通有構(gòu)形的特征多項式

孫 瑩, 高瑞梅

(長春理工大學 理學院, 長春 130022)

0 引 言

設(shè)K是一個域,V是域K上的n維向量空間, 將V中有限個超平面所組成的集合稱為一個超平面構(gòu)形, 簡稱構(gòu)形, 記為A.若構(gòu)形A所在空間V的維數(shù)為n, 則定義A的維數(shù)為n.

設(shè)W是歐氏空間E=n中的一個有限Weyl群, 固定W的一個正根系Φ+.對于任意α∈Φ+,k∈, 定義超平面H(α,k)={v∈E|α(v)=k}, 則構(gòu)形A={H(α,0)|α∈Φ+}就是與W對應(yīng)的Weyl構(gòu)形.Weyl構(gòu)形的變形形式有Shi構(gòu)形、 Catalan構(gòu)形和Shi-Catalan構(gòu)形等, 目前已成為該領(lǐng)域的研究熱點[3-8].An-1型Weyl構(gòu)形, 也稱為braid構(gòu)形, 包含個超平面：xi-xj=0, 1≤i

xi-xj=aij, 1≤i

(1)

其中aij是通有元素.式(1)為一個特殊的通有構(gòu)形, 稱為通有braid構(gòu)形.文獻[2]借助圖論中的森林給出了其特征多項式的計算方法.

本文首先推廣平凡位置構(gòu)形, 給出廣義平凡位置構(gòu)形的定義, 并確定平凡位置構(gòu)形、 廣義平凡位置構(gòu)形、 通有構(gòu)形之間的關(guān)系.結(jié)果表明：平凡位置構(gòu)形、 廣義平凡位置構(gòu)形、 通有構(gòu)形構(gòu)成的3個集合, 前者是后者的真子集.其次, 利用通有構(gòu)形的特征多項式推導出廣義平凡位置構(gòu)形的特征多項式.最后, 研究閾構(gòu)形xi+xj=0(1≤i

xi+xj=aij, 1≤i

其中aij是通有元素, 稱為通有閾構(gòu)形.利用文獻[9-11]的方法, 通過建立線性無關(guān)子構(gòu)形與不包含偶圈簡單圖之間的關(guān)系, 給出通有閾構(gòu)形子構(gòu)形的特征多項式.

1 平凡位置構(gòu)形與通有構(gòu)形的關(guān)系

定義1[2]設(shè)A是一個n維構(gòu)形, 對于H1,…,Hp∈A, 如果滿足：

1)當p≤n時, dim(H1∩…∩Hp)=n-p;

2)當p>n時,H1∩…∩Hp=?.

則稱A處于平凡位置或A是一個平凡位置構(gòu)形.

定義2設(shè)A是一個n維構(gòu)形,A可表示為一些子構(gòu)形的不交并：A=B1∪…∪Bm, 且Bi含有ki個超平面,ki≥1, 1≤i≤m.如果A滿足以下條件：

1)Bi中任意兩個超平面均平行, 即超平面的法向量平行, 1≤i≤m;

2)對任意的Hi∈Bi(1≤i≤m),H1,…,Hm均處于平凡位置.

則稱A為廣義平凡位置構(gòu)形.

由定義2可見, 如果k1=…=km=1, 則A是一個平凡位置構(gòu)形, 即廣義平凡位置構(gòu)形是平凡位置構(gòu)形的推廣.

定義3[2]設(shè)A是一個n維構(gòu)形, 定義為L1(v)=a1, …,Lm(v)=am.如果a1,…,am是通有元素(即Hi1∩…∩Hik≠?與Li1,…,Lik線性無關(guān)是等價的, 其中Hi=Ker(Li(v)-ai)), 則稱A為通有構(gòu)形.

定理1廣義平凡位置構(gòu)形必為通有構(gòu)形.

證明：設(shè)A是一個廣義平凡位置構(gòu)形, 則A可表示為一些子構(gòu)形的不交并:A=B1∪…∪Bm.任意選取A中的p個超平面H1,…,Hp, 如果H1∩…∩Hp=?, 則有下列兩種情形：

1)存在Hi,Hj(1≤i

2)H1,…,Hp來自于B1,…,Bm中不同的p個構(gòu)形, 則H1,…,Hp處于平凡位置, 由定義1得p>n, 因此p個n維向量L1,…,Lp線性相關(guān).

