導數(shù)概念的探究式教學設計

齊 靜

(石家莊職業(yè)技術學院 信息工程系，河北 石家莊 050081)

高等數(shù)學是高職高專理工科學生必修的一門基礎課程，是學好其他專業(yè)課的基礎和工具.導數(shù)是高等數(shù)學的一個重要的基礎概念，既是函數(shù)極限的實際應用，也是后續(xù)學習不定積分的知識基礎，它不僅在物理學、醫(yī)學、經(jīng)濟學等學科中有著重要的作用，也是研究函數(shù)的單調性、極值、最值及解決實際生活中最優(yōu)化問題的重要工具.導數(shù)也是高等數(shù)學中的一個抽象概念，雖然學生在高中階段已初步了解了導數(shù)的概念，并能進行一些簡單的運算，但對于導數(shù)概念的深刻內涵還沒有理解透徹，如果用傳統(tǒng)教學方法進行教學，很難調動學生學習的積極性，學生學起來也有一定的困難，達不到理想的教學效果.因此，本文嘗試采用探究式教學法進行導數(shù)概念教學，通過創(chuàng)設情境、合作探究、歸納總結、鞏固練習、知識小結來調動學生學習的積極性，讓學生主動參與到課程學習過程中，通過自主探究、合作交流，更好地理解導數(shù)的概念，掌握用導數(shù)求解瞬時速度和切線斜率的方法，即求增量，定比值，取極限[1].

1 創(chuàng)設情境，激發(fā)學生學習興趣

著名物理學家、諾貝爾獎獲得者費恩曼曾講過一則笑話.一位女士因駕車超速而被警察攔住.警察走過來對她說：“太太，您剛才的車速是60英里每小時(1英里=1.609千米)！”這位女士反駁說：“不可能的！我才開了7分鐘，還不到一個小時，怎么可能走了60英里呢？”“太太，我的意思是：如果您繼續(xù)像剛才那樣開車，在下一個小時里您將駛過60英里.”“這更是不可能的.我只要再行駛10英里就到家了，根本不需要再開過60英里的路程.”[2]17對此，提出如下問題：(1)車速60英里/小時是怎樣測定的？ (2)一小時開60英里，這位太太又是怎么計算的？(3)這位太太沒弄清楚什么概念？

通過與學生討論這些問題，引出高中學習過的瞬時速度概念，進而拋出如何求瞬時速度的問題，從而自然地過渡到第二個環(huán)節(jié).超速是每個學生都熟悉的實際問題，有的學生可能還親身經(jīng)歷過.用學生熟知的實例引出相關概念，既可激發(fā)學生的求知欲與學習興趣，又能喚醒學生的記憶，為用極限求瞬時速度做好鋪墊.

2 合作探究，類比遷移，交流討論

例1求變速直線運動的瞬時速度.

通過解決這一系列的小問題可降低學習的難度，讓每個學生都參與其中，主動探究；借助幾何畫板動態(tài)演示將抽象的知識形象化、具體化，化解了難點；利用“非常非常小”“越來越小”“越來越接近”等這些形象的、常見的極限語言，可以使學生很自然地理解瞬時速度的定義，從而解決問題.

例2求平面曲線的切線斜率.

(1)圓的切線是如何定義的？(2)任意曲線的切線也可以這樣定義嗎？給出理由.

用幾何畫板描繪出一條曲線，如y=sinx，作出曲線上某一點的切線，讓學生觀察，隨著點在曲線上的運動，切線也隨之變化，而切線與曲線的交點不只一個，這就與學生已有的知識產(chǎn)生沖突，讓學生意識到用已有的知識定義切線已經(jīng)不合適了，從而激起學生的求知欲，讓學生帶著問題學習.

