對稱性在函數(shù)求值問題中的運用

鄭碧星 吳志鵬

(福建省德化第一中學，362500)

函數(shù)圖象的對稱性是函數(shù)的一個基本性質(zhì).在函數(shù)求值問題中，若能掌握好兩者之間的關系,可達到事半功倍的解題效果.

圖形的對稱性主要有軸對稱和中心對稱兩大類.對定義在R上的函數(shù)y=f(x),我們熟知有如下結論:

本文只研究函數(shù)圖象的自身對稱性問題.

一、用抽象函數(shù)的對稱性求值

若題中給出的抽象函數(shù)滿足上述條件,不僅可直接由對稱性求相應函數(shù)值,還可利用對稱性、奇偶性(也是對稱性),即通過雙對稱性挖掘題設隱含的周期性,簡化解題過程.

(A)-50 (B) 0 (C)2 (D)50

解 由f(1-x)=f(1+x),知f(x)的圖象關于x=1對稱,即f(x)=f(2-x).又f(-x)=-f(x),故f(x)=-f(-x)=-f(x+2)=f(x+4),f(x)以4為周期.

由f(0)=0,f(1)=2及f(1-x)=f(1+x),可得f(2)=0,f(3)=-2,f(4)=0,故f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=0.

二、用特殊函數(shù)的對稱性求值

我們學習過的很多基本初等函數(shù),它們的圖象具有軸對稱和中心對稱的特性,這些特殊的函數(shù)經(jīng)過一定的加工、變形、整合也具有對稱性或局部對稱性.

1.利用奇偶函數(shù)平移伸縮后的對稱性

例2設函數(shù)f(x)=(x-2)2sin(x-2)+3在區(qū)間[-1,5]上的最大值和最小值分別為M,m,則M+m=______.

解將奇函數(shù)g(x)=x2sinx的圖象向右平移兩個單位,再向上平移3個單位,得f(x)的圖象.故f(x)的圖象關于點(2,3)對稱,最大最小值的平均數(shù)為3,可得M+m=6.

(A)2 (B) 4 (C) 6 (D)8

如圖1,易見兩圖象所有交點共有4對,每對交點關于點(1,0)成中心對稱,橫坐標之和為2,所有交點的橫坐標之和等于8.選D.

(A) 0 (B) 504

(C) 1 008 (D)2 016

2. 利用指數(shù)對數(shù)型函數(shù)經(jīng)過運算變換后的對稱性

3.利用對稱函數(shù)迭加后的對稱性

若函數(shù)h(x)和g(x)(x∈D)的圖象皆關于直線x=a對稱,則f(x)=h(x)+g(x)的圖象在D上也關于直線x=a對稱.

若函數(shù)h(x)與g(x)的圖象分別關于點(a,b),(a,c)中心對稱,則f(x)=h(x)+g(x)的圖象關于點(a,b+c)中心對稱.

例7(2017年全國高考題)已知函數(shù)f(x)=x2-2x+a(ex-1+e-x+1)有唯一零點,則a=( )

解令g(x)=x2-2x,h(x)=a(ex-1+e-x+1),則f(x)=g(x)+h(x),且g(x)的圖象關于x=1對稱.又h(x)的圖象是由偶函數(shù)y=a(ex+e-x)的圖象右移1個單位得到,其圖象關于直線x=1對稱(或由h(x)=h(2-x)知),可得f(x)的圖象關于直線x=1對稱.

評注識破命題者對零點問題的新包裝方式,熟悉對稱函數(shù)疊加后保持的對稱性,可避繁就簡、順利求解.

三、用混合型函數(shù)的對稱性求值

有時問題的設計并非是單純的抽象函數(shù)或單純的具體函數(shù),而是把具有對稱性的抽象函數(shù)和具體函數(shù)有機結合,構建考查求值問題.

(A) 0 (B)m(C) 2m(D)4m

解因f(x)的圖象可由f(x+1)的圖象向右平移1個單位得到的,所以它關于x=1對稱;又y=|x2-2x-3|=|(x-1)2-4|,其圖象也關于x=1對稱,故題設交點關于直線x=1對稱.

(A)0 (B)m(C) 2m(D)4m

故選B.

解令m=n=0,可得g(0)=3.再令n=-m,得g(m)+g(-m)=6,因此g(x)的圖象關于點(0,3)對稱.

四、用復合函數(shù)型的對稱性求值

復合是函數(shù)的一種重要運算,許多具有對稱性質(zhì)的函數(shù)通過這種變換仍具備對稱性,解題時應注意挖掘.

解令h(x)=x2-2x+3,其圖象關于直線x=1對稱,即有h(x)=h(2-x).

又g(x)=f(h(x)),故g(2-x)=f(h(2-x))=f(h(x))=g(x),g(x)的圖象關于直線x=1對稱.

評注本題的復合函數(shù)沒有給出任何外層函數(shù)的信息,僅僅提供了內(nèi)層函數(shù).利用二次函數(shù)的對稱性,驗證復合函數(shù)依舊保持對稱性,使解題過程呈現(xiàn)山窮水盡疑無路,柳暗花明又一村的境界.