基于速度補償涂布卷繞系統(tǒng)分?jǐn)?shù)階PID 控制?

王嘯曦 萬振剛 高 翔

（1.江蘇科技大學(xué)電子信息學(xué)院 鎮(zhèn)江 212003）（2.無錫鑫德勝自動化科技有限公司 無錫 214000）

1 引言

四電機涂布卷繞系統(tǒng)主要目的為在涂布卷繞過程中保持張力穩(wěn)定，同時消除相鄰傳動點間的速度差，提升涂布生產(chǎn)效率。文獻［1］中提到使用PID 控制雙電機卷繞系統(tǒng)，并給出仿真結(jié)果。傳統(tǒng)PID 控制結(jié)構(gòu)簡單，控制效果良好。但在系統(tǒng)中電機的數(shù)量較多的情況下，PID 控制效果也不理想。而分?jǐn)?shù)階PID［2］有更加靈活的可調(diào)參數(shù)，在實際應(yīng)用中面對復(fù)雜控制環(huán)境可以快速適應(yīng)。

涂布卷繞系統(tǒng)控制關(guān)鍵在于多電機同步協(xié)調(diào)控制，在工業(yè)中常用的多電機同步控制策略有主從控制［3］與并行控制［4］，隨著自動控制技術(shù)發(fā)展，交叉耦合控制［5］策略被大量運用到雙電機控制系統(tǒng)中，并取得良好效果。

針對涂布系統(tǒng)控制要求，根據(jù)偏差耦合［6］思想，本文首次提出并設(shè)計了綜合運用分?jǐn)?shù)階PID 控制器與速度補償控制策略的四電機涂布卷繞控制方法，即將各環(huán)節(jié)負載線速度輸出通過速度補償器整定并反饋至分?jǐn)?shù)階PID控制器對系統(tǒng)進行控制。

2 卷繞同步控制結(jié)構(gòu)

本文針對四電機卷繞控制結(jié)構(gòu)設(shè)計一種線速度補償器并結(jié)合分?jǐn)?shù)階PID 控制的同步控制策略，構(gòu)造出四電機同步卷繞控制系統(tǒng)，結(jié)構(gòu)圖如圖1 所示，V 為給定線速度，V1、V2、V3、V4為放卷、主牽引、副牽引、收卷環(huán)節(jié)線速度輸出信號，MUX 為速度組合器，DEMUX 為速度解析器。速度補償器主要是將收/放卷以及牽引環(huán)節(jié)線速度輸出值返回至系統(tǒng)中并與其他環(huán)節(jié)負載線速度輸出值做差，經(jīng)過放大與累加處理輸出反饋補償信號。將補償信號輸入至分?jǐn)?shù)階PID控制器，從而實現(xiàn)對系統(tǒng)的控制。

圖1 控制結(jié)構(gòu)示意圖

3 四電機涂布卷繞傳動模型

四電機涂布卷繞系統(tǒng)包含放卷環(huán)節(jié)、收卷環(huán)節(jié)和兩個牽引環(huán)節(jié)，每個環(huán)節(jié)由電機驅(qū)動。每個驅(qū)動環(huán)節(jié)上有速度檢測裝置，并且每兩個環(huán)節(jié)之間有張力檢測裝置，結(jié)構(gòu)如圖2 所示，從右至左以此為放卷環(huán)節(jié)、主牽引環(huán)節(jié)、副牽引環(huán)節(jié)和收卷環(huán)節(jié)。

圖2 四電機涂布卷繞系統(tǒng)傳動模型

涂布卷繞生產(chǎn)設(shè)備張力大小主要由輥軸間的速度差決定。文獻［7］給出張力公式為

式中V2為收卷電機速度，V1為放卷電機速度，K 為張力系數(shù)。

由式（1）可知，張力大小與相鄰傳動點之間線速度差的積分成正比，因此張力控制在本質(zhì)上是卷繞系統(tǒng)中相鄰兩輥軸的線速度控制。

根據(jù)式（1）可得出卷繞速度和張力表達式：

式中：ωi、Ri、Vi分別為各輥軸角速度、旋轉(zhuǎn)半徑和線速度，Ti為各輥軸之間張力，Ki為各驅(qū)動環(huán)節(jié)間張力系數(shù)，i為各個驅(qū)動環(huán)節(jié)序號。

