特殊與一般思想在高中數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用探討

李子玥

摘要：特殊與一般是對(duì)立統(tǒng)一的，在人類認(rèn)識(shí)活動(dòng)中，常通過特殊去探索一般，從一般去研究特殊。在多數(shù)數(shù)學(xué)問題中，特殊問題簡(jiǎn)單、直觀容易認(rèn)識(shí)，容易把握。但是，也有一些問題中，特殊問題的個(gè)別特性可能會(huì)掩蓋事物的本質(zhì)屬性，給解題帶來困難，而直接求解相應(yīng)的一般性問題，反而來得簡(jiǎn)單。所以，特殊與一般不僅在科學(xué)研究中有著重要的地位和作用，而且在數(shù)學(xué)中也是經(jīng)常使用的兩種重要的方法，是學(xué)習(xí)和研究數(shù)學(xué)必須掌握的數(shù)學(xué)解題理論。

關(guān)鍵詞：高中數(shù)學(xué)；特殊與一般

特殊與一般思想包括兩個(gè)方面：通過對(duì)某些個(gè)體的認(rèn)識(shí)與研究，逐漸積累對(duì)這類事物的了解，再逐漸形成對(duì)這類事物的總體認(rèn)識(shí)，發(fā)現(xiàn)特點(diǎn)，掌握規(guī)律，形成公式，由淺入深，由現(xiàn)象到本質(zhì)，由局部到整體，從實(shí)踐到理論，這種認(rèn)識(shí)事物的過程就是由特殊到一般的認(rèn)識(shí)過程；在理論的指導(dǎo)下，用已有的規(guī)律解決這類事物中的新問題，這種認(rèn)識(shí)事物的過程就是由一般到特殊的認(rèn)識(shí)過程。

一、特殊化的思想方法

由于特殊問題的解決孕育著一般問題的解決，將一般問題特殊化是解決某些問題或探索某些解題途徑的常見思想方法之一

取特殊值

例1 設(shè)函數(shù) ，已知不論 為何實(shí)數(shù)，恒有 ，求 的值？

解：由于 ，且 恒成立，所以 .

由于 ，且 恒成立，所以

所以 ，即 ，得 。

二、一般化的思想方法

運(yùn)用一般化的思想方法解題，其基本思想是：先把具體問題抽象化，然后從一般（抽象）原理出發(fā)，又回過頭來解決特殊（具體）問題.也就是說將給定問題看作某個(gè)一般問題的特殊情況，先解決一般問題，原問題便解決了。

例2 求證：

證明；設(shè) ，其中 且

因?yàn)?，所以 ，故 是單調(diào)遞增函數(shù)，因此對(duì)任意的 且 ，有 ，所以 。

所以令 ，便可得 。

說明：這里不等號(hào)左右兩邊的數(shù)實(shí)在是太大了，如果找不到一般化方法，將是很難證明的。

三、特殊化探路，一般化解決

有些問題要通過特殊情況探路，再經(jīng)過一般情況證明，才能達(dá)到目的

例3：在數(shù)列{an}，{bn}中，a1=2，b1=4且 成等差數(shù)列， 成等比數(shù)列

（1）求a2，a3，a4及b2，b3，b4，由此猜想{an}，{bn}的通項(xiàng)公式，并證明你的結(jié)論；

（2）證明： 。

解：（1）由條件得 ，由此可得 ，猜測(cè) 。

用數(shù)學(xué)歸納法證明：

①當(dāng)n=1時(shí)，由上可得結(jié)論成立，

②假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)，結(jié)論成立，即 ，那么當(dāng)n=k+1時(shí)， ， ，即結(jié)論也成立。

由①②可知 對(duì)于一切正整數(shù)都成立。

（2）提示：放縮法 ；當(dāng) 時(shí)， .

綜上可知，熟練掌握“特殊與一般”的思想有助于學(xué)生更好更快的解題。同時(shí)由特殊到一般再由一般到特殊反復(fù)認(rèn)識(shí)的過程是人們認(rèn)識(shí)世界的基本過程之一，通過培養(yǎng)學(xué)生“特殊與一般”的思想不僅能夠讓學(xué)生提高解題速度，還能更好的認(rèn)知世界。

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