數(shù)學(xué)教學(xué)的另一種方法

白書(shū)寧

【摘要】

幾十年來(lái)，數(shù)學(xué)教育教學(xué)在很大程度上依賴于教師向?qū)W生展示正確操作的范例練習(xí)，作為他們自己練習(xí)時(shí)的榜樣.近年來(lái)，為了給學(xué)生進(jìn)行錯(cuò)誤分析，引入了不正確的練習(xí).將正確工作的練習(xí)與錯(cuò)誤分析相結(jié)合，這給研究人員提出了更高的數(shù)學(xué)理解.方法：一種混合方法被用來(lái)調(diào)查在七年級(jí)數(shù)學(xué)單元中對(duì)方程和不等式的錯(cuò)誤分析.定量數(shù)據(jù)用于建立使用錯(cuò)誤分析有效性的統(tǒng)計(jì)，定性方法用于理解參與者的錯(cuò)誤分析經(jīng)驗(yàn).結(jié)果：測(cè)試后得分沒(méi)有顯著差異，然而，延遲后測(cè)試成績(jī)有顯著差異.結(jié)論：總的來(lái)說(shuō)，老師和學(xué)生發(fā)現(xiàn)使用錯(cuò)誤分析在學(xué)習(xí)過(guò)程中是有益的.

【關(guān)鍵詞】錯(cuò)誤分析;正確和錯(cuò)誤的例子;數(shù)學(xué)教學(xué)實(shí)踐;數(shù)學(xué)實(shí)踐標(biāo)準(zhǔn)

一、引言

幾十年來(lái)，數(shù)學(xué)教育的教學(xué)方法基本都是教師在課堂上向?qū)W生展示正確的解題步驟，隨后讓學(xué)生依據(jù)教師演示的步驟進(jìn)行自我訓(xùn)練并解答書(shū)本或是練習(xí)冊(cè)上的習(xí)題.在數(shù)學(xué)考試之后也是遵循這樣的流程，教師向?qū)W生展示解題的正確步驟，然后讓學(xué)生依據(jù)正確的答案進(jìn)行對(duì)照和自我修改.這樣的教學(xué)方法貌似已經(jīng)成為數(shù)學(xué)教學(xué)的金科玉律，在以往的教學(xué)過(guò)程中也沒(méi)有遭到什么質(zhì)疑與抨擊.但隨著社會(huì)的快速發(fā)展，越來(lái)越需要靈活與創(chuàng)新型的人才，而不是一味地遵循硬性規(guī)定的員工.數(shù)學(xué)作為鍛煉邏輯與解決問(wèn)題能力的基礎(chǔ)學(xué)科，教師教授它的目的不是讓學(xué)生學(xué)會(huì)如何考試、如何計(jì)算，而是培養(yǎng)學(xué)生解決問(wèn)題的邏輯和思維模式.在這種情況之下，傳統(tǒng)的正確演示式教學(xué)就不甚合適，它雖然可以幫助學(xué)生取得較好的學(xué)業(yè)成績(jī)，但對(duì)于創(chuàng)新性的培養(yǎng)有所欠缺.

由此，錯(cuò)誤分析法應(yīng)運(yùn)而生.錯(cuò)誤分析法指的是針對(duì)學(xué)生做錯(cuò)的題目進(jìn)行分析，包括犯錯(cuò)誤的原因以及后果，以往的研究認(rèn)為分析學(xué)生做錯(cuò)的題目是另一種強(qiáng)化的形式，會(huì)導(dǎo)致學(xué)生對(duì)錯(cuò)誤的方法更加印象深刻，進(jìn)而促進(jìn)個(gè)體下次繼續(xù)犯同樣的錯(cuò)誤.但是，最近的研究表明，錯(cuò)誤分析法并不是強(qiáng)化學(xué)生的錯(cuò)誤做法，而是幫助學(xué)生深刻認(rèn)識(shí)到自己出現(xiàn)錯(cuò)誤的原因，其強(qiáng)化的是學(xué)生對(duì)自己犯錯(cuò)誤過(guò)程中的錯(cuò)誤的思維模式，能夠在根本上探析學(xué)生的內(nèi)部認(rèn)知模式.并且，錯(cuò)誤分析法可以幫助學(xué)生構(gòu)建全面完整的認(rèn)知圖式，而不是集中于正確的問(wèn)題解決方式.錯(cuò)誤分析法不僅可以從根本上杜絕學(xué)生錯(cuò)誤的思維模式，還能夠完善學(xué)生的認(rèn)知圖式.最終促進(jìn)學(xué)生更好地將該模式遷移到更廣闊的領(lǐng)域之中，更好地迎合社會(huì)的需求.然而，目前在數(shù)學(xué)教學(xué)中關(guān)于錯(cuò)誤分析法的研究十分匱乏，因此，本研究擬檢驗(yàn)錯(cuò)誤分析法在數(shù)學(xué)教學(xué)中的有效性.

