考慮固定和凸變動成本以及兩類需求的動態(tài)生產策略

趙 玲 劉志學

(華中科技大學管理學院)

1 研究背景

隨著經濟社會的快速發(fā)展，作為供應鏈中關鍵節(jié)點的制造商遇到的庫存決策問題也變得更加復雜，不僅要面對由上游公司或自身導致的生產成本結構的復雜性，而且要面對來自下游顧客需求的多樣性。對于一些行業(yè)(如化工業(yè)、印刷業(yè)等)的制造商而言，其生產成本可能不是簡單的固定與線性變動類型，而是更加一般的固定與分段線性凸變動成本結構，即邊際成本會隨生產量的增加而升高。例如，當制造商的生產量超出一定水平時，需要支付的單位能源(如電力、天然氣等)成本更高，同時其產生的碳排放量會超出規(guī)定額度，因而需要額外購買碳排放配額。

一些制造商在面對固定與凸變動生產成本的同時，也會面對不同類型的顧客需求，即確定性需求和隨機需求。比如，為了提高經營效益，制造商通常會與其大客戶簽訂長期合同，保證每隔一段時間都會向客戶交付一定數(shù)量的產品。供應合同的需求必須完全滿足，否則制造商將會失去客戶甚至信譽受到損害。同時，如果制造商有多余的庫存，還可以滿足其他小客戶的訂單。由此，供應合同的需求可以看作是必須滿足的確定性需求，而來自其他小客戶的臨時需求則視為隨機需求，可以延期交貨。

到目前為止，關于考慮固定與凸變動生產成本庫存問題的研究中，學者們大多聚焦于需求為隨機的情形，而針對確定性和隨機性需求同時存在情形的研究非常少。然而，在企業(yè)實際運作中，兩種類型需求同時存在的情形很常見?；诖耍狙芯繉⒂懻摦斨圃焐掏瑫r面對固定與凸變動生產成本和兩類需求時，怎樣制定生產策略才能使制造商的總期望成本最小。對于這個問題，首先建立考慮固定和凸變動成本以及兩類需求的隨機動態(tài)規(guī)劃模型，然后通過理論分析得到最優(yōu)策略，最后通過數(shù)值實驗驗證與確定性需求有關的約束條件對最優(yōu)策略的影響。

2 文獻回顧

在庫存管理類文獻中，很多學者考慮的補貨成本是線性結構，如HU等[1]、慕銀平[2]、陳啟等[3]以及溫宗良等[4]。同時，也有不少學者對有關固定補貨成本的問題感興趣。SCARF[5]最早對考慮固定補貨成本的周期盤點的庫存模型進行探討，目標是通過決策每周期的補貨量最小化有限計劃期內的總期望折扣成本。通過引入K-凸函數(shù)的概念，SCARF[5]證明了延期交貨情形下簡單的(s，S)策略最優(yōu)，其中s是區(qū)分補貨與不補貨的界點，S是補貨水平。之后，有許多學者研究類似的考慮固定成本的模型，如VEINOTT[6]、CHEN等[7，8]、HUH等[9]、CHAO等[10]、CHEN等[11]、PERERA等[12]以及高登等[13]。然而，這些文獻討論的變動成本大多僅為簡單的線性結構，只有很少的研究討論凸變動補貨成本，如LU等[14，15]和HU等[16]。在有關固定與凸變動補貨成本的研究中，與本研究相關的為文獻[14，16]。這兩篇文獻都研究了考慮固定及凸變動補貨成本的隨機動態(tài)規(guī)劃模型，通過證明最優(yōu)值函數(shù)的強(K，c，q)-凸性或比該性質更一般的κ-凸性，對最優(yōu)策略進行部分刻畫，其中，K、c、q和κ分別表示固定成本、變動成本參數(shù)、補貨點和補貨成本函數(shù)。與這兩篇文獻相比，本研究考慮的最優(yōu)化問題的限制條件更加復雜，這不僅依賴于制造商的初始庫存，而且還依賴于當期的確定性需求，因而這兩篇文獻的結論不再適用于本研究討論的模型。為了解決這個問題，證明(K，c，q)-凸函數(shù)經過與確定性需求相關的約束情形下的最優(yōu)化運算之后依然呈(K，c，q)-凸性，也是本研究的主要貢獻之一。應用該性質，可以部分刻畫最優(yōu)策略。雖然LU等[14]以及HU等[16]也部分刻畫了最優(yōu)策略，但本研究用于刻畫最優(yōu)策略的界值依賴確定性需求。特別地，當初始庫存低于確定性需求時，制造商必須進行生產，而且其生產水平高于確定性需求。