用PPT展示切線定義： 設有曲線C及C上的一點M，在點M外另取C上一點N，作割線MN，當點N沿曲線C趨于點M時，如果割線MN繞點M旋轉而趨于極限位置MT，直線MT就稱為曲線C在點M處的切線.用幾何畫板動態(tài)展示切線的形成過程，讓學生進行觀察、思考、討論，回答幾個問題： 一是當點N沿曲線C趨于點M時，割線MN是如何運動的；二是當割線MN運動到它的極限位置割線MT時，弦長|MN|的變化趨勢？∠NMT的變化趨勢？對此，通過幾何畫板的動態(tài)展示，幫助學生從運動角度直觀地理解曲線的切線定義，從新的角度認識到切線就是割線的極限位置，為用極限思想求切線斜率打下知識基礎；三是要求出過點M(x0,y0)的切線方程，還需要知道什么條件；四是直線的斜率怎么表示；五是既然切線是割線的極限位置，能否用割線斜率的極限來表示切線的斜率？

通過讓學生討論、交流，再加上一系列問題的引導，用割線的斜率逼近切線的斜率的思路就自然而然了，這個過程有利于培養(yǎng)學生的創(chuàng)新思維及知識遷移能力；通過幾何畫板的動態(tài)演示，借助例1的方法讓學生主動探究，體驗數(shù)學知識的形成過程，在運動變化過程中感受極限思想的運用，體會數(shù)學的過程美.

3 歸納總結，形成概念

引導學生對例1、例2的解決過程進行分析，發(fā)現(xiàn)二者雖然一個是物理問題，一個是幾何問題，但僅從數(shù)學角度考慮，二者解決問題的思路是一樣的，即數(shù)學的本質是相同的，都是函數(shù)增量與自變量增量比值的極限，所運用的都是極限思想.這種特殊的極限就是函數(shù)的導數(shù)，從而進行點題，引出導數(shù)的概念及公式[3]，指明導數(shù)就是函數(shù)的變化率，進而引導學生用導數(shù)表示例1、例2中的瞬時速度和切線斜率，熟悉導數(shù)的記法和符號，通過兩個例子的解決過程，歸納出解決此類題目的步驟：求增量，定比值，取極限.最后利用這個方法求解課后習題.

通過分析，引導學生由具體的實際問題抽象得到導數(shù)的概念，實現(xiàn)由具體到抽象、由特殊到一般的思維飛躍；初步運用求導的三個步驟解題，讓學生認識到三個步驟缺一不可，從而加深學生對導數(shù)概念的理解，培養(yǎng)其運用所學知識解決問題的能力.

為了加強學生對導數(shù)的理解，對導數(shù)公式進行等量變換，得到導數(shù)的幾種常見形式：

其中，h為自變量的增量.

通過這幾種常見形式，讓學生體會到導數(shù)公式可以有不同的形式，但其本質相同，即函數(shù)值的增量與對應的自變量增量的極限，以進一步理解導數(shù)的概念.

這幾個變式是對導數(shù)公式中“相應自變量”形式的變化.通過這幾個變式練習讓學生更加深刻地認識到，導數(shù)就是函數(shù)增量與相應的自變量增量比值的極限，進一步體會導數(shù)的形式可以千變萬化，但實質不變——變化率，為學習導函數(shù)做好鋪墊.

4 鞏固練習，深化認識

例3判斷函數(shù)f(x)=|x|在x=0處是否可導[3].

引導學生根據(jù)導數(shù)的定義先獨立解答，然后就學生解題過程中出現(xiàn)的問題(|x|=x還是|x|=-x)讓學生思考討論，提示導數(shù)的本質是一個極限，而函數(shù)的極限有左、右極限，那么函數(shù)的導數(shù)有左、右導數(shù)嗎？引入左、右導數(shù)的概念，并展示完整的解題過程供學生修正.

通過此題讓學生主動發(fā)現(xiàn)問題，引發(fā)學生的思維碰撞，激起學生的求知欲，使他們更加積極主動地探究，也為自然而然地引入左、右導數(shù)做好鋪墊，而由左、右極限引入左、右導數(shù)，實現(xiàn)了知識的遷移，便于學生理解.

x=1處是否可導.

