M-群的一類子群的單項性

靳平，王貝，常學(xué)武

(山西大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,山西 太原 030006)

0 引言

本文只考慮有限群與復(fù)特征標,所使用的符號和術(shù)語均按Isaacs的經(jīng)典教材[1]。

我們的出發(fā)點是Dade在文獻[2]中證明的一個經(jīng)典結(jié)果,使用Glauberman-Isaacs特征標對應(yīng)技術(shù),Dade發(fā)現(xiàn)了M-群的一個較大的M-子群，為了敘述該結(jié)果,我們先給出相關(guān)的定義,并約定一些記法。

設(shè)χ∈Irr(G)為群G的一個不可約復(fù)特征標，如果χ可從子群的線性特征標誘導(dǎo)，即χ=λG,其中λ∈Irr(H)為某個子群H≤G的線性特征標，則稱χ是單項的，亦稱為M-特征標。進而，如果G的每個不可約特征標均為單項的，則稱G為單項群，簡稱為M-群。

再假設(shè)群S互素地作用在群G上，則G的每個S-不變的不可約特征標χ∈IrrS(G)，可唯一對應(yīng)一個不動點子群CG(S)的不可約特征標χ(S)∈Irr(CG(S))，稱為χ的Glauberman-Isaacs對應(yīng),簡單計,我們稱χ(S)為χ的S-對應(yīng)。

現(xiàn)在可敘述Dade的主要結(jié)果,即文獻[2]中定理3.3考慮到Dade采用的某些記法與Isaacs的特征標教材[1]所使用的符號不大一致，我們僅在符號記法上做了適當?shù)母膶憽?/p>

定理1(Dade) 設(shè)G為p-可解群，p為奇素數(shù)，P為G的正規(guī)p-子群，S為G的p′-子群，使得PS?G。

(1)如果ψ∈Irr(P)為S-不變的,并且Irr(G|ψ)中每個成員均為單項的,則Irr(NG(S)|ψ(S))中每個成員也都是單項的,其中ψ(S)∈Irr(CP(S))為ψ的S-對應(yīng)。

(2)如果G為M-群,則NG(S)也是M-群

本文將重點研究上述Dade定理的加強或推廣，設(shè)法去掉或減弱P為p-子群的條件。為了把Dade所考慮的問題一般化，我們引入下述技術(shù)性概念。

稱T=(G,N,ψ)為一個三元組，如果N是群G的正規(guī)子群，并且ψ∈Irr(N).方便起見，我們稱S為三元組T的一個Dade子群，如果S≤G滿足下述三個條件:

(1)正規(guī)條件:NS?G，

(2)互素條件:(|N|,|S|)=1，

(3)不變條件:ψ∈IrrS(N),即ψ為S-不變的。

在此情形下，由于S互素地作用在N上，而ψ∈Irr(N)是S-不變的，故ψ存在相應(yīng)的Glauberman-Isaacs特征標對應(yīng),即S-對應(yīng)ψ(S)∈Irr(CN(S)).顯然CN(S)?NG(S)，此時我們又得到一個新的三元組:

T(S)=(NG(S),CN(S),ψ(S))，

稱為T關(guān)于Dade子群S的Glauberman-Isaacs對應(yīng)，簡稱為T的S-對應(yīng)。

此外，我們稱三元組T=(G,N,ψ)為單項的，如果Irr(G|ψ)中的每個成員均為單項特征標。使用上述術(shù)語，我們可將Dade所研究的問題重新表述為:

Dade問題設(shè)T=(G,N,ψ)為三元組，S為T的一個Dade子群。

(1)假設(shè)T為單項的,研究其S-對應(yīng)T(S)=(NG(S),CN(S),ψ(S))何時也是單項的。

(2)假設(shè)G為M-群,研究NG(S)何時也是M-群。

注意到三元組T=(G,N,ψ)與其S-對應(yīng)T(S)=(NG(S),CN(S),ψ(S))，其中出現(xiàn)的四個群具有關(guān)系G=NG(S)N且N∩NG(S)=CN(S)我們可將T與其S-對應(yīng)T(S)放在一起，構(gòu)成一個特征標對的四邊形，稱為一個Dade構(gòu)形D如圖1所示:

(N,ψ)→G

D= ↑ ↑

(CN(S),ψ(S))→NG(S)

