一道高三聯(lián)考題的解法賞析

朱石花

(江蘇省啟東中學,226200)

新課標強調(diào)加強數(shù)學的六大核心素養(yǎng).筆者認為高三一輪復習需要培養(yǎng)學生一題多解的能力,用發(fā)散性思維來思考和解決問題,搭建完善解題方法的結(jié)構(gòu)體系,訓練學生思維的深度、廣度,達到提升能力的目的.

下面以筆者所在學校的一次模擬測試題為例,賞析遇到綜合題時如何合理思考問題,達到一題多解、提升能力的目的.

題目已知函數(shù)f(x)=ex-1+ax,g(x)=bx-blnx.

(1)討論f(x)在(0,+∞)的單調(diào)性;

(2)當a=0時,f(x)≥xg(x)對x>0恒成立,求實數(shù)b的取值范圍.

解(1)略.

(2)當a=0時,f(x)≥xg(x)對x>0恒成立?ex-1≥bx2-bxlnx對x>0恒成立.

證法1參變分離法

要分離變量,需考慮x-lnx的正負，為此先證明:對任意正實數(shù)x,恒有

x-lnx≥1,

(*)

等號當且僅當x=1時成立.

綜上,實數(shù)b的取值范圍為(-∞,1].

證法2分類討論法

當1-b≥0,即b≤1時,h(x)在(0,1)單調(diào)減,在(1,+∞)單調(diào)增,h(x)≥h(1)=1-b≥0成立.此時b≤1.

當1-b<0,即b>1時,有h(1)=1-b<0,與h(x)≥0矛盾.

綜上,實數(shù)b的取值范圍為(-∞,1].

評注本解法也是一個常規(guī)方法,若不等式不變形,計算將更為復雜,除以x簡化了問題求解的難度.

證法3同構(gòu)法

問題等價于ex-1-ln x-b(x-lnx)≥0對x>0恒成立.

綜上,可知b的取值范圍是(-∞,1].

評注此方法綜合了證法1、證法2的思路,并采用了恒等變形x=eln x,含有一定的同構(gòu)思想,使計算量大大縮減.

證法4先特后證法

依題意,ex-1≥bx2-bxlnx對x>0恒成立,故令x=1,可得1≥b.下面證明當b≤1時,不等式ex-1≥bx(x-lnx)對x>0恒成立.

要證b≤1時上述不等式恒成立,由(*)式得x>lnx,只要證ex-1≥x(x-lnx);又由(*)式得x-lnx≥1,只要證ex-1≥x.兩邊取自然對數(shù),只要證x-1≥lnx,由(*)式成立,可得題設(shè)不等式對x>0恒成立.

評注本解法蘊含了特殊與一般的數(shù)學思想,先由特殊值得出b≤1,再進行一般性證明此法是建立在對指(對)數(shù)簡單放縮比較熟練的基礎(chǔ)上完成的,從中可以看出命題人命制本題的方向.

證法5綜合法

又由(*)式得x≥1+lnx,故x≥ln(x+1),兩邊取對數(shù)得ex≥x+1所以ex-1-ln x≥x-1-lnx+1=x-lnx,等號當且僅當x-lnx-1=0,即x=1時取得.

評注此解法結(jié)合了證法3、證法4和不等式簡單放縮變形,采用同構(gòu)的思想,甚是巧妙.

通過以上解答,我們不難發(fā)現(xiàn)數(shù)學解題時應(yīng)該不斷反思,活化自己的思維,加深對題目的理解,學會欣賞數(shù)學美,享受學習過程.筆者通過本文的拋磚引玉,希望在解決涉及導數(shù)中不等式恒成立求參數(shù)取值范圍的問題時,能根據(jù)問題特征靈活選擇解題的思路和方法,強化解題能力.