反之, 若L1,…,Lp線性相關(guān), 則也存在下列兩種情形：

1)存在i,j(1≤i

2)H1,…,Hp來自于B1,…,Bm中不同的p個構(gòu)形, 即H1,…,Hp處于平凡位置; 若p≤n, 則由定義1, dim(H1∩…∩Hp)=n-p, 即H1,…,Hp的法向量L1,…,Lp線性無關(guān), 矛盾.因此p>n, 故H1∩…∩Hp=?.證畢.

由于平凡位置構(gòu)形是特殊的廣義平凡位置構(gòu)形, 因此由定理1可得如下推論.

推論1平凡位置構(gòu)形必為通有構(gòu)形.

由于廣義平凡位置構(gòu)形是通有構(gòu)形, 因此可借助通有構(gòu)形的特征多項式, 計算廣義平凡位置構(gòu)形的特征多項式.

定理2n維廣義平凡位置構(gòu)形A=B1∪…∪Bm(ki=#Bi, 1≤i≤m)的特征多項式為

文獻[2]利用構(gòu)形的交叉偏序集與截斷的Boolean代數(shù)同構(gòu)方法, 得到了平凡位置構(gòu)形的特征多項式.利用定理2, 令k1=…=km=1, 則易得如下推論.

推論2設(shè)A是包含m個超平面的n維平凡位置構(gòu)形, 則A的特征多項式為

易見, 3個平面x=0,y=0,x+y-1=0形成的3維構(gòu)形是通有構(gòu)形, 但不是廣義平凡位置構(gòu)形.因此, 平凡位置構(gòu)形、 廣義平凡位置構(gòu)形、 通有構(gòu)形構(gòu)成的3個集合, 前者是后者的真子集.

2 通有閾構(gòu)形的特征多項式

定義4[2]由超平面xi+xj=aij(1≤i

定義5設(shè)B是Tn的一個子構(gòu)形, 定義B對應(yīng)的簡單圖G=(V,E), 其中:

V=[n]={1,2,…,n}；E={ij|Ker(xi+xj-aij)∈B}.

B中超平面xi+xj=aij的法向量為αij=εi+εj, 其中εi是第i個n維單位向量, 也稱αij為G的邊ij對應(yīng)的向量.

定義6若構(gòu)形B中超平面的法向量線性無關(guān)(相關(guān)), 則稱B線性無關(guān)(相關(guān)), 也稱B對應(yīng)的圖G線性無關(guān)(相關(guān)).

定義7[12]起點和終點重合的軌道稱為圈；長度為奇數(shù)(偶數(shù))的圈稱為奇圈(偶圈).

引理2偶圈線性相關(guān).

證明：設(shè)偶圈的頂點集為V={1,2,…,2k},k≥2, 邊對應(yīng)的向量依次為

α12=ε1+ε2,α23=ε2+ε3, …,α2k-1,2k=ε2k-1+ε2k,α2k,1=ε2k+ε1.

由于α12+α34+…+α2k-1,2k=ε1+…+ε2k=α23+α45+…+α2k,1, 則偶圈的邊對應(yīng)的向量組線性相關(guān), 即偶圈線性相關(guān).

引理3奇圈線性無關(guān).

證明: 設(shè)奇圈的頂點集為V={1,2,…,2k+1},k≥1, 邊對應(yīng)的向量依次為

α12=ε1+ε2,α23=ε2+ε3, …,α2k,2k+1=ε2k+ε2k+1,α2k+1,1=ε2k+1+ε1.

假設(shè)l1α12+l2α23+…+l2kα2k,2k+1+l2k+1α2k+1,1=0, 即

(l1+l2k+1)ε1+(l1+l2)ε2+…+(l2k+l2k+1)ε2k+1=0.

由于ε1,…,ε2k+1線性無關(guān), 因此l1=…=l2k+1=0, 即奇圈線性無關(guān).