與本研究模型相關的另一個文獻流是和多種類型需求相關的隨機動態(tài)庫存問題，其中按優(yōu)先權對顧客需求進行分類的文獻較多，如DURAN等[17]、ZHOU等[18]以及ZHOU等[19]。大部分文獻僅考慮隨機性需求，然而，也有少量文獻同時考慮確定性和隨機性需求，如FRANK等[20]以及汪達欽等[21]。在同時考慮確定性與隨機性兩種需求的隨機動態(tài)庫存模型中，與本研究最相關的是文獻[22，23]。這兩篇文獻都假設確定性需求必須滿足，隨機需求可以延期交貨；且考慮了前一周期的延期交貨必須在當前周期滿足的情形；用于刻畫最優(yōu)策略的界值都依賴于確定性需求。但本研究與這兩篇文獻有3個方面的關鍵不同：①關于補貨成本的結構，本研究考慮的是固定與凸變動成本，而SOBEL等[22]以及CHEN等[23]考慮的是固定與線性變動成本(這只是本研究的一種特殊情況)；②關于最優(yōu)值函數(shù)，本研究證明最優(yōu)值函數(shù)具有(K，c，q)-凸性，這比已有研究得到的K-凸性更一般；③本研究最優(yōu)策略的結構更加復雜，并不是簡單的改進的(s，S)庫存策略。

3 模型建立

(1)

式中，0=q0

假設生產提前期為零，那么當制造商生產z單位產品之后，產品的庫存水平立即變?yōu)閥=x+z，即生產水平。接下來，用現(xiàn)有的庫存y去滿足顧客需求。與文獻[22]中的一種情形相似，本研究假設未滿足的隨機需求可以延期交貨，而且當確定性需求dt>0時，必須在當前周期完全滿足確定性需求和前一周期的延期交貨。注意到如果制造商的初始庫存x<0，那么前一周期的延期交貨量為-x，否則為0；而且，生產水平不低于初始庫存，即y≥x。由此，生產水平y(tǒng)所在的范圍It(x)滿足：

It(x)={y：當dt>0時y≥x∨dt;

當dt=0時y≥x}，

(2)

式中，x∨y=max{x，y}。假設滿足需求后的剩余庫存依然可以用來滿足后續(xù)周期的需求，又因為未滿足的需求可以延期交貨，所以制造商在周期末的庫存水平為y-dt-εt。記非負系數(shù)h和p分別為單位庫存持有成本和單位庫存短缺成本，而且y+=max{y，0}，y-=max{-y，0}。那么，制造商在第t周期產生的庫存持有/短缺成本為H(y-dt-εt)，其中H(y)=hy++py-。假設單位變動懲罰成本大于單位變動生產成本，即p≥ci，i=1，2，…，n。這個假設在文獻中很常用，如FOX等[24]。

記折扣因子為γ∈[0，1]，作用于隨機變量εt的期望算子為E。制造商的目標是最小化其有限計劃周期內總期望折扣成本。給定第t周期的初始庫存x，第t周期到最后一周期的總期望折扣成本為

c(y-x)+gt(y)}，t=1，2，…，T，

(3)

式中，gt(y)=EH(y-dt-εt)+γEft+1(y-dt-εt)，且fT+1(x)=0。

(4)

給定t=1，2，…，T及i=1，2，…，n，下面證明如果ft+1(x)在區(qū)間(-，0]上遞減，那么由Ht(y)的定義可知，當y≤0時，H(y)+γft+1(y)+ciy=(-p+ci)y+γft+1(y)。注意到p≥ci且ft+1(x)在(-，0]上遞減，因此，當y≤0時，H(y)+γft+1(y)+ciy遞減。又由的定義知

ci(y-dt-εt)]+ci(dt+Eεt)，

(5)