Fig.1 Dade’s configurationD

圖1 Dade構(gòu)型D

事實上,Dade構(gòu)形D將是本文重點研究的一類對象。

我們將使用特征標的穩(wěn)定子極限(見文獻[3-5])以及特征標的線性極限(見文獻[6])等思想和技術(shù)，研究上述三元組T及其相伴的Dade構(gòu)形D.為此，我們需要簡介相關(guān)的基本概念，更多的預(yù)備知識可見本文第1節(jié)。

固定一個三元組T=(G,N,ψ)，任取L?G和λ∈Irr(L),使得L≤N且λ在ψ的下方,按Isaacs在文獻[7]中的符號,可記為(L,λ)≤(N,ψ).記Gλ和Nλ分別為λ在G和N中的穩(wěn)定子群(亦稱為慣性群),令ψλ∈Irr(Nλ)為ψ關(guān)于λ的Clifford對應(yīng)，顯然Nλ?Gλ我們又得到了一個新的三元組:

T(λ)=(Gλ,Nλ,ψλ)，稱為T的關(guān)于λ的Clifford對應(yīng)，簡稱為T的λ-對應(yīng)。特別地，當上述λ選取為線性特征標時，在文獻[6]中稱T(λ)為T的一個線性約化。

需要指出的是，三元組的線性約化是一種很新的特征標證明技術(shù)，是2004年Dade和Loukaki在文獻[6]中首先提出的，目前已發(fā)展為研究可解群特征標的重要方法之一。該文對給定的三元組T=(G,N,ψ)，引入了其線性約化和線性極限等一系列基本概念，創(chuàng)立了特征標的線性極限理論，主要結(jié)果是證明了三元組的所有線性極限都是等價的。該結(jié)果可用來簡化Loukaki關(guān)于M-群主猜想的復(fù)雜證明，見文獻[7-9]。從技術(shù)觀點看,Dade和Loukaki在研究M-群時,主要考慮的問題是一個給定的三元組何時具有冪零的線性極限,即研究線性極限的冪零性問題。我們在文獻[10]中首先研究了線性極限的平凡性問題，獲得了若干新的單項特征標定理。此外，文獻[11]推廣了三元組的線性極限，研究了特征標五元組相應(yīng)的線性極限平凡性問題。

本文將Glauberman-Isaacs的特征標對應(yīng)技術(shù)和Dade-Loukaki的特征標線性極限技術(shù)，結(jié)合起來研究三元組的線性約化，重點考慮了帶算子群的三元組的線性約化和線性極限。特別地，我們提出了上述Dade構(gòu)形D的線性約化和線性極限等概念，建立了一種新的特征標圖表約化技術(shù),關(guān)鍵想法仍然是借助三元組的線性極限的平凡性,深入探討上述Dade問題,據(jù)此獲得了若干新的關(guān)于單項特征標的結(jié)果。

1 預(yù)備知識

本節(jié)簡介所需要的特征標理論中的若干基本概念和結(jié)果。

1.1 特征標對

設(shè)G為群,H≤G為G的子群,θ∈Irr(H)為H的一個不可約復(fù)特征標。按Isaacs在文獻[12]中的記法，我們稱(H,θ)為G的一個特征標對。

在G的所有特征標對的集合上，按如下方式定義一個偏序關(guān)系:(H,θ)≤(J,η)當且僅當H≤J并且θ是ηH的一個不可約分量。使用特征標內(nèi)積的Frobenius互反律，該條件也等價于說η是θJ的一個不可約分量。按慣例，亦稱θ在η的下方，或等價地，稱η在θ的上方。

特別地，當H?G是G的正規(guī)子群時，我們稱(H,θ)為G的一個正規(guī)特征標對。此外，在證明本文主要定理時，需要用到下述四邊形的特征標限制對應(yīng)。事實上，特征標的四邊形對應(yīng)，也是我們研究Dade構(gòu)形的動機和背景。

引理1 設(shè)G=NH,其中N?G，H≤G,令D=N∩H.如果ψ∈Irr(N)為G-不變的，并且δ=ψD不可約,則特征標的限制給出了一個雙射

Res:Irr(G|ψ)→Irr(H|δ),χ|→χH.

證明見[12]中推論4.2。

1.2 Glauberman-Isaacs特征標對應(yīng)

設(shè)群S作用在群G上，則誘導(dǎo)出S在不可約特征標集合Irr(G)上的自然作用，即對每個χ∈Irr(G)和s∈S，按如下公式定義s在χ上的作用χs,

χs(gs)=χ(g), ?g∈G,s∈S.

