運算思路的探究與溯源
——以一道聯(lián)考試題為例

周鑫森

(江蘇省泰州中學(xué)，225300)

數(shù)學(xué)運算是解決數(shù)學(xué)問題的基本手段,是數(shù)學(xué)學(xué)科的核心素養(yǎng)之一.笛卡爾創(chuàng)立的解析幾何沖破幾何學(xué)研究古典形式的束縛,隨著“坐標(biāo)”的概念的引進(jìn),實現(xiàn)了平面的“算術(shù)化”.用代數(shù)方法代替?zhèn)鹘y(tǒng)的幾何方法,使幾何學(xué)向前邁出了一大步.高中解析幾何則成為培養(yǎng)學(xué)生運算素養(yǎng)的重要知識載體.2017年版新課標(biāo)指出:在解決解析幾何運算問題時,需要借助理解運算對象、運用運算法則、探索運算思路、設(shè)計運算程序、實施運算過程等一系列數(shù)學(xué)思維活動[1],闡明數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)水平的表現(xiàn),體會滿意原則和加分原則,給學(xué)生以科學(xué)合理的思維訓(xùn)練.

一、運算思路探究

1.試題呈現(xiàn)

為了考察直線、圓的方程以及直線與圓的位置關(guān)系等知識,幾所學(xué)校聯(lián)考命制了如下測試題.

試題如圖1,在平面直角坐標(biāo)系xOy中,圓O的方程為x2+y2=1,圓O與x軸交于A,B兩點,且B在A的右側(cè),設(shè)直線l的方程為y=k(x+2)(k≠0),直線l與x軸交于點P.已知直線l與圓O相交于M,N兩點;連結(jié)AM,BN并分別延長相交于點C,問是否存在一定直線m,使得點C恒在該直線上運動? 若存在,請求出該直線的方程;若不存在,請說明理由.

2.運算思路初探

這類問題研究在“變化”中尋找“不變量”.由于直線PM斜率的變化,引起直線l與圓O交點M，N的變化,進(jìn)而影響直線AM與BN的交點C的位置.選擇直線l的斜率k為參量,可計算出點C橫坐標(biāo),使問題獲解.

又聯(lián)立直線AM,BN的方程,可得

①

利用直線l的方程,化簡可得

評注如果學(xué)生能夠選擇適合的參量,結(jié)合已知條件計算推出表達(dá)式,化簡整理得出結(jié)論,體會運算法則的意義和作用,根據(jù)滿意原則,可認(rèn)為達(dá)到數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)水平一的要求.

3. 運算思路再探

評注如果能夠這樣思考,說明學(xué)生能夠?qū)㈩}目中提供的數(shù)據(jù)融會貫通地運用到熟悉的等式,并且能夠明晰運算途徑、合理選擇運算方法、設(shè)計運算程序,得到運算結(jié)果.根據(jù)加分原則,這樣的學(xué)生可認(rèn)為達(dá)到數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)水平二的要求.

4.運算思路三探

二、運算思路溯源

數(shù)學(xué)運算是指在明晰運算對象的基礎(chǔ)上,依據(jù)運算法則解決數(shù)學(xué)問題的素養(yǎng).如果能夠延申對問題的思考,探索思路的起點或源泉,能夠理解運算是一種演繹推理,則可在數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)水平三的基礎(chǔ)上加分,是發(fā)展數(shù)學(xué)運算素養(yǎng)的高級階段.本題的解題過程,我們可以尋得兩個基本原理.

1.直線與三角形三邊相交——梅涅勞斯定理

從解法3中不難發(fā)現(xiàn)本題有一定的平面幾何背景,利用P，M，N三點共線探索出k1、k2的關(guān)系,這是梅涅勞斯定理[2]的基本構(gòu)圖.如圖2，由梅涅勞斯定理，得

(*)

2.三線交于三角形中一點——塞瓦定理

觀察?ABC,我們有BM⊥AC,AN⊥BC.作CR⊥AB,則CR，BM，AN交于?ABC的垂心,這符合塞瓦定理[2]的基本構(gòu)圖.如圖3，由塞瓦定理，得

(**)

科學(xué)規(guī)劃解題途徑,來自于對問題的理解,來自于對問題背景的認(rèn)識,來自于對問題中內(nèi)在聯(lián)系的洞察,來自于對問題結(jié)構(gòu)的分析等.通過運算促進(jìn)數(shù)學(xué)思維發(fā)展,形成規(guī)范化思考問題的品質(zhì),有利于養(yǎng)成一絲不茍、嚴(yán)謹(jǐn)求實的科學(xué)精神.這其實是通過數(shù)學(xué)問題解決培養(yǎng)學(xué)生綜合素養(yǎng)的有效途徑.