“大概念”統(tǒng)攝下的數(shù)學整體性教學

北京新東方揚州外國語學校 韋 璐

在小學數(shù)學教育領域，“大概念”是指“一個學科領域中最為精華、最優(yōu)價值、最為核心的學科內(nèi)容”。“大概念”是對學科核心概念理解的具體表述，反映了數(shù)學世界中的自然法則，體現(xiàn)了對數(shù)學世界理性的認知視角，是數(shù)學觀、數(shù)學價值觀在數(shù)學教育中的具體展現(xiàn)。在數(shù)學課程中，“大概念”應當貫穿于數(shù)學課程的全部，能被學生認知、理解并在理解的基礎上進行積極的應用。用“大概念”來組織數(shù)學教學，已經(jīng)成為數(shù)學學科課程的重要特點和標識。

一、對數(shù)學學科“大概念”的認知

1.數(shù)學學科中“大概念”的提出

“大概念”是指“有組織、有結構的數(shù)學知識和模型，它們能在較大范圍之內(nèi)解決相關的數(shù)學問題，能讓離散的數(shù)學知識結構化?！薄按蟾拍睢弊钤缈梢陨纤莸矫绹逃睦韺W家布魯納所提出的“學科本質(zhì)”。布魯納深刻地指出，“任何一門學科的教學，都必須讓學生將學科中那些最為廣泛、最強有力的適應性觀念教給學生，這些觀念也就是‘學科本質(zhì)’”。在數(shù)學教學中，教師不應該給學生支離破碎、脫離生活的數(shù)學知識，而應當運用恰當?shù)姆椒?，幫助學生形成對世界的數(shù)學化理解。換言之，“大概念”教學應當培養(yǎng)學生“數(shù)學的眼光”“數(shù)學的大腦”。借助大概念，引導學生分解數(shù)學問題、設計數(shù)學深度的思考、探究活動，引導學生的數(shù)學學習不斷進階，從而提升學生的數(shù)學學習力，發(fā)展學生的數(shù)學核心素養(yǎng)。

2.數(shù)學學科中“大概念”的大小

數(shù)學概念在數(shù)學學科中是以層級的形式呈現(xiàn)的，因而，數(shù)學學科中的大概念是相對的。從大的方面來說，數(shù)學觀、數(shù)學價值觀、數(shù)學學習觀等都是大概念；從小的方面來說，每一個上位的數(shù)學概念都是“大概念”。在數(shù)學學科中，一個數(shù)學概念總是包含若干個其他的數(shù)學概念，同時，這個數(shù)學概念總是包含于其他的若干個概念之中。比如“因數(shù)和倍數(shù)”這一概念是包含于“公因數(shù)和公倍數(shù)”之中的，而“因數(shù)和倍數(shù)”概念卻是建立在“乘法和除法”概念之上的。因此，數(shù)學學科中的“大概念”的“大小”是相對的。一個概念可以歸入一個更大的概念之中，而這個更大的數(shù)學概念卻又總可以歸入一個更為廣闊、更為寬泛的概念之中。由此，形成了數(shù)學嚴謹?shù)摹⒕哂衅毡殛P聯(lián)的概念結構。這些概念結構是數(shù)學學科的靈魂。

3.“大概念”與學科核心素養(yǎng)

數(shù)學學科中的“大概念”具有兩個最為重要的特性：“核心性”與“共通性”。數(shù)學“大概念”是數(shù)學教學活動的基軸、核心。通過一個個的數(shù)學“大概念”，將零散的數(shù)學知識串珠成鏈，從而助推學生的數(shù)學問題解決，助推學生數(shù)學核心素養(yǎng)的生成。數(shù)學嚴謹性、結構性的大概念，能讓學生的數(shù)學學習實現(xiàn)螺旋式上升、層級性攀爬。學生在習得大概念的過程中，其數(shù)學思維得到了磨礪，比如科學性、連貫性、條理性和清晰性，比如典型的數(shù)學問題、典型的分析方法、典型的思維方式，等等。比如在教學“因數(shù)和倍數(shù)”這一對大概念時，學生不僅認識到“因數(shù)和倍數(shù)”的內(nèi)涵，更理解“因數(shù)和倍數(shù)”的相關關系，習得了列舉的數(shù)學思想方法等，這些都是學生數(shù)學核心素養(yǎng)的重要組成部分。

