基于建構(gòu)主義的逆矩陣教學(xué)設(shè)計(jì)與實(shí)踐

詹環(huán) 陳平 夏靜

摘? 要：針對(duì)逆矩陣教學(xué)中重計(jì)算、輕思想的問(wèn)題，結(jié)合建構(gòu)主義教學(xué)理念，在教學(xué)中分析學(xué)生已有的知識(shí)結(jié)構(gòu)，從逆矩陣的幾何背景的角度引入定義，注重逆矩陣與其相關(guān)知識(shí)點(diǎn)的聯(lián)結(jié)，利用數(shù)學(xué)軟件開展教學(xué)拓展，培養(yǎng)學(xué)生抽象思維能力和解決實(shí)際問(wèn)題的能力。

關(guān)鍵詞：建構(gòu)主義;逆矩陣;教學(xué)設(shè)計(jì)

中圖分類號(hào)：G642? ? ? ?文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A? ? ? ? ?文章編號(hào)：2096-000X（2020）27-0119-03

Abstract： In order to solve problems of emphasizing calculation and neglecting thought appearing in reverse matrix teaching， construtivism theory was utilized toanalyze cognitive structure of students， inverse matrix was introduced from the point of view geometric， the connection between the inverse matrix and its related knowledge was focused， mathematics software was used to expand teaching tocultivate the students' ability of abstract thinking and the practical problems-solving.

Keywords： constructivism; reverse matrix; teaching design

線性代數(shù)是工科各專業(yè)的必修課，它主要研究有限維線性空間及其線性映射的理論課程，廣泛應(yīng)用于自然科學(xué)和工程技術(shù)工作領(lǐng)域中，具有較強(qiáng)的抽象性和邏輯性[1]。矩陣的逆是矩陣的一種基本運(yùn)算，它是解線性方程組、矩陣方程的基本工具，也是研究線性逆變換、坐標(biāo)逆變換以及矩陣相似變換的基本手段。由于有些教師在講逆矩陣知識(shí)點(diǎn)的過(guò)程中，偏重于逆矩陣判定條件以及計(jì)算涉及的公式技巧，對(duì)于逆矩陣產(chǎn)生背景、蘊(yùn)含的逆變換思想方法直接舍棄或者一句帶過(guò)，導(dǎo)致學(xué)生只是對(duì)逆矩陣的定義及計(jì)算死記硬背，缺乏對(duì)逆矩陣的幾何意義的認(rèn)識(shí)，很難將逆矩陣靈活應(yīng)用于解決實(shí)際問(wèn)題。

建構(gòu)主義理論是由瑞士心理學(xué)家皮亞杰提出的，建構(gòu)主義認(rèn)為學(xué)習(xí)不是一個(gè)被動(dòng)的接受過(guò)程， 而是一個(gè)主動(dòng)的建構(gòu)過(guò)程，不能從教師通過(guò)“刺激反應(yīng)”遷移到學(xué)生，而必須基于學(xué)生對(duì)知識(shí)的體察，從自身經(jīng)驗(yàn)的反省，與環(huán)境，包括與他人的交流中主動(dòng)地建構(gòu)起來(lái)[2]。建構(gòu)主義要求教學(xué)以學(xué)生為中心，根據(jù)學(xué)生已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)精心設(shè)計(jì)教學(xué)情景，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，達(dá)到使學(xué)生建構(gòu)知識(shí)的目的。本文從圖形的幾何變換引入逆矩陣的定義，讓學(xué)生明白學(xué)習(xí)逆矩陣的緣由，隨后在逆矩陣習(xí)題設(shè)置中強(qiáng)調(diào)了逆矩陣和逆變換的意義，通過(guò)經(jīng)濟(jì)學(xué)中的實(shí)例對(duì)逆矩陣教學(xué)進(jìn)行拓展，使學(xué)生掌握利用矩陣的逆進(jìn)行逆變換的思想，最后借助思維導(dǎo)圖幫助學(xué)生建構(gòu)系統(tǒng)的知識(shí)體系，符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律。

一、學(xué)情分析

建構(gòu)主義要求教師根據(jù)學(xué)生已有的知識(shí)水平創(chuàng)設(shè)符合教學(xué)內(nèi)容要求的情境，設(shè)計(jì)問(wèn)題引起學(xué)生的思考和討論，使得學(xué)生有意識(shí)地對(duì)習(xí)得的知識(shí)進(jìn)行建構(gòu)，所以教師必須了解學(xué)生已有的知識(shí)和所學(xué)的專業(yè)，避免教學(xué)內(nèi)容前后脫節(jié)。教學(xué)中應(yīng)盡量選取貼近學(xué)生生活的實(shí)例為教學(xué)內(nèi)容做鋪墊，線性代數(shù)是以線性方程組與矩陣為主線的學(xué)科，學(xué)生已經(jīng)掌握了矩陣的加法、減法、乘法運(yùn)算以及相應(yīng)的矩陣變換，學(xué)生自然會(huì)產(chǎn)生疑問(wèn)矩陣有沒有除法？矩陣乘法的逆運(yùn)算應(yīng)如何定義？

