應(yīng)該拋物線內(nèi)的自共軛三角形探究

張皓宇　何毅章

首先我們知道：F關(guān)于拋物線，極線為，

關(guān)于拋物線極線為

（此外，，等熟知結(jié)論不用細(xì)說(shuō)）

那么，我們考慮在通徑上取一點(diǎn)，在上任取一

點(diǎn)，設(shè)HT、XT分別與交于P、Q，直線PQ有何特殊性質(zhì)呢？

設(shè)

則點(diǎn)差：

同理：

又

即 ①

即 ②

將①代入②得：

即 ③

將③代入得：

記為W。

點(diǎn)X關(guān)于的極線為：

在這條線上

故為自共軛三角形

因此，我們改寫命題：

拋物線準(zhǔn)線與x軸交點(diǎn)為H，以H為頂點(diǎn)作自共軛三角形，再在拋物線上任取一點(diǎn)T，設(shè)TH、TX分別交拋物線、，則

、、W三點(diǎn)共線。

當(dāng)在平面上任意位置呢？

則H關(guān)于極線：，

設(shè)，則X關(guān)于極線：

又X在H點(diǎn)對(duì)應(yīng)級(jí)線上，

故： ④

聯(lián)立：

（這樣找到了這個(gè)自共軛三角形）

同理可得：

將分別代入，得：

消去即由⑤⑥

將④代入

將⑦代入

整理，得：

故PQ還是恒過(guò)點(diǎn)

這個(gè)點(diǎn)，即為W點(diǎn)！原命題成立。

（事實(shí)上，對(duì)所有二次曲線均有該命題成立，由于篇幅太小寫不下，暫略去證明）

關(guān)于拋物線的自共軛三角形，取上任一點(diǎn)T，TH，TX分別與之交于P、Q，那么P、Q、W三點(diǎn)共線。

（PS：此結(jié)論一定不能讓出卷老師發(fā)現(xiàn)，否則他（她）隨便取一個(gè)點(diǎn)，再在其極線上隨便取一個(gè)點(diǎn)，然后亂連一些線去證過(guò)定點(diǎn)，其后果不堪設(shè)想……）