現(xiàn)在只需要證明對任意的t=2，3，…，T，ft(x)在區(qū)間(-，0]上遞減。由于dt>0，因而It(x)={y：y≥x∨dt}。于是，由ft(x)的定義可知，當x

(6)

記y0是x=x0時問題(3)的最優(yōu)解，那么對任意的x0

ft(x0)=K+c(y0-x0)+gt(y0)≥

K+c(y0-x1)+gt(y0)≥ft(x1)。

(7)

式(6)及c(z)的單調性可以確保式(7)成立?？梢?，當x0，所以ft(x)在區(qū)間(-，0]上遞減。

4 模型分析

這一部分將分別對最優(yōu)化問題(3)在單期情形和多期情形下的最優(yōu)解進行討論。

4.1 單期情形下的最優(yōu)策略

單期問題對應于問題(3)在第T周期的情形。單期情形下最優(yōu)解的刻畫可以用于處理季節(jié)性或易變質產品的庫存問題。為便于刻畫最優(yōu)解，首先定義

(8)

定理1當t=T且dt>0時，存在界值st，使得問題(3)的最優(yōu)解yt(x)滿足：

(9)

(10)

c(y-x)+gt(y)}=ft(x)，

(11)

綜上可知，式(9)成立。

定理1對單期情形下的最優(yōu)策略進行完全刻畫。當需要生產時，生產水平y(tǒng)t(x)隨著初始庫存x的增加而提升，這說明制造商在一個周期開始時的產品越多，生產結束時產品的庫存水平越高。由定理1還可知，生產水平y(tǒng)t(x)高于確定性需求dt，這個結論符合模型中確定性需求必須滿足的假設。此外，當界點st低于確定性需求dt時，dt就是區(qū)分是否進行生產的界值；否則，本定理的結論與文獻[14]的定理1一致。

4.2 多期情形下的最優(yōu)策略

當t=T時，最優(yōu)解的結構依賴于函數(shù)gt的凸性；當t0時y≥x∨dt;當dt=0時y≥x}，即考慮確定性需求必須滿足的情形下，可以證明最優(yōu)值函數(shù)的強(K，c，q)-凸性，然后根據(jù)這個性質對最優(yōu)策略進行刻畫。

下面先引入強(K，c，q)-凸性的定義[14]，其中，c=(c0，c1，…，cn)，q=(q0，q1，…，qn)。給定K≥0，0=q0

f(x-u-v)]，?u≥0，v>0，z≥0 ，

(12)

則f(x)是強(K，c，q)-凸函數(shù)。本研究將通過證明最優(yōu)值函數(shù)的強(K，c，q)-凸性刻畫多期情形下的最優(yōu)解。

下面給出有關強(K，c，q)-凸函數(shù)的一些性質。

引理1①若f(x)是凸函數(shù)，則f(x)是強(K，c，q)-凸的，其中，K≥0，0=c0≤c1<…

(13)

證明因為引理1的前4個結論都來自LU等[14]的研究，所以下面只需要證明⑤成立，即對于任意的u，v≥0和x0+u≤x1-v，有

v[f(x0+u)-f(x0)]+u[f(x1-v)-f(x1)]≤

u[c(v)-c1v+K]。

(14)

對于式(14)，根據(jù)x0，x1與兩個集合E，O之間的關系分3種情況，其中，E={x：f(x)=g(x)}且O為E的補集。為方便描述，記式(13)在x=xi處的解為yi，而且令zi=yi-xi，i=0，1。則對于i=0，1，

f(xi)=K1{zi>0}+c(zi)+g(xi+zi)，xi+zi≥d，

(15)

