凸顯運(yùn)算素養(yǎng)的高三復(fù)習(xí)課教學(xué)設(shè)計(jì)

王 珂

(南京航空航天大學(xué)蘇州附屬中學(xué)，215121)

隨著教育部《關(guān)于全面深化課程改革落實(shí)立德樹(shù)人根本任務(wù)的意見(jiàn)》的發(fā)布,“核心素養(yǎng)”已成為當(dāng)下熱門(mén)詞匯.數(shù)學(xué)六大核心素養(yǎng)之一的數(shù)學(xué)運(yùn)算,主要表現(xiàn)為:理解運(yùn)算對(duì)象、運(yùn)算法則,探究運(yùn)算思路,求得運(yùn)算結(jié)果.然而現(xiàn)階段高中學(xué)生運(yùn)算能力較弱,很多一線教師都有這樣的體會(huì):有些學(xué)生運(yùn)算過(guò)程中不能選擇合理簡(jiǎn)潔的運(yùn)算途徑,運(yùn)算過(guò)程繁瑣,準(zhǔn)確率低;有些學(xué)生總是機(jī)械地套用公式,不會(huì)靈活進(jìn)行變形.這些情況直接影響了高中數(shù)學(xué)的教學(xué)質(zhì)量.因此,筆者認(rèn)為,在高三復(fù)習(xí)過(guò)程中,教師要勤于研究,為學(xué)生創(chuàng)設(shè)合理的情境,尋找可以磨練學(xué)生運(yùn)算能力的典型例題.

一、問(wèn)題呈現(xiàn)

題目如圖1,兩座建筑物AB,CD的高度分別是9 m和15 m,從建筑物AB的頂部A看建筑物CD的張角∠CAD=45°,求建筑物AB和CD的底部之間的距離BD.

此題為2020年4月份南京市一模考試的應(yīng)用題,大多數(shù)學(xué)生習(xí)慣用余弦定理來(lái)解題,因涉及求解帶有根式的高次分式函數(shù)的最值而以失敗告終,全市平均得分較低.如何使學(xué)生有流暢的思維、靈活的方法選擇和運(yùn)算的優(yōu)化等,就顯得尤其重要.

在高三復(fù)習(xí)課階段,學(xué)生已經(jīng)儲(chǔ)備了正余弦定理、兩角和差公式和面積公式等與三角相關(guān)的知識(shí)點(diǎn).鑒于學(xué)生對(duì)運(yùn)用正余弦定理較熟悉,部分學(xué)生甚至出現(xiàn)思維定式,如何在靈活多變的高考題面前靈活應(yīng)變,筆者引導(dǎo)學(xué)生多角度進(jìn)行解題分析,并在此基礎(chǔ)上對(duì)該題做了拓展延伸.

二、解法分析

1. 重現(xiàn)余弦尋疑惑

x4-333x2+2 916=0,

(*)

即(x2-9)(x2-36×9)=0,解得x=3或x=18(負(fù)數(shù)舍去).注意2x2-108>0,得所求距離x=18.

反思剖析(*)式看成關(guān)于x2的一元二次方程,對(duì)其因式分解是計(jì)算難點(diǎn),必須善于觀察.注意原始等式里的36,81,108這三個(gè)數(shù)有公因數(shù)9,(*)式可化簡(jiǎn)成x4-37·9·x2+36·92=0,因式分解隨之可得.此外,應(yīng)用題需注意變量x的取值范圍,舍去增根.

設(shè)計(jì)意圖回顧學(xué)生從最熟悉的余弦定理給出的解答,在肯定其思維合理性的同時(shí)查找疑點(diǎn),正面引導(dǎo)學(xué)生在數(shù)據(jù)龐大的情形中要善于觀察和思考,在數(shù)據(jù)的來(lái)源上尋找問(wèn)題的突破口,啟迪學(xué)生在掌握十字相乘因式分解的運(yùn)算法則前提下,通過(guò)尋找公因數(shù)湊平方法優(yōu)化運(yùn)算,提升學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)(這也是學(xué)生最缺乏的).

2. 更換正弦思優(yōu)化

設(shè)計(jì)意圖由正弦定理分析斜三角形?CAD,結(jié)合所求邊適時(shí)引進(jìn)邊參x和角參α,由平行線建立Rt?ABD與?CAD的聯(lián)系,得出α與x的聯(lián)系,化簡(jiǎn)得到關(guān)于x的一元二次方程,有助于引導(dǎo)學(xué)生培養(yǎng)邏輯推理與綜合運(yùn)算能力. 探究運(yùn)算思路的變化,所得方程極其簡(jiǎn)單,增根秒除,優(yōu)化了運(yùn)算.