系統(tǒng)運行中，牽引軸半徑保持恒定，收/放卷軸半徑則動態(tài)變化，因此要使收/放卷軸線速度與牽引軸一致，需動態(tài)調(diào)控制其轉(zhuǎn)速。收/放卷軸半徑與時間關(guān)系表達如下：

式中h 為布料厚度，V1、R1為放卷電機速度與半徑，V4、R4為收卷電機速度與半徑。由式（4）、式（5）可知：收/放卷軸的半徑變化率由瞬時轉(zhuǎn)速決定。

依據(jù)上述式（2）～（5），完成拉氏變換，可以得到數(shù)學(xué)模型：

式（6）中，R10、R40分別為放卷環(huán)節(jié)負載與收卷環(huán)節(jié)負載初始旋轉(zhuǎn)半徑；R1、R2、R3、R4分別為放卷環(huán)節(jié)、主牽引環(huán)節(jié)、副牽引環(huán)節(jié)、收卷環(huán)節(jié)負載運動半徑；同樣，V1、V2、V3、V4為各環(huán)節(jié)負載線速度；ω1、ω2、ω3、ω4為各環(huán)節(jié)角速度；T1為放卷張力、T2為牽引張力、T3為收卷張力。

4 控制器設(shè)計

4.1 速度補償器

速度補償方法為多電機控制策略關(guān)鍵，常用多電機控制策略為主從控制、并行控制，但用于涂布卷繞系統(tǒng)都無法達到精確的效果；交叉耦合控制不適用三臺以上電機。

為使各輥軸線速度一致，根據(jù)偏差耦合控制策略思想以及四電機卷繞控制模型，文本設(shè)計一種改進速度補償器，補償器結(jié)構(gòu)如圖3所示。

圖3 速度補償器結(jié)構(gòu)圖

以放卷環(huán)節(jié)為例，其負載線速度反饋誤差信號為

其中，E 為反饋誤差，V 為給定線速度，V1為放卷環(huán)節(jié)負載線速度輸出值。當(dāng)反饋信號為單一環(huán)節(jié)線速度輸出值時，單一環(huán)節(jié)發(fā)生波動時并不能影響其他環(huán)節(jié)，導(dǎo)致產(chǎn)生速差，使系統(tǒng)不穩(wěn)定。

如結(jié)構(gòu)圖所示，各環(huán)節(jié)速度補償器輸出補償信號為

其中，V1e、V2e、V3e、V4e分別為各環(huán)節(jié)的線速度補償信號，Kij為增益系數(shù)，eij為各環(huán)節(jié)之間的速度差，如下所示：

其中，V1、V2、V3、V4分別為放卷環(huán)節(jié)、主牽引環(huán)節(jié)、副牽引環(huán)節(jié)以及收卷環(huán)節(jié)負載線速度。

由式（7）、式（8）、式（9）可得通過速度補償器后反饋速度誤差信號為

其中，E1、E2、E3、E4分別為放卷環(huán)節(jié)、主牽引環(huán)節(jié)、副牽引環(huán)節(jié)以及收卷環(huán)節(jié)負載線速度誤差信號，V為給定線速度值。

根據(jù)以上多式可知，速度誤差反饋信號通過各環(huán)節(jié)間的速差整定得到，即在單一環(huán)節(jié)線速度發(fā)生波動時，其他環(huán)節(jié)可根據(jù)波動情況隨動，保持整體速度一致，其張力波動也可以控制至最小范圍。

4.2 分?jǐn)?shù)階PID控制器

通過速度補償器控制策略整定反饋信號達到同步控制要求后，為使整體系統(tǒng)能夠得到更精確的控制效果，本文使用分?jǐn)?shù)階PID 控制器完成系統(tǒng)控制。