記S在Irr(G)中的不動點集合為IrrS(G),其中每個成員稱為G的S-不變的特征標。

當|S|和|G|互素時，則存在一個典范的雙射，即所謂的Glauberman-Isaacs特征標對應(yīng)

π(G,S):IrrS(G)→Irr(CG(S)),χ|→χ(S).

稱χ(S)為χ的Glauberman-Isaacs對應(yīng)，通常簡記為χ*.具體內(nèi)容和細節(jié)可參考文獻[13]和[1]中的第13章。

我們需要關(guān)于Glauberman-Isaacs對應(yīng)與Clifford對應(yīng)相容性的一個結(jié)果。

引理2 設(shè)群S互素地作用在群G上,N?G為S-不變的,任取χ∈IrrS(G)和ψ∈IrrS(N),則下述成立:

(1)(N,ψ)≤(G,χ)當且僅當(CN(S),ψ(S))≤(CG(S),χ(S)).

(2)令T=IG(ψ),設(shè)ξ∈IrrS(T|ψ),則(ξG)(S)=(ξ(S))CG(S).

證明恰為文獻[14]中引理2.5的兩個結(jié)論。

1.3 S-不變的線性約化

使用Dade和Loukaki在文獻[6]中的術(shù)語，我們稱T=(G,N,ψ)為一個三元組，如果G為任意群，N?G且ψ∈Irr(N)。任取G的一個正規(guī)特征標對(L,λ)≤(N,ψ)，我們可做T的Clifford對應(yīng)T(λ)=(Gλ,Nλ,ψλ)，稱為T的λ-對應(yīng)。特別地，我們將考慮λ為線性特征標的情形，此時稱T(λ)為T的一個線性約化。

重復(fù)上述線性約化步驟，對三元組T的線性約化T1=T(λ)，接著再做線性約化,得到又一個三元組T2=T1(λ1)，再對T2做線性約化得到三元組T3=T2(λ2)，如此得到一個三元組序列T,T1,T2,…,Tn，其中任何一項Ti均稱為T的一個多重線性約化。特別地，當Tn的任何線性約化都只能是自身時，即Tn沒有真線性約化時，則稱Tn為T的一個線性極限。

三元組T的中心Z(T)定義為Z(ψG)，相應(yīng)的商群N/Z(T)稱為T的截面。如果T的截面N/Z(T)是冪零群，則稱T是冪零的。如果T有一個線性極限T′，其截面是冪零群，則稱為T的一個極限截面，亦稱T有一個冪零的線性極限。

不難看出，由于正規(guī)子群L和線性特征標λ∈Irr(L)都有多種選取，故一個三元組的線性約化不唯一，從而其線性極限一般也是不唯一的。然而，在文獻[6]中證明了給定三元組T的所有線性極限都是等價的，特別地，一個三元組的極限截面是同構(gòu)唯一的。

現(xiàn)在考慮帶算子群的三元組的Clifford約化和線性約化。固定三元組T=(G,N,ψ)，設(shè)S為其一個Dade子群，正如在上節(jié)提到的Clifford約化，任取特征標λ做約化時，因為(L,λ)≤(N,ψ)，并且ψ是S-不變的，根據(jù)Clifford定理和Glauberman不動點引理，不難看出ψL存在一個S-不變的不可約分量與λ是N-共軛的。不失一般性，我們即可選λ為S-不變的，此時我們稱(L,λ)為G的一個S-不變的正規(guī)特征標對，稱相應(yīng)的λ-對應(yīng)T(λ)為T的一個S-不變的約化，稱相應(yīng)的線性極限為S-不變的線性極限。

根據(jù)文獻[6]中的主定理，則一個三元組的任意兩個S-不變的線性極限，顯然也都是該文意義下的線性極限，所以也是彼此等價的，從而具有同構(gòu)的極限截面。事實上，這些極限截面作為S-群是同構(gòu)的，但本文不需要如此強的結(jié)構(gòu)。

2 主要結(jié)果

我們先給出Dade構(gòu)形的線性約化和線性極限的定義。設(shè)T=(G,N,ψ)為三元組,S為其一個Dade子群,選取G的一個S-不變的正規(guī)特征標對(L,λ)≤(N,ψ),其中λ未必是線性特征標,做T的λ-約化,即可得到一個新的三元組