3.巧用面積拓思維

由于表示面積的方法有很多,本題還可以考慮?CAD的面積,用算兩次列方程得出解答.

設(shè)計(jì)意圖通過(guò)本解法的展示,意在引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)數(shù)學(xué)問(wèn)題的求解除了需要熟悉相關(guān)知識(shí),有時(shí)還需要高觀點(diǎn)指導(dǎo),發(fā)揮常見(jiàn)數(shù)學(xué)解題思想方法的有效作用,拓展學(xué)生的思維,克服思維定勢(shì)靈活解題.

4. 特殊圖形顯神威

上述三種方法各有各的特點(diǎn),但都帶有一定的運(yùn)算量.若能數(shù)形結(jié)合,回歸直角三角形這個(gè)特殊圖形,將∠CAD分拆,利用兩角和的正切公式可使問(wèn)題簡(jiǎn)便解決.

設(shè)計(jì)意圖本解法打破常規(guī)思想,跳出學(xué)生熟知的正余弦定理和面積公式認(rèn)知圈.由特殊圖形數(shù)形結(jié)合,利用和角的正切公式建立邊的等量關(guān)系,使邊的等量關(guān)系以更簡(jiǎn)潔的形式呈現(xiàn).運(yùn)算過(guò)程極其簡(jiǎn)單,讓學(xué)生感受到優(yōu)化數(shù)學(xué)運(yùn)算的魅力.

三、變式拓展

變式1改變張角再求BD

設(shè)計(jì)意圖變式1盡管只換了一個(gè)角,但給了角的正切值后,既縮小了思考范圍,又改變學(xué)生一遇到問(wèn)題就會(huì)聯(lián)想正余弦定理而不考慮和差角的正切公式的定勢(shì)思維,意在引導(dǎo)學(xué)生要從條件的細(xì)節(jié)出發(fā)思考問(wèn)題,找線索是解題的關(guān)鍵.另外,變式1變成了兩角差的正切公式,與上文形式不同而原理一樣,讓學(xué)生體驗(yàn)?zāi)Ｐ偷亩鄻有?

變式2移動(dòng)AB求張角最值

繼續(xù)變式.如圖4,若CD是建筑物,CD=15,建筑物底端平面上點(diǎn)B處有一臺(tái)升降機(jī),BD=18,某人隨升降機(jī)升高至點(diǎn)A處(AB

設(shè)計(jì)意圖變式2將上文的定值問(wèn)題變成了動(dòng)態(tài)問(wèn)題求最值,這是高考的熱門(mén)題型.另外,景區(qū)觀光電梯或者隔岸觀景等應(yīng)用題的數(shù)學(xué)模型也是這個(gè)模型,一模應(yīng)用題簡(jiǎn)化后的數(shù)學(xué)模型也是這個(gè)模型的再變式.兩角和差公式在變式模型中依舊適用,方法仍然簡(jiǎn)單明了,并且如果深挖這個(gè)模型,變化BD的值研究點(diǎn)A的位置,還能得到一般規(guī)律,這也體現(xiàn)了從特殊到一般的數(shù)學(xué)思想.

變式3變動(dòng)BD求張角最值

將問(wèn)題再做改動(dòng).如圖5,在建筑物CD上有一塊廣告牌,廣告牌最高點(diǎn)M處離地7.5米,最低點(diǎn)N處離地2.5米,若某人腳底在點(diǎn)B處,眼睛在離地1.5米的點(diǎn)A處觀察廣告牌,問(wèn)BD為多少時(shí)張角∠MAN有最大值?

tan∠MAN=tan(∠MAE-∠NAE)

設(shè)計(jì)意圖如果說(shuō)變式2是縱向的動(dòng)態(tài)問(wèn)題,那變式3則是橫向變換帶來(lái)的最值問(wèn)題,使原本的三角問(wèn)題轉(zhuǎn)化成函數(shù)問(wèn)題,最終利用基本不等式來(lái)解決.多重維度的變換,讓學(xué)生感受多樣模型下解題方法選取的靈活性.課堂上如果時(shí)間允許,不妨再讓點(diǎn)A做曲線運(yùn)動(dòng),或者讓學(xué)生編寫(xiě)題目,那這節(jié)課會(huì)更加豐富多彩.