二、創(chuàng)設(shè)情境，引入定義

教師如果完全按照教材先給出一個(gè)抽象的線性變換，然后寫出對(duì)應(yīng)的矩陣方程再求逆變換，這種不直觀的引入逆矩陣的教學(xué)方式容易讓學(xué)生感覺到迷惑。隨著計(jì)算機(jī)科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，計(jì)算機(jī)圖形學(xué)的應(yīng)用領(lǐng)域越來(lái)越廣，圖形的幾何變換，包括圖形的平移、旋轉(zhuǎn)、放縮等，是計(jì)算機(jī)圖形學(xué)中經(jīng)常遇到的問(wèn)題[3]。一個(gè)平面的圖形在計(jì)算機(jī)上存儲(chǔ)為頂點(diǎn)的集合，通過(guò)畫出頂點(diǎn)，并將頂點(diǎn)用直線相連即可得到圖形。用矩陣表示圖形的頂點(diǎn)的集合，則平面圖形的平移、旋轉(zhuǎn)、放縮都可用矩陣乘法實(shí)現(xiàn)，以圖形的旋轉(zhuǎn)變換為例引入逆矩陣的定義。

例1設(shè)一個(gè)圖像A由11個(gè)點(diǎn)連接填充構(gòu)成，它的位置用一個(gè)2×11矩陣表示，頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)儲(chǔ)存在矩陣的第一行，縱坐標(biāo)儲(chǔ)存在矩陣的第二行，A從X的位置逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到Y(jié)，其中

Y=0 -14 -14? 0 0 -11 -6 -6 -4.5 -4.5 00? 4? ?6? 10 8? 5? 3.5 6.1 6.5? 3.2? 2，問(wèn)圖像原來(lái)位于何處？

解：將點(diǎn)P（x，y）逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)？漬得到P1（x1，y1），則旋轉(zhuǎn)變換為x1=xcos？漬-ysin？漬y1=xsin？漬+ycos？漬令R=cos？漬 -sin？漬sin？漬cos？漬，則點(diǎn)的旋轉(zhuǎn)變換可以用矩陣乘積Rxy=x1y1表示，則圖像A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°可表示為Y=0 -11? 0X，已知Y求X。

求解圖形旋轉(zhuǎn)變換的原圖問(wèn)題就轉(zhuǎn)化為解矩陣方程RX=Y，學(xué)生容易根據(jù)已有的知識(shí)聯(lián)想到借助解一元線性方程y=ax的思路來(lái)解決這個(gè)實(shí)際問(wèn)題。對(duì)于y=ax，當(dāng)a≠0時(shí)，可解出x=a-1y。對(duì)于矩陣也存在類似的運(yùn)算，自然想到是否可以把RX=Y中的旋轉(zhuǎn)變換矩陣R移到等式另外一邊，得到旋轉(zhuǎn)逆變換，即X=R-1Y。由此引入逆矩陣的概念。

定義1[4]對(duì)于n階矩陣A，如果存在n階矩陣B，使得AB=BA=E，則稱矩陣A是可逆的，并稱B為A的逆矩陣，簡(jiǎn)稱逆陣。

根據(jù)逆矩陣定義，當(dāng)矩陣可逆時(shí)，由旋轉(zhuǎn)變換等式RX=Y容易得到圖像復(fù)原等式X=R-1Y。利用實(shí)例引入逆矩陣的定義強(qiáng)調(diào)了逆變換思想的形成過(guò)程，與建構(gòu)主義的教學(xué)理念一致，重視了數(shù)學(xué)概念的來(lái)源，揭示了逆矩陣的本質(zhì)。

三、數(shù)形結(jié)合，闡述定理

建構(gòu)主義認(rèn)為，為了讓學(xué)生了解知識(shí)產(chǎn)生的來(lái)龍去脈，積極地參與到知識(shí)形成的過(guò)程中去，要求教師根據(jù)教學(xué)內(nèi)容特點(diǎn)合理設(shè)置問(wèn)題協(xié)助學(xué)生完成對(duì)新知識(shí)的意義建構(gòu)。從心理學(xué)角度出發(fā)，人對(duì)圖表的記憶力會(huì)比單純的文字強(qiáng)很多，圖形能更好的表達(dá)數(shù)學(xué)概念和定理的意義，在逆矩陣教學(xué)中可以設(shè)置可視化例題。

顯然，只需要將壓縮的圖像的橫坐標(biāo)拉伸5倍即可恢復(fù)圖像，即該壓縮變換有逆變換。學(xué)生容易找到

矩陣C=1 00 0代表圖像變換x1y1=1 00 0xy，即x1=xy1=0，從幾何圖形上可知該變換不可逆，由矩陣定義也可以驗(yàn)證C=1 00 0無(wú)逆矩陣。

根據(jù)例2可知不是所有的矩陣都可逆，由此引入逆矩陣的判定條件。

定理1[4]若矩陣A可逆，則|A|≠0。

由例2矩陣B行列式不為零，矩陣B可逆;矩陣C行列式為零，矩陣C不可逆，這進(jìn)一步驗(yàn)證了定理1的正確性。數(shù)學(xué)家華羅庚曾說(shuō)過(guò)：“數(shù)缺形時(shí)少直覺，形少數(shù)時(shí)難入微。數(shù)形結(jié)合百般好，割裂分家萬(wàn)事非。”將逆矩陣教學(xué)應(yīng)用于實(shí)例，并將知識(shí)點(diǎn)盡量可視化可以提高教學(xué)效果。