T(λ)=(Gλ,Nλ,ψλ),

一個基本問題是S還是T(λ)的一個Dade子群嗎?答案是肯定的,即下述結(jié)論。

引理3 設(shè)T=(G,N,ψ)為三元組,S為T的一個Dade子群,對任意λ∈IrrS(L),其中L?G且L≤N,則S也是三元組T(λ)=(Gλ,Nλ,ψλ)的一個Dade子群。

證明因為λ是S-不變的,故S≤Gλ.注意到(L,λ)≤(Nλ,ψλ)≤(N,ψ)，按定義ψ也是S-不變的，根據(jù)Clifford對應(yīng)的唯一性，可知ψλ也是S-不變的。再看正規(guī)條件:從NS?G可知NλS=(NS)∩Gλ?Gλ.又因為Nλ≤N，故互素條件自動滿足，即(|Nλ|,|S|)=1.按定義，即證S也是三元組T(λ)的一個Dade子群。

根據(jù)上述引理，我們可以對三元組T=(G,N,ψ)構(gòu)造其λ-對應(yīng)T(λ)，由于S為其一個Dade子群，故可接著再做S-對應(yīng)，得到一個新的三元組

T(λ)(S)=(NGλ(S),CNλ(S),(ψλ)(S)).

但另一方面，我們可以先對T做S-對應(yīng)得到三元組

T(S)=(NG(S),CN(S),ψ(S)),

進而，任取G的一個S-不變的正規(guī)特征標對(L,λ)≤(N,ψ)，根據(jù)引理2,在算子群S的作用下得到(CL(S),λ(S))≤(CN(S),ψ(S)).顯然(CL(S),λ(S))也是NG(S)的一個正規(guī)特征標對，自動是S-平凡的，更是S-不變的，又可用來做T(S)的λ(S)-對應(yīng)，得到三元組

T(S)(λ(S))=(NG(S)λ(S),CN(S)λ(S),(ψ(S))λ(S)).

我們需要證明三元組的上述兩個對應(yīng)可以換序，即下述定理。

定理2 設(shè)T=(G,N,ψ)為三元組,S為T的一個Dade子群。再設(shè)L?G使得L≤N，任取λ∈IrrS(L),則T(λ)(S)=T(S)(λ(S)).

證明我們先簡化一下符號。固定算子群S后，可視*為正規(guī)化算子，即規(guī)定G*=NG(S)，N*=NN(S)=CN(S)并且ψ*=ψ(S).按此符號約定，則三元組T=(G,N,ψ)的S-對應(yīng)變?yōu)門*=(G*,N*,ψ*)，我們需要證明的結(jié)論是T(λ)*=T*(λ*)，亦即

((Gλ)*,(Nλ)*,(ψλ)*)=((G*)λ*,(N*)λ*,(ψ*)λ*).

驗證(G*)λ*=(Gλ)*.按上述符號的約定含義，則G*=NG(S)和L*=CL(S)，故(G*)λ*是λ*∈Irr(L*)在G*的慣性群,即ING(S)(λ*),而(Gλ)*=NGλ(S)=Gλ∩NG(S),恰為S在慣性群Gλ中的正規(guī)化子。任取g∈ING(S)(λ*)，則g∈NG(S)且(λ*)g=λ*，根據(jù)Glauberman-Isaacs對應(yīng)的典范性和自同構(gòu)穩(wěn)定性，熟知(λ*)g=(λg)*，故(λg)*=λ*，再由該特征標對應(yīng)的雙射性，迫使λg=λ，即g∈Gλ=IG(λ)，表明g∈NG(S)∩Gλ，所以(G*)λ*?(Gλ)*.類似地，可驗證反包含關(guān)系也成立，故得到所需的結(jié)論。同理可驗證(N*)λ*=(Nλ)*.

最后驗證(ψ*)λ*=(ψλ)*.顯然是Glauberman-Isaacs特征標對應(yīng)與特征標的Clifford對應(yīng),相互交換順序的性質(zhì),根據(jù)引理2,不難看出所證結(jié)論成立。

有了上述準備，現(xiàn)在可定義Dade構(gòu)形的線性約化和線性極限。

給定一個三元組T=(G,N,ψ)，設(shè)S為其一個Dade子群，做T的S-對應(yīng)T(S)，則T關(guān)于S的Dade構(gòu)形D已在第0節(jié)定義，但我們將采用上述定理2證明中的簡化符號，即把S的作用視為正規(guī)化算子*，此時D恰為圖2所示的四邊形對。

(N,ψ) →G

D= ↑ ↑ .

