還原直觀(guān)圖 巧解幾何題*

張全合

(北京市昌平區(qū)第一中學(xué),102200)

在立體幾何解題中,有時(shí)會(huì)遇到題中未給出幾何體的直觀(guān)圖,而是給出與題設(shè)的幾何體密切相關(guān)的一些圖形;或者試題只用語(yǔ)言敘述,根本不給出具體圖形.這類(lèi)題型考查學(xué)生的空間想象力,解題時(shí)只要根據(jù)題意還原幾何體的直觀(guān)圖,即可加強(qiáng)問(wèn)題的幾何直觀(guān),有利于尋找解題方法,甚至是巧招妙法.

一、由三視圖還原幾何體的直觀(guān)圖

例1(2020年全國(guó)高考題)如圖1,是一個(gè)多面體的三視圖,這個(gè)多面體某條棱的一個(gè)端點(diǎn)在正視圖中對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為M,在俯視圖中對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為N,則該端點(diǎn)在側(cè)視圖中對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為( )

(A)E(B)F(C)G(D)H

解由三視圖還原多面體的直觀(guān)圖如圖2,即可判斷出所求對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為E.選A.

二、由截面圖還原幾何體的直觀(guān)圖

例2(2006年湖南高考題)棱長(zhǎng)為2的正四面體的四個(gè)頂點(diǎn)都在同一球面上,若過(guò)球心的一個(gè)截面如圖3,則圖3中的三角形(正四面體的截面)的面積是( )

分析由圖3可知,過(guò)球心的截面三角形是等腰三角形,該等腰三角形的底邊是截面圓的弦,它必是球面內(nèi)接正四面體的一條棱;該等腰三角形的頂點(diǎn)必是這條棱所對(duì)的棱的中點(diǎn).

解還原球面O的內(nèi)接正四面體ABCD，如圖4,記E為棱CD的中點(diǎn),則圖3中的截面是?ABE.

三、由側(cè)面展開(kāi)圖還原幾何體的直觀(guān)圖

分析圖5中點(diǎn)D,E,F即為原三棱錐的頂點(diǎn)P,還原三棱錐P-ABC，如圖6.所求即為三棱錐中的cos∠PCB,只要求?PCB的三邊長(zhǎng).

四、由局部圖形還原幾何體的直觀(guān)圖

例4(2009年江西高考題)如圖7,正四面體ABCD的頂點(diǎn)A,B,C分別在兩兩垂直的三條射線(xiàn)Ox,Oy,Oz上,則在下列命題中,錯(cuò)誤的為( )

(A)O-ABC是正三棱錐

(B)直線(xiàn)OB∥平面ACD

(C)直線(xiàn)AD與OB所成的角是45°

(D)二面角D-OB-A為45°

分析由圖7中的正四面體的棱長(zhǎng)相等及射線(xiàn)Ox,Oy,Oz兩兩垂直的條件,可構(gòu)造正方體OAQB-CEDF如圖8,則正四面體ABCD的各棱是這個(gè)正方體的面對(duì)角線(xiàn).

解法1如圖8,因OA2+OB2=OB2+OC2=OC2+OA2,有OA=OB=OC,故O-ABC是正三棱錐,A真;因直線(xiàn)AD與OB所成的角為∠DAQ=45°,C真;因二面角D-OB-A的平面角為∠DBQ=45°,D真.排除ACD,所以選B.

解法2如圖9,在正方體OAQB-CEDF的左邊再構(gòu)造一個(gè)全等的正方體HMAO-PNEC,則MQBH-NDFP是長(zhǎng)正方體,平面ACD即平面ADCH.直線(xiàn)OB與平面ADCH相交于點(diǎn)H,這說(shuō)明直線(xiàn)OB與平面ACD相交于點(diǎn)H.所以選B.

例5(2005年全國(guó)高考題)如圖10,在多面體ABCDEF中,已知ABCD是邊長(zhǎng)為1的正方形,且?ADE，?BCF均為正三角形,EF∥AB,EF=2,則多面體的體積為( )

分析若再有一個(gè)與之全等的多面體,將這個(gè)全等的多面體倒置且旋轉(zhuǎn)90°后與原多面體對(duì)接,可得一個(gè)棱長(zhǎng)為2的正四面體,這個(gè)正四面體體積的一半即為所求.

評(píng)注此題解法較多,上述解法可謂巧招妙法.

五、由解析式的特征構(gòu)造幾何體的直觀(guān)圖

解過(guò)點(diǎn)(0,y)(|y|≤1)作Ω的水平截面,截平放的圓柱O-O1和長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1,分別得如圖13的矩形EFMN和如圖14的矩形PQGH.

在圖14中,AA1=2,BC=2,AB=4π,SPQGH=SABCD=8π.

因?yàn)檫^(guò)點(diǎn)(0,y)(|y|≤1)作Ω的每一個(gè)水平截面的面積等于該截面截平放的圓柱O-O1和長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1所得兩個(gè)截面的面積之和,由祖暅原理知Ω的體積VΩ=V圓柱+VABCD-A1B1C1D1=π×12×2π+8π×2=2π2+16π.

六、由文字?jǐn)⑹霎?huà)出幾何體的直觀(guān)圖

例7(2020年全國(guó)高考題)如圖15,日晷是中國(guó)古代用來(lái)測(cè)定時(shí)間的儀器,利用與晷面垂直的晷針到晷面的影子來(lái)測(cè)定時(shí)間.把地球看成一個(gè)球(球心記為O),地球上一點(diǎn)A的緯度是指OA與地球赤道所在平面所成的角,點(diǎn)A處的水平面是指過(guò)點(diǎn)A且與OA垂直的平面.在點(diǎn)A處放置一個(gè)日晷,若晷面與赤道所在平面平行,點(diǎn)A處的緯度為北緯40°,則晷針與點(diǎn)A處的水平面所成的角為( )

(A)20° (B)40° (C)50° (D)90°

分析畫(huà)好說(shuō)明該問(wèn)題的直觀(guān)圖如圖16.用AB表示晷針,設(shè)點(diǎn)A處的水平面是α,平面α與過(guò)OA且與赤道所在平面垂直的平面相交于直線(xiàn)EF.由題意知EF是大圓O的切線(xiàn),∠AOD=40°,∠BAE為所求.由∠BAE的兩邊與∠AOD的兩邊兩兩垂直,知∠BAE=40°.

解如圖15,因?yàn)椤螼AC=∠AOD=40°,OA⊥EF,AB⊥OD,所以∠CAE=50°,晷針與點(diǎn)A處的水平面所成的角∠BAE=40°.選B.

還原幾何體的直觀(guān)圖,使我們清晰地認(rèn)識(shí)了問(wèn)題的廬山真面目,助力了解題思路的產(chǎn)生與發(fā)展.這需要我們對(duì)于基本的幾何體及其直觀(guān)圖很了解,并且具有足夠的想象力.在還原幾何體的直觀(guān)圖解題的過(guò)程中,我們品味了數(shù)學(xué)之美,寓解題于快樂(lè)之中,趣味橫生.