均值不等式在求解數(shù)列問(wèn)題中的應(yīng)用舉例

孫明保，李新平，楊 雄，夏汝剛，張佩佩

(湖南理工學(xué)院 數(shù)學(xué)學(xué)院，湖南 岳陽(yáng) 414006)

對(duì)任意n個(gè)實(shí)數(shù)ai＞0(i=1，2，…，n)，均值不等式為

即：幾何平均值≤算術(shù)平均值，其中等式成立當(dāng)且僅當(dāng)a1=a2=…=an.

對(duì)于均值不等式(1)的證明、推廣與應(yīng)用，數(shù)學(xué)工作者進(jìn)行了不懈的探究，如文[1～5]等.運(yùn)用均值不等式求解數(shù)學(xué)問(wèn)題的關(guān)鍵是需要注意其中的條件.只有深刻領(lǐng)會(huì)并掌握均值不等式的應(yīng)用范圍，才能發(fā)揮它獨(dú)特的功能，這其中常常需要根據(jù)問(wèn)題的隱含條件巧妙地運(yùn)用組合、分拆、湊配等變形技巧，將其轉(zhuǎn)化為均值不等式.本文結(jié)合研究生入學(xué)考試中的一些數(shù)列試題，給出部分應(yīng)用實(shí)例.

例1數(shù)列{xn}滿足

其中

求數(shù)列{xn}的極限.

解由均值不等式有

由上述不等式可知

在例1 中取a1=1，d=1，即為東北師范大學(xué)研究生入學(xué)考試試題.例1 給出了它的推廣，這里的解答不同于文[5]中的解答.

例2(武漢大學(xué)，1992年) 數(shù)列{xn}滿足：

其中a為給定的正數(shù)，k(≥2)為給定的自然數(shù).

(1)證明：數(shù)列{xn}收斂；

(2)求出其極限值.

分析這里關(guān)鍵是證明數(shù)列{xn}收斂，注意到可變形為運(yùn)用均值不等式就可證得xn＞0，進(jìn)一步可證明{xn}單調(diào)遞減.

證明(1)首先可證xn＞0.由均值不等式有

從而{xn}有下界.又由式(2)知≥a，所以有

即數(shù)列{xn}收斂.

在例2 中取k=2，即為華中理工大學(xué)1998年和廈門大學(xué)2002年研究生入學(xué)考試試題.

例3(南京航空航天大學(xué)，1999年) 證明函數(shù)列在x∈ [0，1]上對(duì)n單調(diào)遞增.

分析這里將看作運(yùn)用均值不等式可證.

證明運(yùn)用均值不等式有

即

例4(華東師范大學(xué)，2000年) 證明數(shù)列為單調(diào)遞減數(shù)列.

分析只要證明為單調(diào)遞增數(shù)列，從而將看作運(yùn)用均值不等式可證.

證明運(yùn)用均值不等式有

即

類似的，可以用均值不等式和夾逼原理求解如下極限問(wèn)題：

(南開(kāi)大學(xué)，1985年) 已知xn＞0，試證：

限于篇幅，不再贅述.