高中數學立體幾何解題技巧分析

張景生

【摘要】目前，在高中立體幾何解題過程中有很多學生表現出了思維過于單一的問題，一旦題型稍有變化便難以應付.學生缺少對立體幾何知識的深入掌握，其原因主要是教師的教學理念相對滯后，不重視培養(yǎng)學生的空間想象能力、邏輯論證能力，因此影響學生對立體幾何解題技巧的掌握.下面，本文將針對高中數學立體幾何的幾種解題技巧展開詳細闡述，旨在提高學生的立體幾何解題能力.

【關鍵詞】高中數學;幾何;分析

一、高中數學立體幾何解題技巧

（一）函數思想解題

函數思想是一種重要的數學思想.面對難度較大的立體幾何問題，教師要嘗試引導學生利用函數思想解決問題，圍繞所要解決的問題，構建函數關系式，再計算函數關系中不等式或者方程解決問題.在運用函數思想解題時，學生可根據題目中的已知條件構造一個二次函數，再通過計算二次函數模型求出問題答案.同時，在立體幾何問題解題時，學生可將其轉化成三角函數問題，進而讓問題計算過程變得更為簡單、方便，大大減少運算量.以下面的一道題目為例.

例1如圖1所示，在球O中，點P是一個動點，當PA=x過點P時將垂直于AB，假如f（x）可用來表示過點P時的面積，那么要怎樣表示y=12f（x）的圖像？

在對上述問題進行解題時，為了簡化解題過程，可引入函數思想，先設定截面圓半徑和球的半徑分別是r、R，再依據勾股定理得到r2=-x2+2Rx，由此可求出y=-π2x2+πRx，總結出上述題目中要求的圖像是一個拋物線，且開口向下.在立體幾何問題解決中，運用函數思想解決問題是一種能夠簡化復雜問題的解題技巧，教師要引導學生在立體幾何知識學習中巧妙利用這一種解題方法.

（二）向量知識解題

空間向量知識可用來解決立體幾何問題中的垂直問題、空間角問題、空間距離問題等，它能夠讓立體幾何問題解決過程變得更為簡便且快速.因而，教師在發(fā)展學生立體幾何問題解決能力時，要重視訓練學生對向量知識的使用，豐富學生的向量基本知識.但是，在利用向量知識解決具體的立體幾何問題時，要重視先構建起立體幾何與向量知識間的關系，以向量的方式表示立體幾何的點、線、面等已知條件.接著，用類似代數的方法計算問題，得出正確的計算結果.當兩者不具備明顯的關系時，要嘗試建立一個新的空間坐標系，以尋求問題的簡便算法.以下面的一道題目為例.

例2已知有一個正方體ABCD-A1B1C1D1，已知這個正方體的棱長是3，E、F分別是這個正方體AA1、CC1邊上的一點，而AE又與FC1相等，它們的長度均為1，請證明E、F、B、D1在同一個平面內.

在解決上述問題時，為了提高問題解決效率，可引入向量知識.先構建一個空間坐標系，再清晰標注出空間坐標系中BE、BF、BD1的向量，它們分別是（3，0，1）、（0，3，2）、（3，3，3）.待求出BE、BF、BD1立體幾何中三個邊的向量值以后，可通過計算向量BD1=BE+BF求證出同在一個平面的問題.

（三）構造輔助圖形

在解決立體幾何問題時，還可以通過構造輔助圖形的方式來解決問題，這是一種常見的問題解決方法，可用于將相對陌生的立體幾何問題轉換為比較常見的問題，再利用已掌握的解題方法輕松求出問題答案.利用構造輔助圖形方式解決立體幾何問題，既能夠讓學生的邏輯思維得到很好的訓練，又利于學生學會簡化陌生問題.以下面的一道題目為例.

例3如圖2所示，已知有一個矩形ABCD，在這個矩形中PD垂直于平面ABCD，邊長AB是1，邊長BC與PC相等，都是2.現對這個矩形進行折疊，折疊用EF表示，假如EF與DC平行，點E在PD上，點F在PC上.同時，經過折疊操作以后，點P在AD上記作M，那么在MF垂直于CF的情況下，求出三棱錐M-CDE的體積.