其中，當xi∈E時，zi=0；當xi∈O時，zi>0。

(i)假設x0，x1∈O(這種情形下構造可行解的方法類似于文獻[16]中的命題1)。為了簡便，令λ=0∨[(z0-z1)/(x1-x0)]∧1，這與0≤u，v≤x1-x0一起可以確保z0-λu，z1+λv∈[z0∧z1，z0∨z1]。因為zi≥0，所以

z0-λu≥0，z1+λv≥0 。

(16)

λ的定義還可以確保

x1-v+z1+λv≥x0+u+

z0-λu≥x0+z0，?0≤λ<1 。

(17)

于是，式(16)和式(17)及xi+zi≥d可以確保對于任意的λ，都有

(18)

這說明x0+u+z0-λu和x1-v+z1+λv分別是問題(13)在x=x0+u和x=x1-v處的一個可行解，因此，

(19)

將式(19)及f(x)在x0，x1處的表達式代入目標不等式，可得

δ+[uc(z1+λv)+vc(z0-λu)]-

[uc(z1)+vc(z0)]≤u[c(v)-c1v+K]，

(20)

式中，δ=v[g(x0+u+z0-λu)-g(x0+z0)]+u[g(x1-v+z1+λv)-g(x1+z1)]。于是，下面只需要證明不等式(20)成立。

因為c(z)是凸函數(shù)而且z0-λu，z1+λv∈[z0∧z1，z0∨z1]，所以

(21)

由式(21)可得，uc(z1+λv)+vc(z0-λu)≤uc(z1)+vc(z0)?？梢?，要證明目標不等式成立，只需要證明δ≤u[c(v)-c1v+K]。若λ=1，則由δ的定義可知δ=0；而若0≤λ<1，則由λ的定義可知，x0+z0

(1-λ)δ=

(1-λ)v[g(x0+u+z0-λu)-g(x0+z0)]+

(1-λ)u[g(x1-v+z1+λv)-g(x1+z1)]≤

(1-λ)u[c(v-λv)-(1-λ)vc1+K]。

(22)

又由于0<1-λ≤1且c(z)遞增，因而δ≤u[c(v)-c1v+K]，故目標不等式成立。

(ii)假設x0∈E。那么yt(x0)=x0≥d。又因為x1>x1-v≥x0+u>x0，于是在這4點處，

(23)

可見，由g(x)的強(K，c，q)-凸性及引理1④可知目標不等式成立。

(iii)假設x0∈O，x1∈E。下面分z0≥u和z0

假設z0≥u。因為x1∈E，所以由E及f(x)的定義可知x1≥d。注意到x0+z0≥d，z0≥u且v≥0，因此，(x0+u)+(z0-u)≥(x0+u)∨d，(x1-v)+v≥(x1-v)∨d。這說明(x0+u)+(z0-u)和(x1-v)+v分別是問題(13)在x=x0+u和x=x1-v處的一個可行解。于是，有

(24)

將式(24)及f(x)在x0，x1處的表達式代入目標不等式可得v[c(z0-u)-c1(z0-u)-(c(z0)-c1z0)]+u[K+c(v)]≤u[c(v)+K]。因為c(z)-c1z遞增，所以該不等式顯然成立，故目標不等式成立。

由上述3種情況可知，目標不等式成立。

引理1說明凸函數(shù)也是強(K，c，q)-凸的；經過期望運算、加法運算、數(shù)乘運算和最優(yōu)化運算之后，強(K，c，q)-凸性依然成立。下面應用這些性質，證明問題(3)的最優(yōu)值函數(shù)是強(K，c，q)-凸的。

命題2對于任意t=1，2，…，T，問題(3)中的最優(yōu)值函數(shù)ft(x)都是強(K，c，q)-凸的。

證明用關于t的歸納法證明ft(x)是強(K，c，q)-凸的。當t=T+1時，因為ft(x)=0，所以由引理1①可知，ft(x)是強(K，c，q)-凸的。假設ft+1(x)是強(K，c，q)-凸的，下面證明ft(x)的強(K，c，q)-凸性。注意到H(y)的凸性與引理1①一起可以保證H(y)是強(K′，c′，q)-凸的，其中K′=0，c′=0。這與ft+1(x)的強(K，c，q)-凸性、引理1②和③一起可以確保gt(y)=EH(y-dt-εt)+γEft+1(y-dt-εt)是強(K，c，q)-凸的。注意到當dt=0時，It={y：y≥x}；當dt>0時，It={y：y≥x∨dt}。由此，gt(y)的(K，c，q)-凸性、ft(x)的定義以及引理1④和⑤一起可以保證ft(x)的強(K，c，q)-凸性。

