一道二元最值題的多視角探究

陳常禮

(山東省日照實驗高級中學，276800)

二元最值問題,因其注重考查考生的綜合思維能力,具有很好的區(qū)分功能,能夠很好地考查學生的數學思維能力,一直備受高考命題者的青睞.此類問題求解時往往技巧性特別強,學生不易掌握.本文以2020年江蘇省高考試題的解法予以探究,供參考.

試題已知5x2y2+y4=1(x,y∈R)，則x2+y2的最小值是______.

這是一道典型的二元最值問題,雖然試題表述簡潔,但由于已知條件式的左邊是二元四次齊次結構,目標式則是二元二次齊次式,因而求解過程富有挑戰(zhàn)性,也給考生的發(fā)揮提供了較大的空間.展開聯(lián)想、注重轉換,充分利用基本不等式和導數這些求解最值的工具,是解答該試題的通性通法和有效途徑.

視角1基本不等式法

解法1由條件5x2y2+y4=1,得y2(5x2+y2)=1,所以4y2(5x2+y2)=4.

評注“配湊”系數或式子的構成得到應用基本不等式的結構形式,是利用基本不等式求最值的常用技巧,該解法需要有較強的洞察力和配湊能力,還要有整體把握的意識.

分析2由條件,左邊提取y2因式分解后,采用雙變量換元,代入所求式x2+y2后利用基本不等式解決問題.

解法2由條件5x2y2+y4=1，可得(5x2+y2)y2=1.令5x2+y2=a,y2=b(b>0),則ab=1.

評注該解法通過對條件式因式分解后進行雙換元,為直接利用基本不等式求最值創(chuàng)造了條件,避免了解法1“配湊”系數,使求解過程更加簡捷.

視角2消元法

解法3消元與基本不等式法

解法4消元與導數法

評注基本不等式法、導數法是求解一元函數最值問題的最基本方法.用基本不等式求最值時,要正確理解和掌握“一正、二定、三相等”的內涵:“一正”是指參數必須為正,“二定”是指和或積為定值,“三相等”指等號要能成立.而大多數一元函數都能利用導數法求解其最值.

視角3三角換元法

評注該解法由條件式變形后聯(lián)想到三角函數,利用三角換元對x2+y2變形，再利用基本不等式求得最值,需要豐富的聯(lián)想能力.

由上可見,對表面上看起來比較繁瑣、無從下手的二元最值問題,只要轉換視角,巧用聯(lián)想,挖掘已知式或所求式的特征,便可找到問題解決的切入點.這對我們培養(yǎng)數學抽象和數學建模、數學運算等數學核心素養(yǎng)都有一定的幫助.