在對上述問題進行解決時，面對這樣一個陌生的問題，可能會無從下手.針對這一種情況，要指導學生通過構造輔助圖形的方式解決問題.

求出MD的值是62，再求出△CDE的面積是38，由此可知這個三棱錐的體積是216.這是一種非常好的立體幾何問題解決方法，要善用這種解題技巧.

（四）構建未知關系

在立體幾何問題解決過程中，學會構建未知關系十分重要.在對未知關系進行構建時，要先根據題目中已有的條件設定一個未知數.期間，須保證未知數設立的合理性.接著，在已知和未知之間建立起對應關系，靈活解決問題.在整個問題解決過程中，其重點在于避而不求所設立的未知數.未知數只是用來簡化立體幾何問題計算難度的，用于支撐問題的解答.構建未知關系，這一種立體幾何解題技巧，可有效減少題目計算中的運算量，避免因運算量過大而出現錯誤.以下面的一道題目為例.

例4已知有一個正四棱錐S-ABCD，現要平行于地面截取一個上下表面和側面面積分別是Q1、Q2、P的多面體A1B1C1D1，求出其對角面面積.

在對上述題目進行計算時，為了降低解題難度，可采取構建未知關系的解題方法.先設立對角面面積、多面體上下表面邊長分別是S、a、b，而高和斜高分別是h、h1.設定好這些未知數以后，列出關于S的方程式，即S=2a+2b2h，由此求出對角線面積是24P2-（Q2-Q1）2.通過“設而不求”解題方法，快速完成立體幾何問題的解決.

二、當下高中數學立體幾何解題教學中存在的主要問題

（一）教師的理念比較落后

當下立體幾何的實際教學中，一些教師的理念是存在缺陷的.因為升學方面的壓力，很多的高中生在立體幾何的實際學習中，總是會追求高分，主要的關注點都在考點上，但是對立體幾何的解題靈活性并不是非常重視，導致在立體幾何的實際解題中，高中生總是難以靈活應用一些技巧.高中生雖然有一定的學習能力，但是對立體幾何的學習還是有著極強的差異性.很多的教師在立體幾何實際教學中，并未對高中生采用分層教學，導致一些高中生的學習出現停滯的情況.

（二）高中生的學習思維單一

當下高中生在立體幾何方面的學習情況是，很多的高中生學習思維相對單一.出現這種情況，一方面是高中生本身受到一些傳統思維方面的限制，對數學學習的思維比較局限，這樣立體幾何的學習也受到一定的影響，尤其是立體幾何類的題目非常復雜，很多時候一旦立體幾何的題型有所變化，高中生就很難應付.另外一方面是一些高中生對立體幾何進行理解的思維是表面化的，對一些解題方式也并未真正理解原理，這樣題型一旦發(fā)生變化，高中生還是束手無策，對立體幾何知識的應用并不靈活，解題能力也總是無法提升.在立體幾何的實際教學中，強化高中生的發(fā)散思維，這是教師要高度關注的問題.

（三）課堂整體的氛圍缺乏營造

目前，在立體幾何的實際教學中，很多教師對數學課的氛圍營造并不是非常重視，導致高中生在實際的學習中，總是要面臨著非常單一的教學氛圍，很多的教師甚至忽視了教學氛圍的重要性.立體幾何是抽象性極強的內容，高中生理解起來會比較困難，若是教學氛圍比較輕松，高中生的學習狀態(tài)會更好，思維也會更加活躍，若是氛圍非常緊張，高中生的思維發(fā)展也會受到一定的影響.

