巧變教材 提升轉(zhuǎn)化能力
——《平行四邊形的面積》教學(xué)例談

江蘇無(wú)錫市玉祁中心小學(xué) 薛維惠 丁君華

數(shù)學(xué)教材為學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)提供了學(xué)習(xí)主題、基本線(xiàn)索和知識(shí)結(jié)構(gòu)，是實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)課程目標(biāo)、實(shí)施數(shù)學(xué)教學(xué)的重要資源?，F(xiàn)用的蘇教版小學(xué)數(shù)學(xué)教材就以多樣、有趣、富有探索性的素材呈現(xiàn)教學(xué)內(nèi)容，深受師生的喜歡。但是教學(xué)中，如果教師僅做教材的“搬運(yùn)工”還不夠，需從知識(shí)的本質(zhì)與學(xué)生的學(xué)情兩個(gè)維度深入思考，將現(xiàn)有教材進(jìn)行適當(dāng)改變，才能更好地促進(jìn)學(xué)生學(xué)力的提升，發(fā)展學(xué)科素養(yǎng)。

以小學(xué)階段平面圖形的面積計(jì)算來(lái)說(shuō)，要知道一個(gè)圖形的面積是多少，本質(zhì)是看它包含多少個(gè)面積單位。教材把這部分內(nèi)容分為兩個(gè)階段，三年級(jí)學(xué)習(xí)長(zhǎng)方形和正方形的面積計(jì)算，采用直接測(cè)量的方法，五年級(jí)學(xué)習(xí)平行四邊形、三角形、梯形、圓形的面積計(jì)算，采用轉(zhuǎn)化的測(cè)量方法。平行四邊形的面積作為第二階段的起始課，顯得尤為重要，承擔(dān)著承上啟下的作用，教材在編排上遵循“問(wèn)題情境—?jiǎng)邮植僮鳌沂韭?lián)系—建立模型”的過(guò)程，給學(xué)生提供了很好的學(xué)習(xí)線(xiàn)索。如何給學(xué)生提供充分的思考空間，讓他們對(duì)“轉(zhuǎn)化”獲得更深刻的感悟？筆者適當(dāng)改編教材，進(jìn)行了有益地實(shí)踐。

一、變要求為需求，激發(fā)轉(zhuǎn)化的動(dòng)力

【教材重現(xiàn)】

教材呈現(xiàn)的例1、例2，目的是喚醒學(xué)生已有的學(xué)習(xí)方法和轉(zhuǎn)化方向，為探究平行四邊形的面積公式提供基本思路。從實(shí)際情況來(lái)看，例題1，100%的學(xué)生能解決問(wèn)題，其中90%以上的學(xué)生會(huì)用轉(zhuǎn)化的方法進(jìn)行比較；例題2，100%的學(xué)生會(huì)進(jìn)行轉(zhuǎn)化?？梢?jiàn)，學(xué)生對(duì)轉(zhuǎn)化這一方法是不陌生的，將平行四邊形轉(zhuǎn)化成長(zhǎng)方形也有著豐富的經(jīng)驗(yàn)。筆者認(rèn)為，這樣的活動(dòng)側(cè)重用轉(zhuǎn)化，如果能喚醒學(xué)生轉(zhuǎn)化的真需求，在頭腦中自覺(jué)萌發(fā)一種轉(zhuǎn)化的意識(shí)，才能激活學(xué)生學(xué)習(xí)的動(dòng)力。筆者做了如下改變。

【重新設(shè)計(jì)】

談話(huà)回顧：早在2000多年前,我國(guó)的數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中，就記載了有關(guān)土地面積的問(wèn)題，具體介紹了各種圖形的面積計(jì)算方法。（出示平面圖形）想一想，長(zhǎng)方形、正方形面積是怎么計(jì)算的？我們是怎么推導(dǎo)出來(lái)的呢？

學(xué)生交流。

設(shè)置沖突：用長(zhǎng)×寬、邊長(zhǎng)×邊長(zhǎng)可以求出一共有多少個(gè)面積單位，也就知道了長(zhǎng)方形和正方形的面積。如果要知道平行四邊形、三角形、梯形和圓形面積，也就是要知道它里面包含多少個(gè)面積單位，該怎么辦呢？看，如果用面積單位直接去度量平行四邊形、三角形、梯形和圓形面積，與長(zhǎng)方形、正方形有什么不同？

一對(duì)比，學(xué)生發(fā)現(xiàn)：用面積單位度量平行四邊形、三角形、梯形和圓形面積時(shí)，有整格的也有不是整格的，不能一下子數(shù)出它的面積是多少。