二、研究目的

本研究的目的是探索七年級(jí)學(xué)生是否可以從正確范例和錯(cuò)誤分析的使用中將數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)得更好，而不是從更傳統(tǒng)的解決練習(xí)的教學(xué)方法中學(xué)習(xí)，在這種方法中，學(xué)生只接受正確范例的指導(dǎo).這項(xiàng)研究通過(guò)調(diào)查教師和學(xué)生在錯(cuò)誤分析方面的經(jīng)驗(yàn)反饋，進(jìn)一步推進(jìn)了以前關(guān)于從正確的例子和錯(cuò)誤分析中學(xué)習(xí)這一主題.本研究回答了以下問(wèn)題：

1.當(dāng)錯(cuò)誤分析被包括在學(xué)生的課程和作業(yè)中時(shí)，與傳統(tǒng)的僅通過(guò)正確例子學(xué)習(xí)的方法相比，數(shù)學(xué)成績(jī)有什么不同？

2.當(dāng)錯(cuò)誤分析包含在學(xué)生的課程和作業(yè)中時(shí)，相對(duì)于僅通過(guò)正確例子學(xué)習(xí)的傳統(tǒng)方法，學(xué)生和老師觀察到了什么樣的好處或缺點(diǎn)？

三、研究方法

一種混合方法設(shè)計(jì)被用來(lái)調(diào)查在七年級(jí)數(shù)學(xué)單元中對(duì)方程和不等式的錯(cuò)誤分析的使用.使用定量數(shù)據(jù)來(lái)建立使用錯(cuò)誤分析有效性的統(tǒng)計(jì)，使用定性方法來(lái)理解參與者在錯(cuò)誤分析方面的經(jīng)驗(yàn).

（一）研究對(duì)象

黑龍江省大慶市兩所學(xué)校的七年級(jí)數(shù)學(xué)班使用一個(gè)方便的分組組成了對(duì)照組和實(shí)驗(yàn)組.26名學(xué)生為對(duì)照組，27名學(xué)生為實(shí)驗(yàn)組.同一個(gè)老師教兩組學(xué)生，所以可以從老師的角度對(duì)學(xué)生如何學(xué)習(xí)和參與在兩組間進(jìn)行比較.在學(xué)習(xí)開(kāi)始時(shí)，老師愿意在她的教室里嘗試錯(cuò)誤分析，然而，她并不熱衷于使用這種策略，她無(wú)法想象錯(cuò)誤分析如何在日常工作中發(fā)揮作用.到研究結(jié)束時(shí)，老師變得非常熱衷于在七年級(jí)數(shù)學(xué)課上使用錯(cuò)誤分析.其中，29名男生，24名女生（如表1）.

（二）研究材料

創(chuàng)建了一個(gè)前測(cè)和后測(cè)，其中包含的問(wèn)題將使用格倫科數(shù)學(xué)：你的共同核心版CCSS作為資源來(lái)測(cè)試對(duì)方程和不等式的數(shù)學(xué)理解.從格倫科數(shù)學(xué)：你的共同核心版CCSS教科書(shū)中為對(duì)照組和實(shí)驗(yàn)組都創(chuàng)建了家庭作業(yè)，然而，研究人員重寫(xiě)了兩到三個(gè)作業(yè)練習(xí)作為錯(cuò)誤的例子，讓實(shí)驗(yàn)組找出錯(cuò)誤，并用正當(dāng)理由修正練習(xí).研究人員對(duì)兩組學(xué)生都使用作業(yè)時(shí)間日志來(lái)跟蹤他們花在家庭作業(yè)上的時(shí)間.

三、研究結(jié)果

進(jìn)行初步分析以評(píng)估t檢驗(yàn)的假設(shè).這些假設(shè)包括：（a）獨(dú)立性，（b）用夏皮羅-維爾克檢驗(yàn)進(jìn)行正態(tài)性檢驗(yàn)，（c）用萊文統(tǒng)計(jì)量進(jìn)行方差齊性檢驗(yàn).所有假設(shè)都得到滿足.