(N*,ψ*) →G*

Fig.2 ConfigurationD

圖2 構(gòu)形D

現(xiàn)在做S-不變的線性約化。任取G的一個S-不變的正規(guī)特征標對(L,λ)≤(N,ψ)，其中λ取為線性特征標，則得到T的線性約化T(λ)，此時T*=T(S)也隨之做關(guān)于線性特征標λ*的線性約化。使用定理2,則上述兩個約化可以換序，據(jù)此可定義Dade構(gòu)形D關(guān)于λ的線性約化D(λ)為圖3所示特征標對的四邊形。

(Nλ,ψλ) →Gλ

D(λ)= ↑ ↑

((Nλ)*,(ψλ)*) → (Gλ)*

Fig.3 ConfigurationD(λ)

圖3 構(gòu)形D(λ)

重復(fù)該線性約化過程,對D1=D(λ)再做線性約化得到D2=D1(λ1),如此得到一個Dade構(gòu)形的序列D,D1,D2,…,Dn,我們稱Dn為D的一個多重線性約化。同樣地，當Dn的任何線性約化都只能是其自身時，即Dn沒有真線性約化時，則稱Dn為D的一個線性極限。類似地，如果三元組T有一個冪零的(或平凡的)線性極限，則稱相伴的Dade構(gòu)形D亦有一個冪零的(或平凡的)線性極限。

使用Dade構(gòu)形的線性約化技術(shù)，我們可得到上述Dade問題的新結(jié)果，其意義在于從M-群中可以識別和構(gòu)造出更多的單項子群。

定理3 設(shè)T=(G,N,ψ)為三元組,S為T的一個Dade子群,并且T有一個平凡的線性極限。如果T是單項的,則其S-對應(yīng)T(S)=(NG(S),CN(S),ψ(S))也是單項的。

證明方便起見，仍然將S的作用簡記為正規(guī)化算子*，即T(S)=(G*,N*,ψ*).根據(jù)文獻[10]中引理3.15,可知三元組的線性約化保持其單項性不變，再從定理2可知三元組的線性約化和S-對應(yīng)可以換序，據(jù)此可知T及其相伴Dade構(gòu)形D做若干次線性約化時，均不改變所給條件和所證結(jié)論，故不妨設(shè)T是線性不可約的，亦即D是線性不可約的。觀察D的定義圖表，因為T有平凡的線性極限，等價于說ψ∈Irr(N)是線性特征標，并且ψ還是G-不變的。此時ψN*也是線性特征標，自然也是G*-不變的。對Dade構(gòu)形D使用四邊形的特征標限制對應(yīng),見引理1,即得到一個雙射:

Res:Irr(G|ψ)→Irr(G*|ψ*),χ|→χG*.

為證三元組T(S)=(G*,N*,ψ*)是單項的，按定義，任取θ∈Irr(G*|ψ*)，只需證θ是單項的。根據(jù)上述特征標的限制雙射，存在某個χ∈Irr(G|ψ)使得θ=χG*.根據(jù)特征標的Mackey公式，不難驗證單項特征標的不可約限制仍為單項特征標，故θ亦為單項特征標。

在上述定理3中，再假設(shè)G是M-群，當ψ取遍N的所有不可約特征標時，相應(yīng)三元組T=(G,N,ψ)顯然是單項的，再觀察Dade構(gòu)形，此時三元組T(S)=(NG(S),CN(S),ψ(S))對每個ψ(S)∈Irr(CN(S))而言，也都是單項的，故有下述直接推論。

推論1 設(shè)G為M-群,N?G,S≤G,使得(|N|,|S|)=1且NS?G.如果對每個ψ∈Irr(N)，相應(yīng)的三元組T=(G，N，ψ)均有平凡的線性極限，則NG(S)也是M-群.

T=(G,N,ψ)為三元組，S為T的一個Dade子群,并且對每個ψ∈Irr(N)，T均有平凡的線性極限。如果G為M-群,則NG(S)也是M-群。

在上述推論的情形，當N是交換群時，對每個ψ∈Irr(N)，三元組T顯然都有平凡的線性極限。一般地，當N的每個Sylow子群均為交換群時，不難驗證該條件也成立。據(jù)此可得到下述關(guān)于M-群的單項子群的一個類似Dade定理的結(jié)論。

推論2 設(shè)G為M-群,N?G,S≤G,使得(|N|,|S|)=1且NS?G.如果N的每個Sylow子群均為交換群,則NG(S)也是M-群。