追問(wèn)：那么人們會(huì)怎么來(lái)研究它們的面積呢？以這個(gè)平行四邊形為例，想辦法求出一個(gè)平行四邊形的面積？

學(xué)生活動(dòng)，分享方法。

【思考】

學(xué)生知道了“轉(zhuǎn)化”的方法，不代表知道“轉(zhuǎn)化”的意義。筆者借助數(shù)學(xué)文化史，創(chuàng)設(shè)情境，用問(wèn)題驅(qū)動(dòng)的方式激活了學(xué)生學(xué)習(xí)動(dòng)力，讓學(xué)生化被動(dòng)解決問(wèn)題為主動(dòng)進(jìn)行研究，尋求解決的方案。在這個(gè)過(guò)程中，學(xué)生已有的數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)被充分調(diào)動(dòng)起來(lái)，都想到用化零為整的轉(zhuǎn)化方法解決問(wèn)題，這種方法與數(shù)學(xué)家的“以盈補(bǔ)虛”方法不謀而合。正因?yàn)橛姓骟w驗(yàn)、真思考，所以分享時(shí)學(xué)生們頭頭是道，不僅解決了這個(gè)平行四邊形的面積是多少，還了解了轉(zhuǎn)化的方法：即沿著平行四邊形的一條邊把它剪成兩部分，能變成與它面積相等的長(zhǎng)方形。除此之外，更難能可貴的是讓學(xué)生體會(huì)到了轉(zhuǎn)化思想在研究平行四邊形面積中的意義，積累了圖形面積探索的經(jīng)驗(yàn)。等到課尾，讓學(xué)生說(shuō)說(shuō)打算怎樣研究三角形、梯形、圓形面積時(shí)，他們不約而同說(shuō)出“轉(zhuǎn)化”的方法。巧變教材，整合了教材提供的素材，把隱性的數(shù)學(xué)本質(zhì)暴露在學(xué)生面前，讓他們像數(shù)學(xué)家一樣去思考，激發(fā)了內(nèi)心“想轉(zhuǎn)化”的探究需求。

二、變個(gè)例為眾例，體驗(yàn)轉(zhuǎn)化的魅力

【教材重現(xiàn)】

教材呈現(xiàn)的例3，重點(diǎn)放在研究平行四邊形與轉(zhuǎn)化后長(zhǎng)方形之間的聯(lián)系上，教材細(xì)致地提供了材料和方法指導(dǎo)。從實(shí)際情況看，在教師指導(dǎo)、同伴互助下，這個(gè)活動(dòng)能有序、有效進(jìn)行。但筆者認(rèn)為，第115頁(yè)上的4個(gè)平行四邊形樣式略顯單一，僅憑個(gè)例來(lái)推導(dǎo)平行四邊形面積公式的普遍性還不夠嚴(yán)謹(jǐn)，而且實(shí)踐中發(fā)現(xiàn)，學(xué)生對(duì)轉(zhuǎn)化前后圖形之間的聯(lián)系，主要是通過(guò)表中對(duì)應(yīng)數(shù)據(jù)發(fā)現(xiàn)的，這也不利于學(xué)生抽象思維的發(fā)展。筆者做了如下改變。

【重新設(shè)計(jì)】

談話(huà)：這個(gè)平行四邊形的面積能轉(zhuǎn)化成長(zhǎng)方形求出面積，那是不是所有平行四邊形都可以轉(zhuǎn)化成長(zhǎng)方形？（出示各種各樣的平行四邊形）

（學(xué)生面露困惑）提出操作要求：在方格紙上任意畫(huà)一個(gè)平行四邊形，用剪拼的方法試試能不能轉(zhuǎn)化成長(zhǎng)方形，畫(huà)出轉(zhuǎn)化過(guò)程。

組織交流，預(yù)設(shè)：

（1）有些學(xué)生畫(huà)出的平行四邊形如①②④⑤，能很快轉(zhuǎn)化成長(zhǎng)方形。

（2）有些學(xué)生畫(huà)出的平行四邊形如③，學(xué)生轉(zhuǎn)化有困難，組織討論發(fā)現(xiàn)也可以轉(zhuǎn)化成長(zhǎng)方形。

提問(wèn)：閉眼想一想，平行四邊形可以怎樣轉(zhuǎn)化成長(zhǎng)方形？能不能找出一個(gè)平行四邊形不能轉(zhuǎn)化成長(zhǎng)方形的？

學(xué)生找反例。

教師邊演示邊小結(jié)：剛才我們研究大小、形狀各不相同的平行四邊形，分成兩種：有的平行四邊形既可以沿著上下對(duì)邊的高剪開(kāi)，轉(zhuǎn)化成長(zhǎng)方形，也可以沿著左右對(duì)邊的高剪開(kāi)，轉(zhuǎn)化成長(zhǎng)方形；有的平行四邊形沿著左右對(duì)邊的高剪開(kāi)，轉(zhuǎn)化成長(zhǎng)方形比較方便，通過(guò)操作我們發(fā)現(xiàn)所有的平行四邊形都能轉(zhuǎn)化成與它面積相等的長(zhǎng)方形。