二、數(shù)學教學中“大概念”的價值和意義

數(shù)學教學內(nèi)容應當圍繞數(shù)學大概念來組織和實施。無論是教材的編寫還是教師的教學操作，都應凸顯大概念的價值和意義。數(shù)學教學中的“大概念”是撬動課堂轉型的一個支點。在數(shù)學教學中，運用“大概念”，能讓學生廣泛地吸納數(shù)學知識，能引導學生進行“有意義學習”，能讓學生快速有效地運用數(shù)學知識。

1.廣泛吸納數(shù)學知識

數(shù)學知識無論從廣度、深度上來說，都是動態(tài)的、發(fā)展的。數(shù)學學科不是不可爭辯的“真理集合”，而是一種動態(tài)的、可誤的、生長性的科學。當下，數(shù)學知識更是以幾何級數(shù)的增加而蔚為壯觀。面對紛繁復雜的數(shù)學知識，面對動態(tài)的、生長性的數(shù)學知識，學生需要的不僅僅是掌握某一具體知識，更是要掌握能建構該知識領域的“大概念”。通過某一個或者某幾個數(shù)學大概念，學生能建構一個蜘蛛網(wǎng)式、具有關聯(lián)性、發(fā)散性的知識領域。從這個意義上說，大概念教學有助于學生廣泛地吸納數(shù)學知識，從而實現(xiàn)舉一反三、觸類旁通的教學效果。學生置身于大概念學習之中，能形成整體性的思維能力。

2.實現(xiàn)“有意義學習”

學生的數(shù)學“大概念”學習是一種“有意義”的學習。傳統(tǒng)的數(shù)學學習，往往是以課時為單位，而大概念的學習，學生不僅要著眼于課時，更要著眼于單元，著眼于學段，甚至著眼于整個數(shù)學學科。從這個意義上說，大概念教學有助于學生進行整體性、系統(tǒng)性、結構性的數(shù)學學習。比如教學“整數(shù)加減法”“小數(shù)加減法”和“異分母分數(shù)加減法”時，盡管法則的表現(xiàn)形態(tài)不同，但其蘊含的算理——“計數(shù)單位相同才能直接相加減”卻是相同。教師在教學時不僅要引導學生掌握具體的運算法則，更要引導學生掌握這些計算法則背后的算理，體會到法則之間的內(nèi)在算理的一致性，這就是大概念的有意義性教學。

3.有效“運用知識”

在《人是如何學習的》一書中提到了“專家”與“新手”的差異。較之于新手，專家就是那些在特定的研究領域具有系統(tǒng)、完整的專業(yè)概念知識。從根本上說，大概念有助于學生能快速、有效地提取知識、運用知識。換言之，在大概念學習之中，數(shù)學知識是處于動態(tài)的、活化狀態(tài)之中的，其敏感度、同化力、辨別性都是相當高的，有助于學生快速有效地理解、記憶、組織、推理、再現(xiàn)以及運用數(shù)學知識。比如當學生在掌握了“梯形的面積公式”，并且認識到“三角形面積就是上底為零時的梯形面積、平行四邊形的面積就是上下底相等的梯形面積”時，梯形的面積公式就獲得了一種解釋性、包攝性效用，就能廣泛地應用于圖形的面積計算。這樣的大概念教學，不是靜態(tài)的教學，而是動態(tài)的教學，結構的教學，發(fā)展性的教學等。

三、聚焦“大概念”的數(shù)學教學設計

“大概念”也被譯為“大觀念”，常常位于“課程學習中心”，或者說位于“知識金字塔頂端”的“核心概念、知識模型和學科大圖景”。在數(shù)學教學實踐中，教師要以“大概念”作為單位選擇，突破單課思維，呈現(xiàn)數(shù)學教學的整體框架。站在“大概念”的視角，對數(shù)學教學進行整體謀劃。要指向大概念、圍繞大概念、聚焦大概念，通過“大概念”教學，占領數(shù)學學科教學制高點。

