shí)際解題時(shí)要充分利用四點(diǎn)共圓模型的特性，合理構(gòu)建解題思路.

例題：已知Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=1，BC=7，點(diǎn)D位于CA的延長線上，AE⊥BD，垂足為點(diǎn)E，AE的延長線交CA的平行線于點(diǎn)F，連接CE交AB于點(diǎn)G，如圖4所示.

（1）若點(diǎn)E為BD的中點(diǎn)，試求tan∠AFB的值;

（2）分析CE·AF的值是否隨線段AD的長度變化而變化？若不變，請(qǐng)求出CE·AF的值;若變化，請(qǐng)說明理由.

解析：（1）略;

（2）設(shè)AB的中點(diǎn)為點(diǎn)O，連接OC和OE，如圖5所示，已知∠BCA=∠BEA=90°，則OC=OA=OB，所以點(diǎn)A、C、B、E四點(diǎn)共圓，由共圓模型可知∠BCE=∠BAF，∠CBE+∠CAE=180°. 因?yàn)锽F∥CD，則∠BFA+∠CAE=180°，所以∠CBE=∠BFA，則△BCE∽△FAB，由相似性質(zhì)可得=，即CE·FA=BC·AB，其中BC=7，AB=5，所以CE·FA=35，則CE·AF的值不變，為定值35.

評(píng)析? 上述第（2）問求解時(shí)借用了四點(diǎn)共圓模型，利用模型的兩大性質(zhì)（①同弧所對(duì)的圓周角相等，②內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)）進(jìn)行等角推導(dǎo)，從而提取關(guān)鍵的相似三角形. 四點(diǎn)共圓解題的關(guān)鍵有兩個(gè)：一是準(zhǔn)確提取四點(diǎn)共圓條件，二是合理利用共圓模型的特性進(jìn)行條件轉(zhuǎn)化.

解后思考

上述對(duì)一道拋物線綜合題進(jìn)行了解析突破，并對(duì)四點(diǎn)共圓方法進(jìn)行了深入探究，其中涉及的求函數(shù)解析式、求點(diǎn)坐標(biāo)以及探究直線過定點(diǎn)屬于典型問題，挖掘問題結(jié)構(gòu)、關(guān)注思維過程可有效提升解題能力，下面結(jié)合教學(xué)實(shí)踐深入反思.

1.深刻理解問題結(jié)構(gòu)，圍繞重點(diǎn)探究思路

函數(shù)壓軸題的綜合性較強(qiáng)，深刻理解題干信息，把握?qǐng)D像結(jié)構(gòu)是解題的基礎(chǔ)，也是構(gòu)建解題思路的前提. 以上述考題為例，第（1）問突破需要把握拋物線二次平移的過程，然后結(jié)合平移規(guī)律進(jìn)行解析式推導(dǎo)，重點(diǎn)是平移規(guī)律與解析式的關(guān)聯(lián);第（2）問求解點(diǎn)坐標(biāo)，但問題解析需要把握所構(gòu)三角形位置關(guān)系及特性，在此基礎(chǔ)上構(gòu)建四點(diǎn)共圓模型，進(jìn)行等角轉(zhuǎn)換，重點(diǎn)是四點(diǎn)共圓成立的條件及性質(zhì);第（3）問探究直線過定點(diǎn)，需要把握直線、拋物線之間的位置關(guān)系，包括交點(diǎn)、相對(duì)關(guān)系，在此基礎(chǔ)上進(jìn)行直線設(shè)元推導(dǎo)、定點(diǎn)分析，重點(diǎn)是求直線參數(shù)方程的技巧. 教學(xué)中建議引導(dǎo)學(xué)生閱讀考題，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合方法解讀條件，串聯(lián)問題條件，思考解題重點(diǎn)，教學(xué)解題方法.

2.拓展探究重點(diǎn)解法，多樣呈現(xiàn)提升思維

中考?jí)狠S題的解析過程會(huì)用到一些典型的解法，深入探究問題解法，合理拓展有利于提升學(xué)生的解題思維. 以上述考題為例，第（2）問點(diǎn)坐標(biāo)求解過程中運(yùn)用了四點(diǎn)共圓模型，利用模型的特性完成了等角轉(zhuǎn)換. 該方法是初中數(shù)學(xué)需要重點(diǎn)掌握的解法，教學(xué)中可開展專題探究，指導(dǎo)學(xué)生深入學(xué)習(xí)四點(diǎn)共圓模型，探究四點(diǎn)共圓成立的條件以及模型所具有的性質(zhì). 四點(diǎn)共圓方法屬數(shù)學(xué)隱圓法的一種，探究教學(xué)中可圍繞隱圓法進(jìn)行問題設(shè)計(jì)，結(jié)合實(shí)際問題引導(dǎo)學(xué)生感悟方法，培養(yǎng)學(xué)生的洞察力，拓寬解題視野，提升數(shù)學(xué)思維.

3.滲透數(shù)學(xué)思想方法，發(fā)展數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)

滲透思想方法是考題探究的重要環(huán)節(jié)，即在解題教學(xué)中引導(dǎo)學(xué)生感悟數(shù)學(xué)思想，理解方法精髓，培養(yǎng)利用思想方法解題的思維習(xí)慣. 以上述考題為例，問題解析過程需要綜合數(shù)形結(jié)合思想、分類討論思想、模型思想、化歸轉(zhuǎn)化思想、方程思想等，正是在數(shù)學(xué)思想的引導(dǎo)下完成了問題解析、模型構(gòu)建、條件轉(zhuǎn)化. 考慮到數(shù)學(xué)思想較為抽象，教學(xué)中建議結(jié)合具體內(nèi)容開展思想方法學(xué)習(xí)，以數(shù)形結(jié)合思想為例，可結(jié)合函數(shù)內(nèi)容進(jìn)行思想滲透，引導(dǎo)學(xué)生關(guān)注函數(shù)解析式的特性，對(duì)照函數(shù)圖像進(jìn)行幾何意義教學(xué)，讓學(xué)生感悟思想內(nèi)涵，逐步發(fā)展學(xué)生的核心素養(yǎng).