四、結(jié)合數(shù)學(xué)軟件，思維拓展

美國(guó)在1990年提出了線性代數(shù)改革的建議中要求線性代數(shù)教學(xué)要從具體例子引出概念和理論，計(jì)算機(jī)技術(shù)必須要應(yīng)用到線性代數(shù)教學(xué)中[5]。逆矩陣與圖像處理有著密切的聯(lián)系，借助matlab求解得到原圖像所對(duì)應(yīng)矩陣

建構(gòu)主義要求教師在教學(xué)中不僅要體現(xiàn)主導(dǎo)作用，更要發(fā)揮學(xué)生的主觀能動(dòng)性。組織學(xué)生們進(jìn)行協(xié)作性學(xué)習(xí)，使得學(xué)生在探究性學(xué)習(xí)中發(fā)現(xiàn)規(guī)律，糾正和補(bǔ)充對(duì)所學(xué)內(nèi)容的認(rèn)識(shí)。在研究多個(gè)經(jīng)濟(jì)部門之間的投入與產(chǎn)出關(guān)系時(shí)， W. Leontief教授提出了投入產(chǎn)出模型，我們將下面的“投入產(chǎn)出問(wèn)題”作為習(xí)題， 要求學(xué)生獨(dú)立思考，完成解答。

練習(xí)[3]：某地有一座煤礦， 一個(gè)發(fā)電廠和一條鐵路， 經(jīng)成本核算， 每生產(chǎn)價(jià)值1元錢的煤需消耗0.3元的電; 為了把這1元錢的煤運(yùn)出去需花費(fèi)0.2元的運(yùn)費(fèi); 每生產(chǎn)1元的電需0.6元的煤作燃料; 為了運(yùn)行電廠的輔助設(shè)備需消耗本身0.1元的電， 還需要花費(fèi)0.1元的運(yùn)費(fèi); 作為鐵路局， 每提供1元運(yùn)費(fèi)的運(yùn)輸需消耗0.5元的煤， 輔助設(shè)備要消耗0.1元的電. 現(xiàn)煤礦接到外地6萬(wàn)元煤的訂貨， 電廠有10萬(wàn)元電的外地需求， 問(wèn)： 煤礦和電廠各生產(chǎn)多少才能滿足需求？

五、構(gòu)建思維導(dǎo)圖，梳理知識(shí)體系

逆矩陣的定義以及計(jì)算是線性代數(shù)中的重要知識(shí)點(diǎn)，通過(guò)逆矩陣的學(xué)習(xí)，學(xué)生能夠容易記住判定逆矩陣的條件以及逆矩陣計(jì)算公式，但是學(xué)生容易“只見樹木，不見森林”。建構(gòu)主義認(rèn)為認(rèn)知結(jié)構(gòu)是將已認(rèn)識(shí)的知識(shí)組織起來(lái)的心理系統(tǒng)，借助于樹型特別是網(wǎng)狀結(jié)構(gòu)將相互聯(lián)系的知識(shí)點(diǎn)按照某種關(guān)系進(jìn)行歸類和組合，可以對(duì)認(rèn)知結(jié)構(gòu)進(jìn)行“擴(kuò)容”，提高學(xué)習(xí)效率[6]。思維導(dǎo)圖可以將細(xì)碎的知識(shí)以簡(jiǎn)單的形式有組織有次序的表達(dá)出來(lái)，為了讓學(xué)生清晰掌握逆矩陣的地位作用，結(jié)合思維導(dǎo)圖來(lái)幫助學(xué)生理解逆矩陣與線性代數(shù)中知識(shí)點(diǎn)的聯(lián)系，避免讓逆矩陣教學(xué)內(nèi)容與其它內(nèi)容脫節(jié)，逆矩陣思維導(dǎo)圖見圖3。

六、結(jié)束語(yǔ)

在逆矩陣教學(xué)中，不僅僅要求學(xué)生掌握基本的計(jì)算，更重要的是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的方法，提高學(xué)生的工程實(shí)踐能力。在工科背景下建構(gòu)主義教學(xué)理念的指導(dǎo)下，結(jié)合實(shí)例把逆變換的幾何背景引入到各個(gè)知識(shí)點(diǎn)中，把抽象問(wèn)題形象化，使學(xué)生在形和數(shù)的統(tǒng)一中進(jìn)一步體會(huì)到逆矩陣概念的內(nèi)涵和外延，利用數(shù)學(xué)軟件結(jié)合經(jīng)濟(jì)案例進(jìn)行探究性學(xué)習(xí)，借助思維導(dǎo)圖幫助學(xué)生建立一個(gè)系統(tǒng)、交叉的知識(shí)體系。真正建立價(jià)值塑造、能力培養(yǎng)、知識(shí)傳授三位一體的教育模式有效提高教學(xué)質(zhì)量。

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