接著，學(xué)生借助操作過(guò)程，小組討論轉(zhuǎn)化前后兩個(gè)圖形之間的聯(lián)系，推導(dǎo)出平行四邊形的面積等于底乘高。

【思考】

學(xué)生認(rèn)可“幾個(gè)圖形能轉(zhuǎn)化”，并不代表認(rèn)可“所有的圖形都能進(jìn)行轉(zhuǎn)化”。我們知道，一個(gè)計(jì)算公式表達(dá)的是一類(lèi)圖形的面積計(jì)算方法，需要在同一類(lèi)的眾多圖形的面積探索中總結(jié)出來(lái)，是一個(gè)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)难堇[推理過(guò)程?；谶@種思考，筆者在教學(xué)中做了改變：一是不提供平行四邊形個(gè)例，改為全班每人任意畫(huà)一個(gè)平行四邊形，為學(xué)生的研究提供了豐富的素材——既有常見(jiàn)的例子，也有特殊的例子，還努力去尋找反例，在有序的操作交流中積累直觀的體驗(yàn)，為接下來(lái)的分析推理面積計(jì)算公式提供了豐富的探究案例。二是不提供表格數(shù)據(jù)，更側(cè)重于對(duì)轉(zhuǎn)化前后兩個(gè)圖形聯(lián)系的推理。先讓學(xué)生在方格紙上尋找兩個(gè)圖形的聯(lián)系，這是感性的、具體的體驗(yàn)，再?lài)@黑板上兩個(gè)幾何圖形尋找聯(lián)系，是對(duì)圖形之間本質(zhì)聯(lián)系的推理，這是理性的、抽象的體驗(yàn)，從具體到抽象、感性到理性，使推導(dǎo)出的計(jì)算公式更具有普遍性和科學(xué)性。巧變教材，豐富了教材呈現(xiàn)的活動(dòng)過(guò)程，學(xué)生不僅理解和掌握了計(jì)算公式，同時(shí)積累了轉(zhuǎn)化的經(jīng)驗(yàn)，體驗(yàn)到了轉(zhuǎn)化的魅力，數(shù)學(xué)思維的邏輯性、嚴(yán)密性得到進(jìn)一步發(fā)展，空間能力、推理能力、模型思想等學(xué)科素養(yǎng)的培養(yǎng)也得以落實(shí)。

三、變操練為甄選，擴(kuò)展轉(zhuǎn)化的張力

【教材重現(xiàn)】

教材上的這一練習(xí)，及時(shí)鞏固了所學(xué)知識(shí)，把已知的數(shù)據(jù)代入公式計(jì)算出圖形的面積對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)難度不大，需要提醒的是面積單位不相同。仔細(xì)觀察第2、3兩個(gè)圖形都以斜邊為底，因只有兩個(gè)條件，不會(huì)對(duì)學(xué)生加以干擾，因此這組練習(xí)停留于熟練公式進(jìn)行計(jì)算的目的。如何將學(xué)生關(guān)注的視角引向轉(zhuǎn)化方法背后的原理？為進(jìn)一步溝通新學(xué)圖形與相應(yīng)轉(zhuǎn)化后圖形的關(guān)系，深化對(duì)面積公式的理解，教學(xué)時(shí)，筆者改變了其中一題，使學(xué)生知其然，更知其所以然，進(jìn)而獲得一種更具深度的張力。

【重新設(shè)計(jì)】

判斷：計(jì)算下面平行四邊形的面積（單位：厘米）

學(xué)生手勢(shì)判斷并指名說(shuō)明原因。

【思考】

學(xué)生知道“怎么解答”，并不代表知道“其中的道理”。只有蘊(yùn)含理性思考的練習(xí)才能觸動(dòng)學(xué)生的思維，觸及學(xué)生的心靈。筆者改變習(xí)題，創(chuàng)造機(jī)會(huì)讓學(xué)生體驗(yàn)面積公式及其蘊(yùn)含的思想。通過(guò)想象，這個(gè)平行四邊形在學(xué)生頭腦中動(dòng)起來(lái)，可以轉(zhuǎn)化成長(zhǎng)15厘米，寬8厘米的長(zhǎng)方形，也可以轉(zhuǎn)化成10 厘米，寬12 厘米的長(zhǎng)方形，但不可能轉(zhuǎn)化成長(zhǎng)15 厘米，寬12 厘米的長(zhǎng)方形，也不能用兩條鄰邊相乘，突出了面積公式中最關(guān)鍵的部分——平行四邊形的面積與它的底和高有關(guān)，而且是互相垂直的一組底和高。巧變教材，大大增加了教材練習(xí)的思維含量，架起了現(xiàn)象與本質(zhì)的橋梁，讓轉(zhuǎn)化思想更具張力。

轉(zhuǎn)化思想作為一種重要的數(shù)學(xué)思想，我們學(xué)習(xí)它不僅僅是學(xué)習(xí)它的方法技巧，更重要的是在學(xué)生的頭腦中建立一種思想——將復(fù)雜的問(wèn)題簡(jiǎn)單化，將陌生的問(wèn)題熟悉化，教師唯有精心選擇學(xué)習(xí)素材，讓學(xué)習(xí)素材觸及數(shù)學(xué)思想的本質(zhì)，方能讓學(xué)生增強(qiáng)轉(zhuǎn)化的意識(shí)，從整體上理解知識(shí)的內(nèi)涵，感受數(shù)學(xué)知識(shí)之間的內(nèi)在聯(lián)系，實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)化能力的提升。