命題2說明，問題(3)的最優(yōu)值函數(shù)ft(x)是強(K，c，q)-凸的。又因為當dt=0時It={y：y≥x}，所以當dt=0時最優(yōu)策略的結構與文獻[14]中給出的一致，因此，下面僅用ft(x)的強(K，c，q)-凸性對問題(3)在dt>0時的最優(yōu)解yt(x)進行刻畫。為簡便，定義Ot為一個狀態(tài)集，使得當初始庫存在這個集上時進行生產是最優(yōu)的，即Ot={x：yt(x)>x}。

證明由dt>0及集合Ot的定義可知，最優(yōu)化問題(3)等價于

(25)

這說明要證明yt(x)在集合Ot上是遞增的，僅需證明問題(25)最優(yōu)解的遞增性即可。注意到c(z)是凸函數(shù)，這與文獻[25]中的引理2.6.2(b)一起，可以保證函數(shù)c(y-x)關于(x，y)是次模的，進而可以得到問題(25)中目標函數(shù)的次模性。又因為限制集合{y：y≥x∨dt}關于x是遞增的，所以由文獻[25]中的定理2.8.2可知，問題(25)的最優(yōu)解隨x遞增。故yt(x)在集合Ot上遞增。

接下來，分3種情況討論最優(yōu)解yt(x)的取值范圍。

②由Ot的定義可知，對任意的x∈Ot都有最優(yōu)解yt(x)>x。又由ft(x)的定義可知，對任意x，最優(yōu)解yt(x)≥dt。這說明當xx，因此，(-，dt)?Ot。又因為yt(x)在Ot上是遞增的，所以當x

5 數(shù)值分析

在下面所有的數(shù)值算例中，令折扣因子γ=0.99，變動成本參數(shù)n=2，c1=0，c2=0.5，K1=0，K2=-3，q0=0，q1=6，單位庫存持有成本h=4，單位缺貨懲罰成本p=2，周期總數(shù)T=4，隨機需求在集合{0，1，…，10}上均勻分布。

(26)

其中

(27)

表1 不同周期下的界值

(28)

這說明t=T時，定理1分析的最優(yōu)解的結構與圖1完全一致。此外，由圖1的4種情形也可見，當需要生產時，生產水平y(tǒng)t(x)隨初始庫存水平x遞增；生產水平都高于確定性需求，存在一個界點，使得當初始庫存高于這個界點時就不需要生產。這些都與定理1 和定理2 中給出的結論一致。

6 結語

對于同時考慮固定與凸變動成本和兩類需求的單產品動態(tài)生產控制問題，本研究首先建立隨機動態(tài)規(guī)劃模型，然后證明最優(yōu)值函數(shù)具有強(K，c，q)-凸性，并通過該性質得到最優(yōu)生產策略的部分刻畫，最后通過數(shù)值實驗驗證確定性需求對最優(yōu)策略的影響。本研究得到以下主要結論：①當初始庫存水平低于確定性需求時，制造商的生產水平會隨初始庫存水平遞增，而當初始庫存水平高于某個界值時，則不需要生產；②數(shù)值實驗表明當忽略確定性需求必須滿足這個假設時，確定性需求(如來自訂購合同的需求)有可能不會得到滿足，而且最優(yōu)策略的結構會發(fā)生較大的變化。這說明制造商在進行生產決策時，需要充分考慮確定性需求帶來的影響；否則它會因未滿足確定性需求而失去大客戶，甚至損害信譽。這些研究成果將為制造商應對生產成本結構的復雜性和下游顧客需求的多樣性、降低其長期運營成本提供有效指導。應該指出的是，本研究假設制造商的生產提前期為零，后續(xù)將對提前期不為零的情形進行討論。