練習2和練習3是對例1的補充.求分段函數(shù)分界點的導數(shù)是學生學習的難點，但有了例1的方法作鋪墊，對這種問題的解決方法學生就容易掌握了.首先，通過這兩個練習鞏固學生對左、右導數(shù)的認識，強調從x0的左邊或右邊逼近x0時函數(shù)的表達式是不同的，但是f(x0)的值卻只有一個；其次，說明不可導點也是存在的，為學習可導與連續(xù)之間的關系埋下伏筆；再次，對有的學生“投機取巧”妄圖通過求出每段函數(shù)的導函數(shù)，代入分段點的值來求導數(shù)的做法，給出有力的“打擊”，說明對于分段函數(shù)分段點的導數(shù)只能通過左、右導數(shù)來求解，為求分段函數(shù)的導函數(shù)埋下伏筆.

例4探究函數(shù)f(x)=|x|在x=2，x=1，x=-1，x=-2處的導數(shù).你發(fā)現(xiàn)了什么？

例4與例1相對應，首先，讓學生明確不是分段點的導數(shù)值可由導數(shù)公式直接求解，不需要求解左、右導數(shù).

其次，通過求導讓學生發(fā)現(xiàn)x0與f′(x0)的一一對應關系，聯(lián)系函數(shù)的定義得到導函數(shù)的概念.

給出導函數(shù)的定義，讓學生明確在x0處的導數(shù)與導函數(shù)、導數(shù)的區(qū)別：導數(shù)是導函數(shù)的簡稱，二者都是一個函數(shù)，在x0處的導數(shù)是一個具體的值，是導數(shù)在x0處的函數(shù)值，它們是整體與個體的關系.

再次，給出求函數(shù)導數(shù)的例題，引導學生按照求導公式求出導函數(shù)，并說明這些可以作為求導公式使用.

練習4求出練習2、練習3中分段函數(shù)的導數(shù).

通過練習鞏固新學的知識，總結出求導的三個步驟，為熟練掌握求導打下堅實基礎；通過變式可培養(yǎng)學生的發(fā)散思維，加深學生對函數(shù)導數(shù)的認識，并與前面相呼應，進一步認識到求解分段函數(shù)的分界點的導數(shù)只能用定義求左、右導數(shù).

5 知識小結，拓展提高

組織學生對所學知識點進行總結，歸納出求導的步驟，感悟其中蘊含的極限思想，反思學習過程中遇到的難點及化解方法，找出解決問題的關鍵，體會數(shù)學的過程美和嚴謹美.通過例1、例2讓學生拓展理解導數(shù)的物理意義和幾何意義，并給出相應的練習和變式練習.

通過總結，使學生學習的知識形成一個完整的系統(tǒng)，鍛煉學生的邏輯思維能力和語言表達能力，通過拓展，培養(yǎng)學生的思維能力，并與開頭相呼應，使學生進一步體會到數(shù)學的實際價值.

6 結語

導數(shù)是一個抽象性較強的概念，如果按傳統(tǒng)的教學方法，學生能掌握求導過程及求導方法，但對于導數(shù)概念的理解及為什么這樣求導會比較模糊.采用探究式教學法，通過實例可讓學生明白導數(shù)的內涵，讓學生帶著目的學習，激起學生的學習興趣.通過兩個例子中的問題，充分調動學生學習的積極性和主動性，讓學生進行思考和討論交流，自主探究，在活動中不斷地解決問題，更好地理解導數(shù)的實質.在這個過程中，要引導學生利用已有的知識來解決新問題，實現(xiàn)知識的遷移，通過設置問題梯度降低學習的難度，借助幾何畫板的動態(tài)演示來降低知識的難度，化解難點，使每個學生都能參與到課堂教學中，真正體會到學習的樂趣.

“還課堂于學生”“以學生為本”是新課改的理念，而探究式教學恰好體現(xiàn)了這一理念，課堂上學生討論交流、各抒己見，積極性很高，有的學生還能主動到講臺講解知識點，學習的主動性顯著提高，但是如何發(fā)揮出探究式教學的最大效率，還需進一步努力和探索.