三、提升高中數學立體幾何解題技巧的策略

（一）建立空間觀念，提升空間想象力

在高中階段，高中生開始對立體幾何展開學習，與初中時期學習的平面幾何是不同的，這是非常大的改變，需要高中生經過一定的過程.為了讓高中生適應立體幾何的學習，高中生需要結合學生自身的需求，借助一些立體幾何的模型，從而輔助自身的學習.這需要教師組織高中生，對一些立體幾何模型進行制作，然后組織高中生對立體幾何模型進行觀察，結合教材上有關立體幾何的一些理論知識，讓高中生實現對立體幾何的充分感知，讓生活和學習實現充分結合.另外，在立體幾何的實際學習中，學生可選擇教材上的一些立體圖形展開觀察，可以判斷出在這些立體幾何的圖形中，點、線、面、角存在哪些關系，然后結合題目的要求，用輔助線的方式來進行解題.也就是說，高中生在對立體幾何展開學習的時候，要結合自身的情況選擇適當的學習方式.教師要在立體幾何的實際教學中，強化高中生的空間觀念以及空間想象力，促進高中生對立體幾何的深入理解，為立體幾何的解題做好準備.具體的措施：在立體幾何的實際教學中，教師可以讓高中生嘗試自行制作一些立體幾何的模型，可以從簡單的圖形入手，比如正方體，然后逐漸進行復雜一些的模型制作，讓高中生逐漸在立體幾何模型的制作中，找到立體幾何的學習要求，并不斷對立體幾何中的一些點、線、面、角關系進行觀察.然后可以結合立體幾何的具體題目進行延伸，讓高中生不斷對立體幾何類的問題形成解題能力.在進行立體幾何實際教學中，教師要注重強化高中生立體幾何的繪圖能力，也是要從簡單到復雜，先進行一些簡單立體幾何圖形的繪畫，然后逐漸到一些復雜的體型，讓學生了解一些最基本的技巧之后，結合學生立體幾何的具體題目，結合學生自身空間想象力進行繪圖，從而找到最簡單的解題方式.

（二）不斷強化高中生綜合分析以及邏輯論證能力

在立體幾何的教學中，教師要讓高中生結合自身的一些生活經驗，制作一些立體幾何的模型，用這種方式來強化高中生的空間想象力，同時可以讓高中生結合以往平面幾何的一些知識，進行類比學習.學生經過對知識的分析，并得到命題之后，要結合一些例子對命題謹慎驗證.教師在立體幾何的實際教學中，不要太急于結論，學習的過程要注重循序漸進，不斷強化高中生的學習能力，從局部入手不斷擴展到整體，鍛煉高中生的邏輯推理以及論證技能，在進行立體幾何解題的時候，可以讓高中生的能力不斷提升.另外，學生對立體幾何展開學習的時候，要從不同的角度，對立體幾何進行了解以及掌握，比如一些平行問題以及距離的問題，這些問題經過綜合性的處理之后，可以讓高中生的綜合分析能力得到提升.對立體幾何的問題展開綜合處理，這樣可以讓高中生的邏輯推理得到強化，可以強化高中生的論證能力，是非常重要的一個學習過程.

（三）發(fā)散思維，綜合應用多種解題技巧

在立體幾何的實際解題中，要注意眼光開闊，不要僅僅局限在立體幾何方面，要注重知識體系的綜合利用.很多問題是非常具備綜合性的，因此對解題技巧展開應用，要求學生有一定的綜合性思維，從而讓立體幾何的問題得到真正解決.詳細來說，教師在立體幾何的實際解題中，可以將數學領域的函數思想以及轉化思想等運用到解題中，從而簡化立體幾何的解題，提升實際解題的效率.因此在立體幾何的實際教學中，要注重強化高中生的發(fā)散思維，能將各種解題技巧充分利用到題目中，讓高中生的解題效率得到提升.

教師在立體幾何數學知識講授過程中，教會學生一些簡便、高效的解題技巧是十分重要的，利于鍛煉學生實際問題解決能力，促進學生慢慢養(yǎng)成主動尋求簡便解題方法的習慣.對于學生立體幾何解題能力的培養(yǎng)，要重視引導學生運用函數思想、向量知識解決立體幾何問題.同時，要科學引導學生學會構造輔助圖形，構建未知關系，以利用更正確的解題技巧大大提高解題效率，積累豐富的立體幾何解題經驗.

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