前測(cè)成績(jī)的Levene統(tǒng)計(jì)（p>0.05）表明各組間無(wú)顯著性差異.進(jìn)行獨(dú)立樣本測(cè)試，以確定錯(cuò)誤分析對(duì)學(xué)生成績(jī)的影響，錯(cuò)誤分析是由前測(cè)和后測(cè)以及前測(cè)和后測(cè)延遲手段的差異決定的.對(duì)照組（M=8.23，標(biāo)準(zhǔn)差=5.67）和實(shí)驗(yàn)組（M=9.56，標(biāo)準(zhǔn)差=5.24）的后測(cè)得分無(wú)顯著差異;t（51）=0.88，p=0.381（如表2）.然而，對(duì)照組（M=5.96，標(biāo)準(zhǔn)差=4.90）和實(shí)驗(yàn)組（M=9.41，標(biāo)準(zhǔn)差=4.77）的延遲后測(cè)得分有顯著差異;t（51）=2.60，p=0.012（如表3）.這些結(jié)果表明，學(xué)生可以通過(guò)各種方法初步學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)概念.然而，當(dāng)錯(cuò)誤分析被添加到學(xué)生的課程、作業(yè)和測(cè)驗(yàn)中時(shí)，數(shù)學(xué)知識(shí)的保留會(huì)顯著增加.值得注意的是，實(shí)驗(yàn)組（M=9.56）與對(duì)照組（M=8.23）從前測(cè)到后測(cè)的平均值之間的差異更大，這意味著即使平均值沒(méi)有顯著差異，實(shí)驗(yàn)組確實(shí)顯示出更大改善.

由于通過(guò)讓每組中的一小部分人參與跟蹤完成家庭作業(yè)所花費(fèi)的時(shí)間，因此測(cè)試分析的結(jié)果不能用于任何概括.然而，分析的結(jié)果很有趣.使用獨(dú)立的樣本t檢驗(yàn)來(lái)計(jì)算和分析每組完成作業(yè)所花費(fèi)的平均時(shí)間.對(duì)照組（男性=168.30，標(biāo)準(zhǔn)差=77.41）和實(shí)驗(yàn)組（男性=165.80，標(biāo)準(zhǔn)差=26.53）學(xué)生花在家庭作業(yè)上的時(shí)間沒(méi)有顯著差異;t（13）=0.07，p=0.946（如表4）.這些結(jié)果表明，學(xué)生花在家庭作業(yè)上的時(shí)間幾乎是一樣的，不管他們是必須進(jìn)行錯(cuò)誤分析（找出錯(cuò)誤，糾正錯(cuò)誤，并證明所采取的步驟是正確的），還是以傳統(tǒng)的方式按照正確的例子解決每個(gè)練習(xí).盡管學(xué)生課外做作業(yè)的時(shí)間沒(méi)有明顯不同，但實(shí)驗(yàn)組在課堂上確實(shí)花了更多的時(shí)間進(jìn)行測(cè)驗(yàn)修正和討論錯(cuò)誤，這些錯(cuò)誤可以歸因于知識(shí)的保留.

四、討論

研究結(jié)果表明，教師采用正確演示法與錯(cuò)誤分析法對(duì)學(xué)生進(jìn)行教學(xué)的即時(shí)效果沒(méi)有顯著差異，這說(shuō)明學(xué)生在接觸數(shù)學(xué)的新知識(shí)的時(shí)候，教師采用正確演示法與錯(cuò)誤分析法都可以很好地被學(xué)生接受，這可能是因?yàn)閷W(xué)生在構(gòu)建新的知識(shí)圖式時(shí)只是在進(jìn)行知識(shí)納入而不進(jìn)行更為深層次的加工，不管是什么樣的知識(shí)輸入方式，都會(huì)經(jīng)過(guò)相同的知識(shí)輸入路徑，因此，在教授新的數(shù)學(xué)概念和知識(shí)時(shí)，教師可以依據(jù)自己的教學(xué)習(xí)慣任意選擇傳統(tǒng)的正確演示法或錯(cuò)誤分析法.進(jìn)一步的研究結(jié)果還表明，在舊知識(shí)的鞏固上，錯(cuò)誤分析法比正確教學(xué)法的效果更佳.這說(shuō)明錯(cuò)誤分析法能夠?qū)⑴f知識(shí)進(jìn)行更好的提取，并且進(jìn)行更深層次的記憶.這提示教師在復(fù)習(xí)舊知識(shí)的時(shí)候應(yīng)該盡量采用錯(cuò)誤分析法.

五、結(jié)論

通過(guò)實(shí)證研究本研究得出以下結(jié)論：

（1）教授新知識(shí)的過(guò)程中，數(shù)學(xué)教師采用正確演示法與錯(cuò)誤分析法的教學(xué)效果沒(méi)有顯著差異.

（2）鞏固舊知識(shí)的過(guò)程中，數(shù)學(xué)教師采用錯(cuò)誤分析法的教學(xué)效果更佳.

（3）錯(cuò)誤分析法對(duì)教師的教和學(xué)生的學(xué)都很有益處.

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