1.突破單課思維，厘清知識來龍去脈

美國著名教育家布魯納一再強調(diào)，“無論教師教學哪一門學科，務必讓學生理解該學科的基本結構?！痹跀?shù)學教學中，教師要突破單課思維，考量數(shù)學知識點的來龍去脈。通過考量數(shù)學知識點的來龍去脈，讓學生感悟支撐起這一類知識點的大概念。以大概念為視角，梳理相關數(shù)學知識，形成有意義的、關聯(lián)性結構整體。比如教學“圓柱的側面積”“圓柱的體積”之后，筆者將長方體的側面積、正方體的側面積、長方體的體積、正方體的體積等融入其中，引導學生進行比較，從而建構直柱體側面積、體積的統(tǒng)一公式：S=Ch、V=Sh。不僅讓學生從公式的表現(xiàn)形式上進行大概念認知，還從公式的內(nèi)在實質(zhì)上助推學生的大概念理解。筆者借助多媒體課件，讓圓柱體、長方體、正方體的底面周長、底面積向上運動，學生直觀地看到“線積成面”“面積成體”的動態(tài)生成過程。這樣的過程，使得學生對側面積、體積的認知不僅僅只是停留在公式的記憶上，而是形成了一種本質(zhì)的、核心的、動態(tài)的數(shù)學大概念理解。

2.引導比較歸納，引導學習不斷進階

大概念的數(shù)學教學設計，要求學生的數(shù)學學習要秉持多個視角，突破單一的方法局限，進行知識比較、方法比較，從而歸納小結出大概念。以學科大概念學習為學習進階主線，強調(diào)核心概念學習的重要性。大概念的學習應當是動態(tài)的、開放性的，應當是有深度的，是一種整體意義的呈現(xiàn)。比如教學“百分數(shù)的認識”中的“百分數(shù)單位”，從類結構、類方法視角看，組成一個數(shù)的無疑是若干個計數(shù)單位。無論是整數(shù)、小數(shù)、分數(shù)還是百分數(shù)都有計數(shù)單位。因而，“計數(shù)單位”就成為這些數(shù)學教學內(nèi)容的“大概念”。教學中，筆者將這些相關的內(nèi)容進行對比。通過對比，學生發(fā)現(xiàn)，“單位都離不開1”，比如分數(shù)的計數(shù)單位是幾分之一，百分數(shù)的計數(shù)單位是1%，小數(shù)的計數(shù)單位是0.1、0.01、0.001等。通過比較歸納，學生建構了“數(shù)的單位”，深刻理解了計數(shù)單位的內(nèi)涵。在數(shù)學教學中，教師不僅要引導學生對相關的數(shù)學知識進行歸類分析，還要引導學生對相關的數(shù)學知識進行聚類分析。通過歸類與聚類，進一步將數(shù)學知識中蘊含的大概念展示、透析出來。

3.縱向橫向拓展，分層遞進建構概念

在數(shù)學教學中，如何避免數(shù)學知識的碎片化、零散化？筆者認為，必須借助大概念引導學生進行縱向橫向拓展，從而讓學生遞進建構數(shù)學的層級概念。作為教師，既要引導學生進行橫向勾連，又要引導學生進行縱向拓展。通過縱向橫向的拓展、勾連，讓學生的數(shù)學學習螺旋遞進，從而建構具有層級性的大概念。比如“認識厘米”“時、分、秒”“角的認識”“公頃和平方千米”等內(nèi)容，教師可以相機滲透、孕伏“大數(shù)量中包含多少個小數(shù)量”。在每一冊的知識教學中，教師都要始終滲透“包含”這一大概念。只有當數(shù)學知識不斷地被重構，數(shù)學大概念才能被有效地凸顯。在教學中，通過橫向縱向的勾連、拓展，教師分層遞進建構數(shù)學大概念，從而讓學生初步形成數(shù)學的態(tài)度，掌握數(shù)學的方法，理解數(shù)學的精神。通過分層遞進，大概念的深刻內(nèi)涵能被學生深刻理解，并能被學生廣泛地應用。

德國著名數(shù)學家菲利克斯·克萊因在《高觀點下的初等數(shù)學》中深刻指出：“數(shù)學教師應具有較高的數(shù)學觀點，觀點越高，事物就越顯得簡單。”把握數(shù)學大概念，能讓教師在數(shù)學教學時站得高、望得遠。著眼于數(shù)學學科大概念的教學不僅是一個知識結構化的過程，還是一個學生思維結構化、認知結構化的過程?！按蟾拍睢痹跀?shù)學教學中不僅具有工具性教學價值，還具有本體性教學價值。