一道二次曲線相切問題的辨析

張勝利

【摘要】中學(xué)階段，橢圓、雙曲線、拋物線與圓的相切問題，一般要轉(zhuǎn)化為代數(shù)問題研究，同時(shí)要注意圖形的特點(diǎn)，不能與直線和二次曲線相切等同研究。

【關(guān)鍵詞】二次曲線 相切

高中數(shù)學(xué)中，相切問題主要研究的是直線與二次曲線的相切，解決方法是借助幾何直觀，利用二次方程的判別式為零求解（直線與圓相切直接利用幾何特征——圓心到直線的距離等于半徑）。對于二次曲線與二次曲線相切，沒有給出嚴(yán)格的定義，涉及的問題都是一些比較直觀和簡單的。但學(xué)生會(huì)誤以為相切都是二次方程的判別式為零，從而產(chǎn)生一些難以解釋的疑惑。下面通過一個(gè)課堂中遇到的問題辨析二次曲線相切問題的解法。

【辨析4】本例的一個(gè)變形問題為：

求圓心在橢圓長軸上且過長軸的離圓心最近頂點(diǎn)的圓半徑的最大值。（換一種實(shí)際應(yīng)用的問法：設(shè)一個(gè)高腳杯的內(nèi)部形狀是“立起來”的橢圓下半部分繞長軸旋轉(zhuǎn)一周形成的，現(xiàn)放置一個(gè)小球在杯子中，使得小球可以接觸到杯子內(nèi)部最低點(diǎn)，求小球半徑的最大值）

考慮到圓與橢圓已經(jīng)有了一個(gè)公共點(diǎn)，可以直接解方程：

與本例等價(jià)的問題還有：已知拋物線C：y2=2px（p>0），F(xiàn)為其焦點(diǎn)，點(diǎn)E（t，0）（t>0）。

（1）若拋物線C上存在點(diǎn)P，使得∠EPF為鈍角，求t的取值范圍。

（2）若拋物線C上任一點(diǎn)P，都有∠EPF為銳角，求t的取值范圍。

圓錐曲線與圓相切問題的背景是曲線的曲率半徑，通過上面兩個(gè)例子，我們知道，在中學(xué)范圍內(nèi)，可以利用方程、不等式、函數(shù)方法解決幾何問題，但要注意代數(shù)與幾何直觀相結(jié)合，進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化。這也是解析幾何最基本的思想，教學(xué)中可以適當(dāng)利用這些素材，帶領(lǐng)學(xué)生一起探索，從而加強(qiáng)學(xué)生對數(shù)形結(jié)合的認(rèn)識(shí)，提高探究的能力。