下面從圖的角度給出通有閾構(gòu)形的子構(gòu)形線性無關(guān)的充要條件.

定理3設(shè)G=(V,E)是n個頂點的簡單圖, 則G線性無關(guān)當且僅當G不含偶圈, 且G的每個連通分支C均滿足e(C)≤v(C), 其中e(C)和v(C)分別表示C的邊數(shù)和頂點數(shù).

證明:G的子圖G1的邊對應(yīng)的向量無論是v(G1)維還是n維, 并不影響G1的線性相關(guān)性, 因此下面證明中不再明確指出子圖的邊對應(yīng)向量的維數(shù).

1)若G含偶圈, 則由引理2,G線性相關(guān).若G的某一個連通分支C滿足e(C)>v(C), 則e(C)個v(C)維向量必線性相關(guān), 即C線性相關(guān), 因此G線性相關(guān).綜上, 若G線性無關(guān), 則G不含偶圈且G的每個連通分支C均滿足e(C)≤v(C).

2)假設(shè)G不含偶圈且G的每個連通分支C均滿足e(C)≤v(C).下面對v(G)=n進行數(shù)學歸納法.

① 當n=2時,G線性無關(guān).

② 假設(shè)n≤m-1時結(jié)論成立, 則當n=m時, 由于G不含偶圈, 故由引理4,δ(G)≤2.

情形1)當δ(G)=0時, 若e(G)=0, 則G線性無關(guān).若e(G)≥1, 則存在頂點k∈V=[m]={1,2,…,m}, 滿足d(k)=0, 即頂點k是G的孤立點.設(shè)V1={k1,…,kp}是G的孤立點集, 1≤p≤m-2, 則G-V1的每個連通分支均是G的連通分支, 且v(G-V1)=m-p≤m-1, 因此G-V1符合歸納假設(shè), 故G-V1線性無關(guān).又G與G-V1具有相同的邊集, 因此G也線性無關(guān).

情形2)當δ(G)=1時, 存在頂點k∈V=[m]={1,2,…,m}, 滿足d(k)=1.設(shè)與k鄰接的唯一頂點為l,k和l關(guān)聯(lián)的邊為e, 包含點k唯一的連通分支為C.對于G-k,G的連通分支C去掉了一個頂點k和一條邊e成為G-k的一個連通分支, 其余連通分支不變, 因此G-k滿足歸納假設(shè), 故G-k線性無關(guān).由于G-k不含頂點k, 因此邊e對應(yīng)的向量αkl=εk+εl不能由G-k的邊對應(yīng)的向量線性表示.故G=(G-k)+e線性無關(guān).

由引理1和定理3, 可得n維通有閾構(gòu)形Tn子構(gòu)形的特征多項式的計算公式.

例1如圖1所示, 其對應(yīng)的構(gòu)形是6維通有閾構(gòu)形T6的一個子構(gòu)形B,B中超平面為：

圖1 T6的子構(gòu)形

x1+x2=a12,x1+x3=a13,

x1+x5=a15,x1+x6=a16,

x2+x3=a23,x3+x4=a34,

x4+x5=a45,x5+x6=a56.

e(F)的值和F的情形個數(shù)列于表1.

當e(F)=4,5,6時,F分別有1,4,8種線性相關(guān)的情形, 如圖2所示, 其中每個圖形下面的數(shù)字表示該圖形的情形個數(shù).

表1 e(F)的值和F的情形個數(shù)

因此B的特征多項式為

圖2 線性相關(guān)的子圖

綜上所述, 本文首先通過推廣平凡位置構(gòu)形, 得到了廣義平凡位置構(gòu)形.其次, 討論了通有構(gòu)形和廣義平凡位置構(gòu)形的關(guān)系, 借助通有構(gòu)形的特征多項式, 給出了廣義平凡位置構(gòu)形的特征多項式.最后, 研究了通有閾構(gòu)形, 通過建立線性無關(guān)子構(gòu)形與不包含偶圈的簡單圖之間的關(guān)系, 給出了通有閾構(gòu)形子構(gòu)形的特征多項式.