分?jǐn)?shù)階PID 控制器一般形式為PIλDμ［8～10］。比傳統(tǒng)PID 多兩個可調(diào)節(jié)參數(shù)：微積分的階數(shù)λ、μ。分?jǐn)?shù)階PID的傳遞函數(shù)為

根據(jù)永磁同步電動機的數(shù)學(xué)模型［11～13］，本文所選取收/放卷電機以及牽引電機數(shù)據(jù)如表1所示。

表1 電機參數(shù)表

以牽引環(huán)節(jié)為例，根據(jù)所建立模型以及電機參數(shù)表，其速度的傳遞函數(shù)公式為

加入整數(shù)階PID［14］控制后，系統(tǒng)傳遞函數(shù)為

根據(jù)頻率特性，可得出整數(shù)階PID 最優(yōu)控制參數(shù)近似等于：KP=150、KI=0.75、KD=2.5。在分?jǐn)?shù)階PID 控制器的設(shè)計中，以此三個參數(shù)作為控制器的參數(shù)KfP，KfI，KfD。

由于分?jǐn)?shù)階PID 轉(zhuǎn)化成整數(shù)階時是無限維，為了確定精確表達式，本文使用Oustaloup 濾波算法對分?jǐn)?shù)階微積分算子進行近似，方便分析。（ωb，ωh）為近似的頻段范圍，N 為近似階次。Sλ、Sμ統(tǒng)一為分?jǐn)?shù)階微積分算子Sα，其近似化有理傳遞函數(shù)為［15］

式中K為增益。

根據(jù)牽引環(huán)節(jié)模型，將微積分算子近似頻率范圍設(shè)定在（0.001，1000）之間，通過比對，當(dāng)近似階次N=4 時效果最優(yōu)。此時取積分階數(shù)λ=0.9，μ選定在（0.1，0.9）范圍，間隔0.2，對比選取最優(yōu)的微分階次。圖2 顯示了不同μ值下模型的階躍響應(yīng)曲線：

圖4 不同μ值下階躍響應(yīng)

由上圖可以得出，當(dāng)取λ=0.9，μ=0.1，為最佳控制參數(shù)。根據(jù)最優(yōu)整數(shù)階PID 控制參數(shù)：KP=150、KI=0.75、KD=2.5，得出牽引環(huán)節(jié)分?jǐn)?shù)階PID 控制器傳遞函數(shù)為

針對放卷環(huán)節(jié)與收卷環(huán)節(jié)控制器設(shè)計，放卷滿載轉(zhuǎn)動慣量取3.21kg·m2，收卷空載轉(zhuǎn)動慣量取3.06 kg·m2。分?jǐn)?shù)階PID 控制器中積分項與微分相的階次為λ=0.9，μ=0.1，得放卷環(huán)節(jié)與收卷環(huán)節(jié)控制器傳遞函數(shù)分別為式（19）與式（20）：

5 仿真結(jié)果分析

為了驗證基于速度補償分?jǐn)?shù)階PID 控制卷繞系統(tǒng)的可行性，電機參數(shù)如表1 所示。仿真效果與PID 控制比對，并對比主從控制和并行控制。放卷滿載轉(zhuǎn)動慣量取3.21kg·m2，收卷空載轉(zhuǎn)動慣量取3.06 kg·m2，設(shè)定系統(tǒng)參考線速度為10m/min，參考張力為10N。

圖5 速度響應(yīng)曲線

圖5（a）、5（b）、5（c）、5（d）分別為放卷環(huán)節(jié)，主牽引環(huán)節(jié)、副牽引環(huán)節(jié)以及收卷環(huán)節(jié)的負載線速度在分?jǐn)?shù)階PID 與PID 控制下對比，實線為分?jǐn)?shù)階PID 控制，虛線為PID 控制。如圖所示，在分?jǐn)?shù)階PID控制下，各個環(huán)節(jié)速度調(diào)節(jié)時間均在0.6s左右，而在PID控制下的調(diào)節(jié)時間達到0.9s左右。

為建立穩(wěn)定張力，設(shè)定各環(huán)節(jié)響應(yīng)過程中控制器參數(shù)如下：

放卷環(huán)節(jié)：KP=12.45、KI=0.3、KD=1.5；牽引環(huán)節(jié)1：KP=40、KI=0.5、KD=2.5；牽 引 環(huán) 節(jié)2：KP=60、KI=0.85、KD=2.5；收卷環(huán)節(jié)：KP=101、KI=1.1、KD=1；其中階次λ=0.9，μ=0.1。

圖6（a）、6（b）、6（c）分別為放卷張力、牽引張力以及收卷張力分別在分?jǐn)?shù)階PID 與PID 控制下對比，實線為分?jǐn)?shù)階PID 控制，虛線為PID 控制。由圖可知，在分?jǐn)?shù)階PID 控制下，各環(huán)節(jié)張力調(diào)節(jié)時間均在0.6s左右，遠優(yōu)于PID控制。

圖6 張力響應(yīng)曲線

進一步驗證系統(tǒng)的抗擾動性能，設(shè)定系統(tǒng)參考線速度為10m/min，在t=1.5s 時主牽引環(huán)節(jié)突加負載轉(zhuǎn)矩TL=10N·m，觀察系統(tǒng)同步誤差。

圖7、圖8、圖9中（a）、（b）、（c）分別為放卷環(huán)節(jié)與主牽引環(huán)節(jié)、主牽引環(huán)節(jié)與副牽引環(huán)節(jié)、主牽引環(huán)節(jié)與收卷環(huán)節(jié)負載線速度同步誤差曲線，由圖可知，在t=1.5s 時突加負載轉(zhuǎn)矩后，速度補償控制能極小地消除誤差，各環(huán)節(jié)負載線速度隨動性較好，速差不超過0.3m/min，在0.1s 內(nèi)恢復(fù)穩(wěn)態(tài)。而主從控制與并行控制同步誤差大，穩(wěn)態(tài)時間長，無法達到預(yù)期控制效果。

在主牽引環(huán)節(jié)加上方差為1N·m 的連續(xù)負載干擾轉(zhuǎn)矩，觀察張力穩(wěn)定性。

圖7 同步誤差曲線

圖8 并行控制同步誤差曲線

圖9 主從控制同步誤差曲線

圖10 張力誤差曲線

圖10 中三條曲線為系統(tǒng)三段張力波動曲線，可知使用基于速度補償分?jǐn)?shù)階PID 控制后，當(dāng)單一環(huán)節(jié)負載存在連續(xù)誤差時，由于各環(huán)節(jié)負載速度具有隨動性，產(chǎn)生速差極小，其張力波動范圍在0.5%以內(nèi)，不影響系統(tǒng)穩(wěn)定運行。

6 結(jié)語

本文針對四電機涂布卷繞控制系統(tǒng)提出了一種綜合運用分?jǐn)?shù)階PID 控制器與速度補償?shù)闹悄芸刂品椒?，通過仿真實驗得出以下結(jié)論：

1）使用速度補償控制策略可在系統(tǒng)單一環(huán)節(jié)速度發(fā)生變化后，較好地消除誤差并控制其他環(huán)節(jié)隨動，保持系統(tǒng)整體速度一致，減小張力變化。

2）分?jǐn)?shù)階PID 控制器可以有效提高卷繞控制系統(tǒng)的響應(yīng)速度和控制精度；

3）綜合運用分?jǐn)?shù)階PID 控制器與速度補償方法可實現(xiàn)針對四電機涂布卷繞系統(tǒng)的整體有效控制，即在系統(tǒng)存在負載轉(zhuǎn)矩擾動等復(fù)雜工況下可保證系統(tǒng)高效穩(wěn)定運行。

因此該方法在多電機涂布卷繞控制系統(tǒng)中具有較高的可行性和實用性。